2021池州东至二中高二上学期12月份阶段考试数学（理）试题含答案

这是一份2021池州东至二中高二上学期12月份阶段考试数学（理）试题含答案试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
一、选择题：（60分）
1．已知，是空间直角坐标系中的两点，则AB=（ ）
A．3B．C．9D．
2．圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
3．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4．双曲线（，）的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率（ ）
A．2B．C．3D．
5．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．若直线在y轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某高中2020级同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．“”是“直线与双曲线的右支无交点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．如图，在正方体中，给出以下四个结论，则不正确的是（ ）
A．正方体所有的棱与平面所成的角相等
B．正方体各个面与面所成的锐二面角均相等
C．与直线成45°的棱有6条
D．过点且与直线AC平行的直线a，必在平面上
10．在四棱锥中，平面PAB，平面PAB，底面ABCD为梯形，，，，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．球的一部分D．双曲线的一部分
11．已知椭圆，点，为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．两球和在棱长为1的正方体的内部且互相外切，若球与过点A的正方体的三个面相切，球与过点的正方体的三个面相切，则球和的表面积之和最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：（20分）
13．已知命题P为：，，则为________．
14．若P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为________．
15．已知三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D，E分别为棱，的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为________．
16．已知椭圆的左右焦点分别为、，经过的直线l与椭圆C交于A、B两点，且的周长为8．则椭圆C的方程为________；若在x轴上存在一点E，使得过点E的任一直线与椭圆两个交点M、N，都有为定值，则此定值为________．
三、解答题：（70分）
17．（10分）已知p：方程表示双曲线；q：方程表示焦点在x轴上的椭圆，若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．
18．（12分）如图，在横放的四棱锥中，底面ABCD是正方形，，且直角三角形，其中，连接AC、BD交于点O．
（1）求证：平面AEC；
（2）若二面角的大小为60°，且直线EC与平面ABCD所成的角为，求．
19．（12分）已知圆，圆，，分别为两圆的圆心．
（1）求圆和圆的公共弦长；
（2）过点的直线l交圆与A，B两点，且，求直线l的方程．
20．（12分）已知椭圆，点，在曲线E上，短轴下顶点为A，且短轴长为2．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P作直线l与椭圆的另一交点为B，且与PA所成的夹角为30°，求的面积．
21．（12分）如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E、N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，．
（1）求证：平面BDE；
（2）求二面角的正弦值．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，其右焦点F是圆的圆心．
（1）求椭圆方程；
（2）过所求椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴，两点，当 时，求此时点P的坐标．
参考答案
一、选择题
二、填空题
13．， 14． 15．
16．，5
【详解】
（1）由已知，，，又，
解得，，，，
椭圆的方程为．
（2）设、、，
当直线n不为x轴时的方程为，
联立椭圆方程得：．
，，
当且仅当,
即时（定值）
即在x轴上存在点E使得为定值5，
点E的坐标为或经检验，
当直线AB为x轴时上面求出的点E也符合题意．
三、解答题
17．p为真命题时，，，
q为真命题时，，或，
为真命题，为假命题，与q一真一假，，
当p真，q假时，，当p假，q真时，或，
．
18．解：（1）由已知，，，
得到面ABCD，故，
又，故平面AEC；
（2）连接EO，由（1）知，，
为二面角A-BD-E的平面角，即．
不妨设，则在中，，，
又由（1）知面ABCD，
为直线EC在平面ABCD所成的角，即．
在中，，
故．
19．（1）两圆相减可得，圆的圆心为，
半径为1，圆心到直线的距离，
圆和圆的公共弦长；
（2）圆的圆心为，半径为2，
圆心到直线l的距离为，
设直线l的方程为，即，
，或，
直线的方程为，或．
20．（Ⅰ）将点代入椭圆的方程得，
由短轴长为2，知，故，
则椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意可得PA的斜率为，即PA的倾斜角为，
当PA与直线l所成夹角为30°时，易知直线l的倾斜角为30°或90°．
①当直线l的倾斜角为90°时，
，，
则；
②当直线l的倾斜角为30°时，
直线l的方程为，即，
联立方程，得，
则，故．
，
，
综上可得的面积为或．
21．（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，
M为AD中点，，
平面BDE，平面BDE，
平面BDE．
N为BC中点，
又D、E分别为AP、PC的中点，
，则．
平面BDE，平面BDE，
平面BDE．
又，且MF，平面MFN，
平面平面BDE，
又平面MFN，则平面BDE；
（2）二面角的正弦值为．
22．（1）因为圆的圆心是，
所以椭圆的右焦点为，
椭圆的离心率是，，
，，所以椭圆方程为．
（2）设，
由，得或（舍），
．
直线PM的方程：，
化简得．
又圆心到直线PM的距离为1，，
，
化简得：，
同理：，
，，
，
在椭圆上，，
，，
（舍）或，，
所以，此时点P的坐标是．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
A
D
C
A
C
A
C
A