2020玉林、柳州高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题扫描版含答案

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广西玉林、柳州市2020届高三第二次模拟考试理科数学(参考答案)一、选择题：(每小题5分, 满分60分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16. 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17.解：（1）由题可得， …………2分解得． …………………………………………………………………3分（2）平均成绩为：………………………………………………………………5分………………………………………………………………6分（3）由（2）知，在抽取的名学生中，比赛成绩优秀的有人，由此可得完整的列联表：…………………………………………………………………8分∵，………………10分∴没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”． …………12分18.解：（1）依题意得，， ……………………2分由正弦定理得，，即，……………4分由余弦定理得，， …………………………5分又因为，所以. ………………………………………………6分（2）解法一:在中，∵，即，…………………………………………………7分在中，，即.…………………………………………………8分∵，所以，∴，……………………………………………………………9分由（1）及得，， 所以，………………………………………………………………10分∴，即，……………………………………11分当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.……………………12分解法二：∵，，………………………………………………7分∴，即. ………………………………………………………………………8分∵为中点，所以，…………………………………9分∴……………………………………………10分，………………………………………………………………11分当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.………………12分19.证明：（1）设的中点为，连接，，由题意，得，，………1分在中，∵，为的中点，∴，…………2分在中， ，，，……………………………3分∵，∴ ………………………………………4分∵，，平面，∴平面，……5分又平面，∴平面平面 ………………………………6分（2）由（1）可知平面，∴，，，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， ……………………8分设平面的法向量为，则由得：．令，得，，即．………………………………9分设平面的法向量为，由得：，令，得，，即 …………………………………10分 .………………………………………11分由图可知，二面角的余弦值为．…………………………12分20.解：（1）抛物线的焦点为， ……………………………1分则过点且斜率为1的直线方程为，……………………………2分联立抛物线方程，消去得：， ……………3分设，则，由抛物线的定义可得，解得， ……………………………………………………………………4分∴抛物线的方程为.…………………………………………………5分（2）设，，，不妨设， ……………………………………………6分化简得：，圆心到直线的距离为1，故，………………………7分即，不难发现，上式又可化为， ………………………………………8分同理有，∴可以看做关于的一元二次方程的两个实数根，则，………………9分由，得 ………………………10分，……………………11分当且仅当时取等号.∴面积的最小值为8. …………………………12分21.解：(1)函数是定义域为 ，………………………………………………1分， …………………………………………2分当时，，所以在单调递减；…………………3分当时，，所以在单调递增；…………………4分当时，令，则，，令所以或；令，∴；∴在上递增，在上递减，在上递增……………6分（2）由且，得 此时设的两根为，∴ ∵， ∴， …………………………………………………7分由，且，得 ………………………8分∴ ……………………………………………………9分由得 代入上式得…………………………………10分令，所以，，则，∴在上为减函数 ……………………………………………11分从而，即∴．…………………………………………………………………12分22.解：（1）设曲线上任意点的极坐标为，由题意，曲线的普通方程为，………………………………………2分即， …………………………………………………………3分则，故曲线的极坐标方程为. …………………5分（2）设，则，故， ……………………………6分∵点在曲线上，则，，………………7分∴ ……………………………………………8分 ，, ……………………………………9分∴时，取到最大面积为 ……………………………10分23.解：（1）由已知可得：， ……………………………………2分当时，成立；………………………………………………………3分当时，，即，则． ………………………4分∴的解集为. ……………………………………………5分（2）由（1）知，，……………………………………………6分∵，则，…………………7分…………………………………………8分当且仅当，即时取等号， …………………………9分则有．…………………………………………10分123456789101112CDDBADCBCACA优秀非优秀合计男生女生合计