2020葫芦岛普通高中高三上学期（期末）数学（理）试题含答案

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学 校姓 名考 号………………………………………………装…………订…………线………………………………………………葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试高三数学（供理科考生使用）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1. A={x|x-1>0},B={x|x2x60}，则A∩B= A.[-2,1) B.[2,3] C. (1,3] D.[1,3)2.已知i是虚数单位，复数eq \f(5,2-i) =A．i-2 B．i+2 C．-2 D．23.在等比数列{an}中，a4,a6是方程x2+5x+1=0的两根，则a5= A.1 B. 1 C.  eq \f(5,2)  D. eq \f(5,2) 4. 已知 a,b均为单位向量，则|a2b|=|2a+b|是ab的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 2018年辽宁省正式实施高考改革。新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课 . 这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的A．样本中的女生数量多于男生数量B．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C．样本中的男生偏爱物理D．样本中的女生偏爱历史等高堆积条形图2等高堆积条形图1 OyxOyxyxOyxO6. 函数f(x)= eq \f(ex+ex,x2)的图像大致为 A. B. C. D.7. 在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，B=30°，a+c=2b，△ABC的面积为，则b= A. B. C. D. 8. 函数f(x)=ln(x2ax3)在(1,+)单调递增，求a的取值范围 A.a2 B.a<2 C. a2 D. a<29. 若 eq \f(1,e)3时，不等式f (-k-sin -1) f (k2sin2 )对任意的k[1,0]恒成立,则 的可能取值是A.eq \f(,3)  B. eq \f(4,3) C. eq \f(,2) D. eq \f(5,6)第Ⅱ卷（选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第15题为两空题，第一空2分，第二空3分。）13. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________．111侧（左）视图正（主）视图俯视图14. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方”的钱币及用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．具体做法如下：现有“外圆内方”的钱币(如图)，测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2 cm,“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边长为1 cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p，则圆周率π的近似值为 . 15. (1+ax2)(x3)5的展开式中x7系数为2，则a的值为______, x5的系数为______.16. 已知双曲线C： eq \f(x2,a2)   eq \f(y2,b2) =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴切于点（2,0），且直线y= 2x经过线段PF1的中点且垂直于线段PF1，则双曲线C的方程为 ____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17. (本小题满分12分)PABCDE 如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，且平面平面，为的中点，,，.（1）求证：平面；（2）求二面角PACE的余弦值.18. (本小题满分12分)已知数列{an}其前n项和Sn满足:Sn=2(n+1)an+1(n∈N*), a1=0.（1）求数列{ an}的通项公式;（2）当n=1时，c1=1,当n2且n∈N*时，设cn=  eq \f(2n+1,nan) ,求{cn}的前n项和Tn.19. (本小题满分12分) 冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战. 全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄弱、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定. 据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%．现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第4,5组中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查，求第4组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．20. (本小题满分12分)椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点为A，点B (1，-  eq \f(\r(3),2))在椭圆E 上，F1,F2分别为E的左右焦点， F1AF2=120°.（1）求椭圆E的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作x2+y2=b2的切线交椭圆于C，D两点,且C,F2,D不共线,问：CF2D的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由. 21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=xlnx+kx，k∈R.（1）求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;（2）若不等式f(x)x2+x恒成立，求k的取值范围;（3）求证：当时，不等式成立.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时就写清题号。22．(本小题满分10分) 选修4−4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2 eq \r(5)sinθ.（1）求圆C的直角坐标方程及直线l的斜率；（2）直线l与圆C交于M,N两点，MN中点为Q，求Q点轨迹的直角坐标方程.23．(本小题满分10分) 选修4−5：不等式选讲 设a,b是正实数, 求证:（1）若a+2b=1，求a2+b2的最小值;（2）若a2+4b2=1，求 eq \r(3)a+2b的最大值.葫芦岛市普通高中2019～2020学年第一学期学业质量监测考试高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题CBBCD AACBD AD二、填空题13.  eq \f(1,6)  14. eq \f(1,41－p) 15. 2；181（本小题第一空2分，第二空3分） 16.  eq \f(x2,4)   eq \f(y2,16) =1三、解答题17（本小题满分12分）解：（1）如图，取PA中点F，连结EF,BF. 因为E为PD中点，AD=4，所以EF∥AD，EF= EQ \F(1,2)AD=2.又因为BC∥AD，BC=2，所以EF∥BC，EF=BC，所以四边形EFBC为平行四边形. ……………………………………………………2所以CE∥BF.又因为CE平面PAB,BF平面PAB，所以 CE∥平面PAB ……………………………………………………………………4 （2）取AD中点O，连结OP，OB.因为PAD为等边三角形，所以POOD.OPABCDEF又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD.因为OD∥BC，OD=BC=2，所以四边形BCDO为平行四边形.因为CDAD，所以OBOD. ………………………………………………………………6如图建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0,2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,  EQ \R(3)),P(0,0,2 EQ \R(3))所以 eq \o(AC,\s\up6(→))=(2,4,0),  eq \o(AE,\s\up6(→))=(0,3, EQ \R(3)).  eq \o(AP,\s\up6(→))=(0,2,2 EQ \R(3))设平面ACE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，则 eq \b\lc\{(\a\al(\o(n1,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→))=0, \o(n1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))=0))即 eq \b\lc\{(\a\al(2x1+4y1=0,3y1+\r(3)z1=0))令x1=2，则n1=(2,1, EQ \R(3))，…………………………8显然，平面ACP的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，则 eq \b\lc\{(\a\al(\o(n2,\s\up6(→))·\o(AP,\s\up6(→))=0, \o(n2,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))=0))即 eq \b\lc\{(\a\al(2y2+2\r(3)z2=0,2x2+4y2=0)) 令z2=1，则n2=(2 EQ \R(3), EQ \R(3),1)，………………………10所以cos< n1,n2>= eq \f(n1·n2,|n1||n2|)= eq \f(6 eq \r(3),2\r(2)4)= eq \f(3 eq \r(6),8).由题知，二面角PACE为锐角，所以二面角PACE的余弦值为 eq \f(3\r(6),8).……………………………………………………12 18. （本小题满分12分）解：(1) 当n=1时，a1=S1=22a2=0,得a2=1…………………………………………………2 当n2时，an=SnSn1=nan (n+1)an+1,即(n+1)an+1=(n1)an,因为a20，所以eq \f(an+1,an)= eq \f(n1,n+1)……………………………………………………………4 eq \f(an,a2)=eq \f(a3,a2)eq \f(a4,a3)……eq \f(an,an1)= eq \f(1,3)eq \f(2,4)……eq \f(n2,n)=eq \f(2,(n1)n), an=eq \f(2,(n1)n) 综上所述，an= eq \b\lc\{(\a\al(0 n=1, eq \f(2,(n1)n) n2)) ………………………………………………6 (2) 当n=1时,T1=1 ………………………………………………………………………8 当n2时,cn=(n1)·2n Tn=1+22+223+……+(n1)2n 2Tn= 2+ 23+……+(n2)2n +(n1)2n+1 Tn=3+23……+ 2n(n1)2n+1………………………………………10= 3+eq \f(23(12n-2),12)(n1)2n+1=5(n2) 2n+1 Tn=5+(n2)2n+1 综上所述，Tn=5+(n2)2n+1 ……………………………………………………1219. （本小题满分12分）解 ：(1)由10(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1，得a=0.035， ………………………………1平均数为200.1+300.15+400.35+500.3+600.1=41.5岁；……………………………2设中位数为x，则100.010+100.015+(x35) 0.035=0.5，∴x42.1岁． ……………3(2)第4,5组抽取的人数分别为6人，2人．设第4组中恰好抽取2人的事件为A，则P(A)= eq \f(Ceq \a(2,6) Ceq \a(1,2) , Ceq \a(3,8) )= eq \f(15,28)． ……………………………6(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为P= eq \f(4,5)，…………8X的所有可能取值为0,1,2,3，∴P(x=0)=C eq \a(0,3)(1 eq \f(4,5))3= eq \f(1,125)，P(x=1)=C eq \a(1,3)( eq \f(4,5))1 (1 eq \f(4,5))2= eq \f(12,125) , P(x=2)=C eq \a(2,3)( eq \f(4,5))2 (1 eq \f(4,5))1= eq \f(48,125) , P(x=3)=C eq \a(3,3)( eq \f(4,5))3= eq \f(64,125) ， ……………………………………………………………………10所以X的分布列为：∵X～B(3, eq \f(4,5))， ∴E(X)=3 eq \f(4,5)= eq \f(12,5)．…………………………………………………………1220. （本小题满分12分）解：(1)由 F1AF2=120°，得 eq \f(b,a)= eq \f(1,2) ……………………… = 1 \* GB3 ①,B点 (1，－ eq \f(\r(3),2))代入椭圆方程得 eq \f(1,4b2) ＋eq \f(3,4b2)＝………1 = 2 \* GB3 ②,由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②得a2=4,b2＝1，所以椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1. ……………………………………4（2）由题意,设CD的方程为y=kx+m(k<0,m>0),∵CD与圆x2+y2=1相切,∴ eq \f(|m|,\r(1+k2))=1,即m2=1+k2,由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y=kx+m, eq \f(x2,4)＋y2＝1))得(1+4k2)x2+8kmx+4m24=0 , >0设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=  eq \f(8km, 1+4k2) , x1x2=  eq \f(4m24, 1+4k2) ………………………………………6∴|CD|= eq \r(1+k2)|x1x2|= eq \r(1+k2) eq \r((x1+x2)24x1x2)= eq \r(1+k2) eq \r(( eq \f(8km, 1+4k2))24 eq \f(4m24, 1+4k2))= eq \f(4\r(3)k\r(1+k2), 1+4k2)= eq \f(4\r(3)km, 1+4k2) ………………………8又|CF2|2=(x1 eq \r(3))2+y2=(x1 eq \r(3))2+1eq \f(x12,4)＝ eq \f(1,4)( eq \r(3)x14)2 ,∴|CF2|= eq \f(1,2)(4 eq \r(3)x1) ……………………………………………………………………………10同理|DF2|= eq \f(1,2)(4 eq \r(3)x2),∴|CF2|+|DF2|=4 -  eq \f(\R(3),2)( x1+x2)= 4+ eq \f(4\R(3)km, 1+4k2)∴|CD|+|CF2|+|DF2|=4即△CF2D的周长为定值. ……………………………………………………………………1221. （本小题满分12分）解：(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1+lnx+k, f(1)=1+ k,∵f(1)=k,∴函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为yk=(k+1)(x1),即y=(k+1)x1 ………………………………………………………………………………3(2)设g(x)=lnxx+k1, g(x)= eq \f(1,x)1,x(0,1), g(x)>0,g(x)单调递增，x(1,+), g(x)<0,g(x)单调递减，∵不等式f(x)x2+x恒成立，且x>0，∴lnxx+k10,∴g(x)max=g(1)=k20即可，故k2……………………………………6 (3)由（2）可知：当k=2时，lnxx1恒成立，令x= eq \f(1,4i2-1),由于i∈N*，eq \f(1,4i2-1)>0.故，lneq \f(1,4i2-1)<eq \f(1,4i2-1)-1,整理得：ln(4i2-1)>1-eq \f(1,4i2-1)变形得：：ln(4i2-1)>1-eq \f(1,(2i+1)(2i-1))，即：ln(4i2-1)>1-eq \f(1,2)(eq \f(1,2i-1) - eq \f(1,2i+1))i=1,2,3……,n时，有ln3>1-eq \f(1,2) (1-eq \f(1,3))’ ln5>1-eq \f(1,2) (1-eq \f(1,3)) ………… ln(4n2-1)> 1-eq \f(1,2) (eq \f(1,2n-1) - eq \f(1,2n+1))两边同时相加得： >n-eq \f(1,2)(1-eq \f(1,2n+1))=eq \f(2n2,2n+1)>eq \f(2n2-n,2n+1)所以不等式在n∈N*上恒成立.22. （本小题满分10分）解：(1)由ρ=2 eq \r(5)sinθ得x2+y2−2 eq \r(5)y=0,即圆C的直角坐标方程为x2+(y− eq \r(5))2=5.……………………………………………………2 由直线l的参数方程可得 eq \f(y-y0,x-x0) =1,故直线l的斜率为1. ……………………………………4(2)设M(x1,y1),N(x2,y2), 中点Q(x,y) ,将M,N代入圆方程得：x12+y12−2 eq \r(5)y1=0……………… = 1 \* GB3 ①, x22+y22−2 eq \r(5)y2=0……………… = 2 \* GB3 ②,  = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②得:(x1x2)(x1+x2)+(y1y2)(y1+y22 eq \r(5))=0……………………………………………6化简得2x+(2y−2 eq \r(5)) eq \f(y2y1,x2x1)=0因为直线l2的斜率为1，所以上式可化为x+y− eq \r(5)=0……………………………………8代入圆的方程x2+y2−2 eq \r(5)y=0，解得x= eq \f(\r(10),2)所以Q点的轨迹方程为x+y− eq \r(5)=0，x[ eq \f(\r(10),2), eq \f(\r(10),2)]……………………………………1023. （本小题满分10分）解：（1）法 一：由 eq \b\lc\{(\a\al(a=12b>0,b>0))得，0

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