这是一份2021四川省武胜烈面中学校高二上学期开学考试数学（文）试题含答案
高2019级高二上入学考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分）cos45°cos15°-sin45°sin15°=( )A. 12 B. 32 C. -12 D. -32在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则cosC=( )A. 12 B. -12 C. 1114 D. 1314两数2+1与2-1的等比中项是( )A. 1 B. -1 C. -1或1 D. 12若sinα=13，则cos2α=( )A. 89 B. 79 C. -79 D. -89设a，b∈R，若a-|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A. b-a>0 B. a3+b3<0 C. a2-b2<0 D. b+a>0设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定已知x>0，y>0，x+9y=3，则1x+1y的最小值为( )A. 16 B. 4 C. 163 D. 203在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，S△ABC=3，则c等于( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4关于x的不等式x2-(a+2)x+a+1<0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是( )A. (2,3] B. (3,4] C. [-3,-2)∪(2,3] D. [-3,-2)∪(3,4]已知三棱锥A-BCD，若AB⊥平面BCD，∠CBD=90°，CD=32，AB=23，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为( )A. 28π B. 30π C. 32π D. 36π△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-14，则bc=( )A. 6 B. 5 C. 4 D. 3设x，y满足约束条件2x+y-2≥0x-y-1≤0x+2y-4≤0，则目标函数z=x-2y的最大值是( )A. 3 B. 23 C. 1 D. 12二、填空题（本大题共4小题，共20分）如图所示，直观图四边形A'B'C'D'是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______．已知两点A(2,1)、B(1,1+3)满足12AB=(sinα,cosβ)，α，β∈(-π2,π2)，则α+β=______等比数列{an}的前m项和为10，前2m项和为30，则前3m项的和为______．对下列命题： (1)y=sinx+4sinx(0
c2，则△ABC一定是锐角三角形； (4)若向量a=(4,2)，b=(λ,1)，且是锐角，则实数λ的取值范围为(-12,+∞)． 其中所有正确命题的序号为______(填出所有正确命题的序号)．三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知函数f(x)=cos2x+2cos2(x-π3). (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若α∈(0,π2)，f(α)=43，求cos2α． （12分）已知等比数列{an}的公比q>1，且a1，a3的等差中项为5，a2=4． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn． （12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且2a-cb=cosCcosB． (Ⅰ)求角B的大小； (Ⅱ)若△ABC的面积为3，a+c=210，D为AC的中点，求BD的长． （12分）已知数列{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的长，cosB=35，且AB⋅BC=-21． (1)求△ABC的面积； (2)若c=5，求角C．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2an-an-1+1=0(n≥2,n∈N*)且a1=1，数列{cn}满足cn=1n(n+2)(n∈N*)，其前n项和为Tn． (1)设bn=an+1，求证：数列{bn}为等比数列； (2)求Sn和Tn； (3)不等式Tn>13loga(1-a)对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围． 高2019级高二上入学考试数学试题班级： 姓名： 总分：一、选择题（本大题共12小题，共60分）cos45°cos15°-sin45°sin15°=( )A. 12 B. 32 C. -12 D. -32【答案】A【解析】解：cos45°cos15°-sin45°sin15° =cos(45°+15°) =cos60° =12． 故选：A． 观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则cosC=( )A. 12 B. -12 C. 1114 D. 1314【答案】B【解析】解：∵△ABC中，a=3，b=5，c=7， 根据余弦定理，得cosC=a2+b2-c22ab =32+52-722×3×5=-12． 故选：B． 直接利用余弦定理求出cosC的值． 本题考查了余弦定理的应用，属于基础题． 两数2+1与2-1的等比中项是( )A. 1 B. -1 C. -1或1 D. 12【答案】C【解析】解：设2+1与2-1的等比中项是x， 则满足x2=(2+1)(2-1)=(2)2-1=2-1， 则x=1或x=-1， 故选：C． 根据等比数列等比中项的公式进行求解即可． 本题主要考查等比中项的求解，比较基础． 若sinα=13，则cos2α=( )A. 89 B. 79 C. -79 D. -89【答案】B【解析】【分析】 本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题． 根据cos2α=1-2sin2α能求出结果． 【解答】 解：∵sinα=13， ∴cos2α=1-2sin2α=1-2×19=79． 故选B． 设a，b∈R，若a-|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A. b-a>0 B. a3+b3<0 C. a2-b2<0 D. b+a>0【答案】D【解析】解：利用赋值法：令a=1，b=0 b-a=-1<0，故A错误； a3+b3=1>0，故B错误； a2-b2=1>0，故C错误； 排除A，B，C， 故选：D． 由题意可以令a=1，b=0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除． 此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项，方法简洁、直观，此题为基础题． 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为( )A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定【答案】B【解析】【分析】 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题． 由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=π2，由此可得△ABC的形状． 【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA， 即sin(B+C)=sinAsinA，，可得sinA=1，故A=π2，故三角形为直角三角形， 故选：B． 已知x>0，y>0，x+9y=3，则1x+1y的最小值为( )A. 16 B. 4 C. 163 D. 203【答案】C【解析】解：因为x>0，y>0，x+9y=3， 则1x+1y=(1x+1y)(x+9y)×13=13(10+9yx+xy)≥13(10+6)=163， 当且仅当9yx=xy且x+9y=3即y=14，x=34时取等号． 故选：C． 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，S△ABC=3，则c等于( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】解：S△ABC=12bcsinA=12×1×c×sin60°=3， 解得c=4． 故选：D． 利用三角形面积计算公式即可得出． 本题考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 关于x的不等式x2-(a+2)x+a+1<0的解集中，恰有2个整数，则a的取值范围是( )A. (2,3] B. (3,4] C. [-3,-2)∪(2,3] D. [-3,-2)∪(3,4]【答案】C【解析】解：由x2-(a+2)x+a+1<0可得(x-1)[x-(a+1)]<0， 当a+1>1即a>0时，不等式的解集为(1,a+1)，若满足解集中恰有2个整数，则3c2，则△ABC一定是锐角三角形； (4)若向量a=(4,2)，b=(λ,1)，且是锐角，则实数λ的取值范围为(-12,+∞)． 其中所有正确命题的序号为______(填出所有正确命题的序号)．【答案】(2)(3)【解析】解：对于(1)，因为00，q>0，即lnan=lna1+(n-1)lnq， 所以{lnan}是等差数列，(2)正确； 对于(3)，根据大边对大角可知角C最大，而cosC=a2+b2-c22ab>0，所以角C为锐角， 故△ABC一定是锐角三角形，(3)正确； 对于(4)，因为是锐角，所以a⋅b>0，且a,b不共线， 即4λ+2>0且4×1-2λ≠0，解得λ>-12且λ≠2，(4)错误． 故答案为：(2)(3)． 根据各命题对应知识逐个判断即可得出． 本题主要考查基本不等式，数列，解三角形，以及向量的有关知识的应用，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）已知函数f(x)=cos2x+2cos2(x-π3). (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若α∈(0,π2)，f(α)=43，求cos2α．【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=cos2x+2cos2(x-π3)=cos2x+1+cos(2x-2π3)=cos2x+32sin2x-12cos2x+1=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)+1，…4分 ∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π…5分 (Ⅱ)由f(α)=43，可得sin(2α+π6)=13， ∵α∈(0,π2)， ∴2α+π6∈(π6,7π6)，…7分 又∵01，且a1，a3的等差中项为5，a2=4． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．【答案】解：(1)等比数列{an}的公比q>1，且a1，a3的等差中项为5，a2=4． 故：a1(1+q2)=10a1q=4，解得a1=2q=2． 故：an=2n． (2)bn=nan=n2n， 所以Sn=12+222+…+n2n①， 12Sn=122+223+…+n2n+1②， ①-②得：12Sn=(12+122+…+12n)-n2n+1=12(1-12n)1-12-n2n+1， 解得：Sn=2-n+22n．【解析】(1)直接利用数列的通项公式的应用求出数列的通项公式． (2)利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． （12分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且2a-cb=cosCcosB． (Ⅰ)求角B的大小； (Ⅱ)若△ABC的面积为3，a+c=210，D为AC的中点，求BD的长．【答案】解：(I)∵2a-cb=cosCcosB，由正弦定理得2sinA-sinCsinB=cosCcosB 整理得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+c) ∵B+C=π-A，则2sinAcosB=sinA.. ∵A∈(0,π)，∴sinA≠0 ∴cosB=12 ∵B∈(0,π)，∴B=π3． (II)由12acsinπ3=3，ac=4． ∵BD=12(BA+BC)，两边平方得|BD|2=14(|BA|2+|BC|2+2BA⋅BC) ∴|BD|2=14(a2+c2+ac)=14[(a+c)2-ac]=9 ∴BD=3．【解析】(Ⅰ)将已知条件边化角，利用三角变换公式可得； (Ⅱ)将BD=12(BA+BC)两边平方可得． 本题考查了三角形中的计算，属中档题． （12分）已知数列{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，∵a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列，∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)， 即：(-2+2d)2=d(-4+3d)，解得d=2，∴an=a1+(n-1)d=-10+2n-2=2n-12； (2)由a1=-10，d=2，得：Sn=-10n+n(n-1)2⋅2=n2-11n=(n-112)2-1214， ∴n=5或n=6时，Sn取最小值-30．【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由题设条件列出d的方程，解得d，即可求得an； (2)先由(1)求得Sn，再求Sn的最小值． 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和的最值，属于基础题． （12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的长，cosB=35，且AB⋅BC=-21． (1)求△ABC的面积； (2)若c=5，求角C．【答案】解：(1)AB⋅BC=cacos(π-B)=-accosB=-21， ∵cosB=35，∴ac=35，sinB=45， 则△ABC的面积为S△ABC=12acsinB=14； (2)∵c=5，∴a=7， 则由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=49+25-2×5×7×35=32，即b=42 由余弦定理可得：cosC=a2+b2-c22ab=22， 因为C∈(0,π)，所以C=π4．【解析】(1)根据AB⋅BC=-21结合cosB=35可求得ac，sinB，利用三角形面积公式可得其面积； (2)利用余弦定理得到b，再利用余弦定理求得cosC，即可求得C． 本题考查平面向量数量积运算性质，涉及余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题． （12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2an-an-1+1=0(n≥2,n∈N*)且a1=1，数列{cn}满足cn=1n(n+2)(n∈N*)，其前n项和为Tn． (1)设bn=an+1，求证：数列{bn}为等比数列； (2)求Sn和Tn； (3)不等式Tn>13loga(1-a)对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，满足2an-an-1+1=0，整理得an=12an-1-12， 变形为：an+1=12(an-1+1)， 由于bn=an+1， 所以bn=12bn-1， 故数列{bn}为等比数列是以2为首项，12为公比的等比数列． (2)数列{cn}满足cn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)． 所以：Tn=c1+c2+c3+…+cn=12(1-13+12-14+…+1n-1-1n+1+1n-1n+2)=34-12(1n+1+1n+2)． 数列{bn}为等比数列是以2为首项，12为公比的等比数列． 由于bn=an+1， 所以an=bn=an-1， 所以Sn=2(1-12n)1-12-n=4-22-n-n． (3)由Tn+1-Tn=12[(1n+1+1n+2)-(1n+2+1n+3)]=12(1n+1-1n+3)>0， 所以数列{Tn}单调递增，Tn的最小值为T1=13． 不等式Tn>13loga(1-a)对任意的正整数恒成立， 即13loga(1-a)<13， 所以loga(1-a)<1=logaa， 即：0a，解得：0
