2020乐山十校高二下学期期中联考数学（理）试题含答案

乐山十校高2021届第四学期半期联考数学（理科）试题

 本试卷共6页。满分150分。
考生注意:
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

1．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内的对应点所在的象限为（    ）

A．第一象限          B．第二象限          C．第三象限          D．第四象限

2．某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为人，那么高三被抽取的人数为（    ）

A．               B．               C．               D．

3．《普通高中数学课程标准（版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为分，分值高者为优，低者为差），则下面叙述不正确的是（    ）

A．甲的数据分析素养低于乙

B．乙的六大素养中逻辑推理最差

C．甲的数学建模素养差于逻辑推理素养

D．乙的六大素养整体平均水平优于甲

4．已知，则（    ）

A．         B．         C．         D．

5．下列说法正确的是（    ）

A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况

B．某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨

C．概率是客观存在的，与试验次数无关

D．若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖

6．设是可导函数，且，则（    ）

A．               B．               C．               D．

7．洛书，古称鬼书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取个数，则其和等于的概率是（    ）

A．               B．               C．               D．

8．函数在区间上（    ）

A．最大值为，最小值为                  B．最大值为，最小值为

C．最大值为，无最小值               D．最大值为，无最小值

9．执行下面的程序框图，则输出的值为（    ）

A．               B．               C．               D．

10．设为正实数，函数，若，，则的取值范围是（    ）

A．          B．           C．           D．

11．如右图是一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积大于的面的个数为（    ）

A．               B．               C．               D．

12．若函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A．         B．           C．          D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．复数的共轭复数          .

14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为               .

15．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，抽奖活动的规则是：每个优胜队的队长通过操作按键使电脑自动产生两个之间的均匀随机数，，并按如图所示的算法语句执行，若电脑显示“中奖”，则该优胜队中奖；若电脑显示“谢谢”，则该优胜队不中奖，在一次抽奖活动中，该优胜队中奖的概率为            .

16．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为             .

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．

（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）将表示为的函数；

（3）根据直方图估计利润不少于元的概率．

18．（12分）若函数，当时，函数有极值．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的极值；

（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

19．（12分）甜皮鸭，乐山人称卤鸭子，也称嘉州甜皮鸭，是乐山著名美食，起源于乐山市夹江县木城古镇，每年吸引成千上万的外地人前来品尝.某商家生产卤鸭子，每公斤鸭子的成本为元，加工费为元（为常数），且，设该商家每公斤卤鸭子的售价为元（），日销售量（单位：公斤），且（为自然对数的底数）.根据市场调查，当每公斤卤鸭子的出售价为元时，日销售量为公斤.

（1）求该商家的每日利润元与每公斤卤鸭子的出售价元的函数关系式；

（2）若，当每公斤卤鸭子的出售价为多少元时，该商家的利润最大，并求出利润的最大值．

20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，且平面平面.

（1）求证：；

（2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21．（12分）年月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019,COVID-19），简称“新冠肺炎”，下图是年月日至月日累计确诊人数随时间变化的散点图．

为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数与时间变量的两个回归模型，根据月日至月日的数据（时间变量的值依次，，…，）建立模型和．
参考数据：其中，．

（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立关于的回归方程；
（3）以下是月日至月日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：

（i）当月日至月日这天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？
（ii）年月日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？并说明理由.
附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

22．（12分）已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若，直线与曲线和曲线都相切，切点分别为，，求证：.

乐山十校高2021届第四学期半期联考数学（理科）试题

参考答案

一、选择题

二、填空题

13.            14.           15.           16.

17.解：（1）由频率直方图得：最大需求量为的频率，为频率的最大值．

这个开学季内市场需求量的众数估计值是；……………………………………………………………………2分

需求量为的频率，需求量为的频率，

需求量为的频率，需求量为的频率，

需求量为的频率．…………………………………………………………………3分

则平均数．………………………………4分

（2）因为每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元，

所以当时，， ……………………………………………6分

当时，，

所以．………………………………………………………………………………8分

（3）因为利润不少于元所以，解得，解得．………………………………9分

所以由（1）知利润不少于元的概率．……………………………………………………10分

18.解：函数，………………………………………………………1分

（1）由题意知，当时，函数有极值，……………………………………………3分

即，解得…………………………………………………………………………………5分

故所求函数的解析式为；………………………………………………………………………6分

（2）由（1）得，令，得或………………………………8分

当变化时，，的变化情况如下表：

因此，当时，有极大值，当时，有极小值，……………………………………10分

故要使方程有三个不同的实数解，则.…………………………………………………12分

19. 解：（1）由已知得，，…………………………………………………………………2分

日销售量…………………………………………………………………………………………………3分

………………………………………………………………………………6分

（2）当时，………………………………………………………………………………7分

……………………………………………………………………………………………………8分

由得，由得，

在上单调递增，在上单调递减.………………………………………………………………10分[来源:学+科+网Z+X+X+K]

当时，.………………………………………………………………………………………11分

当每公斤卤鸭子的出售价为元时，该商家的利润最大，最大值为元． ………………………………12分

20.（1）证明：过点在平面内作，垂足为，连接、，

平面平面，平面平面平面，…………2分

，，是等边三角形，，

又，，四边形是正方形，……………………………………4分

又，平面，又平面，…………………………………5分

（2）平面，，如图，建立空间直角坐标系，

则，

假设在线段上存在一点，使二面角大小为

设，，则，

，………………………………………………………………………7分

设平面的法向量为，则，即，

可取，平面的一个法向量为……………………………………………10分

二面角大小为，，

或（舍），…………………………………………………………………………………………11分

所以在线段上存在点满足题设条件且.…………………………………………………………12分

21.解：（1）根据散点图可知：适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型；……2分
（2）设，则，
，……………………………………………………………4分
，…………………………………………………………………………………6分
；…………………………………………………………………………………………………7分
（3）（i）当时，，，………………………………………………………8分

当时，，，……………………………………………………………………9分
当时，，，（2）的回归方程可靠；…………………………………10分
（ii）当时，，远大于真实值，故防护措施有效．………………………………12分

22.解：解法一：（1）定义域为，因为，……………………………………1分

若，则，所以在单调递增，…………………………………………………………2分

若，则当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增.………………………………………………………………4分

（2）证明：对于曲线，，，

直线的方程为，即，即①.……………………5分

对于曲线，因为，所以，，所以，

直线的方程为，

即，即②.……………………………………………6分

因为①与②表示同一条直线，所以③，且④…………………………………7分④÷③，得，…………………………………………………………………………………8分

所以.令，

，

由（1）知，在单调递增，又，，

.有唯一零点，

且当时，，，当时，，，

所以在上递增，在上递减，

所以，………………………………………………………………………10分

又，即，所以，…………………………………11分

所以，所以，又，所以.………………………………………12分

解法二：（1）同解法一.

（2）证明：因为，所以直线的斜率为，…………………………………………5分

因为，所以，所以，所以直线的斜率为，…………6分

所以，所以，

又因为，所以，…………………………7分

所以，……………………………………………………………………8分

令，所以，所以在单调递增…9分

又因为，，

所以存在，使得，

且当时，，当时，，

所以在递减，在递增，……………………………………………………………………10分

因为，所以在递减，所以当时，，

所以在内无零点，…………………………………………………………………………………11分

因为是的零点且，所以.………………………………………………………………12分