2020眉山东坡区多悦高中高二5月月考（期中）数学（理）试题（教师版）含答案

数学月考试卷（五月）

一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)

A．100  B．150  C．200  D．250

【答案】A

【解析】方法一　由题意可得＝，解得n＝100.

方法二　由题意，得抽样比为＝，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×＝100.

2.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)

A.   B.   C.   D.

【答案】C【解析】从A，B中任意取一个数，共有C·C＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴p＝＝.

3.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)

A.8   B.24   C.48   D.120

【答案】C【解析】末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48种.

4.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是(　　)

A．甲班同学身高的方差较大      B．甲班同学身高的平均值较大

C．甲班同学身高的中位数较大    D．甲班同学身高在175 cm以上的人数较多

【答案】A

【解析】逐一考查所给的选项：

观察茎叶图可知甲班同学数据波动大，则甲班同学身高的方差较大，A选项正确；

甲班同学身高的平均值为＝169.2，

乙班同学身高的平均值为：＝171，

则乙班同学身高的平均值大，B选项错误；

甲班同学身高的中位数为＝168，乙班同学身高的中位数为＝171.5，则乙班同学身高的中位数大，C选项错误；

甲班同学身高在175 cm以上的人数为3人，乙班同学身高在175 cm以上的人数为4人，则乙班同学身高在175 cm以上的人数多，D选项错误．

5.函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题得，，令解得，则当时f(x)为减函数，当时，f(x)为增函数，所以点处的函数值为最小值，代入函数解得，故选C。

6.已知函数，，下列结论中正确的是（    ）

A．函数有极小值 B．函数有极大值

C．函数有一个零点 D．函数没有零点

【答案】D

【解析】因为，所以，

又，所以，

即函数在上单调递增，且，

故函数无极值，且函数无零点，故选D。

7.已知函数的定义域为，导函数在上的图象如图所示，则在内的极小值点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

8.已知函数在处的导数为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在处的导数为，

所以，故选B.

9.如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（    ）．

A．－1 B．0 C．2 D．4

【答案】B

【解析】将点代入直线的方程得，得，所以，，

由于点在函数的图象上，则，

对函数求导得，

，故选B。

10.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　)

A.9   B.10   C.18   D.20

【答案】C

【解析】由于lg a－lg b＝lg (a＞0，b＞0)，

∴lg 有多少个不同的值，只需看不同值的个数.

从1，3，5，7，9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A－2＝18.

11.已知样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)，若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝a＋(1－a)，其中0<a<，则n，m的大小关系为(　　)

A．n<m B．n>m

C．n＝m  D．不能确定

【答案】A

【解析】由题意可得＝， ＝，

＝＝·＋·

＝·＋·＝a＋(1－a)，

所以＝a，＝1－a，又0<a<，所以0<<<，所以n<m.故选A.

12.若函数存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（　　）

A．  B． C． D．

【答案】A

【解析】由函数存在唯一的零点，且等价于有唯一正根，

即函数的图象与直线在轴右侧有1个交点，

又为奇函数且，

则在，为减函数，在为增函数，为增函数，

则满足题意时的图象与直线的位置关系如图所示，

即实数的取值范围是，故选A。

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是__________.

【答案】

【解析】从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换，基本事件总数为n＝C·C＝9，从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，第一次调换后，对调后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次调换后甲在乙的左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲丙乙、丙甲乙，∴经过两次这样的调换后，甲在乙的左边包含的基本事件个数m＝6，∴经过这样的调换后，甲在乙左边的概率：p＝＝＝.

14.已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________.

【答案】11

【解析】由x1，x2，…，xn的平均数＝5，得2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2＋1＝2×5＋1＝11.

15.已知函数在点处的切线方程为，则_______．

【答案】3

【解析】由f（x）＝aex+b，得f'（x）＝aex，

因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1，所以解得a＝2，b＝﹣1．

16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______.

【解析】由题意，连接OD，交BC与点G，

由题意，OD⊥BC，设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，三棱锥的高

h＝＝＝，

S△ABC＝·(2x)2·sin 60°＝3x2，

则三棱锥的体积V＝S△ABC·h＝x2·＝·，

令f(x)＝25x4－10x5，x∈，

则f′(x)＝100x3－50x4，

令f′(x)＝0得x＝2，当x∈(0，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤×＝4.

∴体积最大值为4 cm3.

【答案】4

三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.（70分）

17.解答下列问题：

1.（3分）从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有多少种？

2.（3分）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数.

3.（4分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有多少种

【答案】

1.【解析】法一　可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC＝4种.根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有12＋4＝16种.

法二　从6人中任选3人，不同的选法有C＝20种，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C＝4种，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16种.

2.【解析】若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260.

3.【解析】因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).

18.（12分）某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2018年11月11日的网购金额，所得数据如下表：

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.

(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)；

(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？

【解析】(1)根据题意有解得∴p＝0.40，q＝0.25.

补全频率分布直方图如图所示.

(2)根据题意，抽取网购金额在(1,2]内的人数为×5＝3(人).

抽取网购金额在(4,5]内的人数为×5＝2(人). 故此2人来自不同群体的概率P＝＝.

19.（12分）已知函数.

（Ⅰ）当曲线在时的切线与直线平行，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的极值，并求当有极大值且极大值为正数时，实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ），

由，得.

当时，，

，

曲线在处的切线方程为，即.

（Ⅱ）.

（1）当时，，所以，在递减，无极值.

（2）当时，由得.

随的变化、的变化情况如下：

故有极大值，无极小值；

，由，∵，∴.

所以，当的极大值为正数时，实数的取值范围为。

20.（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位： m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)

【解】　(1)

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48.

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

1＝(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

2＝(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．

21.（12分）已知函数，当时，函数有极大值8.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（I）（II）

【解析】

（I）       

∵当时，函数有极大值8

∴，解得       

∴所以函数的解析式为.    

（II）∵不等式在区间上恒成立

∴在区间上恒成立   

令，

则由   

解得，解得

所以当时，单调递增，当时，单调递减       

所以对，都有，

所以，即实数的取值范围是。

22.（12分）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.

【解析】(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.

f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).

①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.

②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln .

当x∈时，f′(x)<0；

当x∈时，f′(x)>0.

故f(x)在上单调递减，

在区间上单调递增.

(2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立.

②若a<0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，

故当且仅当a2≥0，

即0>a≥－2e时，f(x)≥0.

综上，a的取值范围是[－2e，0].