2020沭阳县高三下学期联考数学试题扫描版含答案

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2019～2020学年度第二学期高三年级5月联考数学参考答案参考公式：1.方差公式：；2.球的体积公式：，是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1． 2． 3． 64． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． 证明：（1）因为,，为的中点.， 所以，所以四边形是平行四边形，所以 …………3分又因为平面,平面 所以平面. …………6分 （2）因为平面平面 平面平面 ,平面所以平面. …………8分因为平面.所以 …………10分因为分别为的中点，所以， 所以 因为，所以 …………12分因为平面,平面,所以平面. …………14分16． 解：（1）在中，由余弦定理得 …………2分所以 …………4分因为，是三角形的内角，所以 …………6分所以 …………8分（2）在中，由正弦定理得 …………10分 …………12分所以． …………14分注：其它方法酌情给分！17． 解：（1）由题意知， …………2分，， …………4分则，即，． …………6分（2） …………8分因为，所以所以， …………10分故当时，恒成立，所以在上单调递增， …………12分故当时，．答：当θ为时，矩形EFGH的面积最大，最大值为． …………14分18． 解：（1）由题设可知，所以，故，因此所以椭圆的方程为 …………3分（2）设①若，则直线的方程为联立直线与椭圆的方程，即，消去，化简得， …………5分所以又，…………7分点到直线的距离，所以当且仅当，即时，取得最大值1. …………9分②设直线的方程为.将直线与椭圆的方程联立，即消去，化简得 …………11分所以.所以-=， …………14分因为的值与点的位置无关，即上式取值与无关，故有，解得． …………16分19． 解：（1）当时，，则，在处的切点为，切线斜率为，所以函数在处的切线方程为. …………3分（2）因为.所以的定义域为； ，又因为函数在定义域上为单递增函数，所以在时恒成立， 即在时恒成立， …………6分设，则，当时，，则在上为减函数，当时，，则在上为增函数， …………8分在时恒成立，所以. …………9分（3）因为，所以，则不可能对恒成立，即在定义域上不可能始终都为减函数， …………10分由（2）知函数为增函数，所以若函数在定义域上不是单调函数又因为，所以是函数一个零点,令，得设，则与有相同的零点，令，得，因为，所以，所以有两个不相等实数解，因为，所以不妨设， …………12分当时，，在为增函数当时，，在为减函数当时，，在为增函数则 ………14分又因为时，，，，又因为在图象不间断，所以在有唯一一个零点又因为在图象不间断，所以在有唯一一个零点又因为是函数一个零点,综上函数必有三个不同零点. …………16分20． 解:（1）因为an＝eq \F(1,2n)，所以Sn＝eq \F(1,2)×eq \F(1－(eq \F(1,2))n,1－eq \F(1,2))＝1－(eq \F(1,2))n， ………………2分所以an＋1－Sn＝(eq \F(1,2))n＋1－1＋(eq \F(1,2))n＝eq \F(3,2)(eq \F(1,2))n－1≤eq \F(3,2)×eq \F(1,2)－1＝－eq \F(1,4)＜0，所以an＋1＜Sn，即{an}∈M． ………………4分（2）设{an}的公差为d，因为{an＋n}∈M，所以an＋1＋n＋1≤(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(an＋n) （*）特别的当n＝1时，a2＋2≤a1＋1，即d≤－1，由（*）得a1＋nd＋n＋1≤na1＋eq \F(n(n－1),2)d＋eq \F(n(n＋1),2)， ………………6分整理得eq \F(d＋1,2)n2＋(a1－eq \F(3,2)d－eq \F(1,2))n－a1－1≥0，因为上述不等式对一切n∈N*恒成立，所以必有eq \F(d＋1,2)≥0，解得d≥－1，又d≤－1，所以d＝－1， ………………8分于是(a1＋1)n－a1－1≥0，即(a1＋1)(n－1)≥0，所以a1＋1≥0，即a1≥－1， ………………10分（3）由an＋1≤Sn得Sn＋1－Sn≤Sn，所以Sn＋1≤2Sn，即eq \F(Sn＋1,Sn)≤2，所以eq \F(Sn＋1,S1)＝eq \F(S2,S1)×eq \F(S3,S2)×…×eq \F(Sn＋1,Sn)≤2n，从而有Sn＋1≤S1×2n＝a1×2n， 又an＋1≤Sn，所以an＋2≤Sn＋1≤a1×2n，即an≤a1×2n－2(n≥3)，又a2≤S1＝a1×22－2，a1＜a1×21－2，所以有an≤a1×2n－2(n∈N*)，所以eq \F(4n,an)≥eq \F(4,a1)×2n， ………………12分假设数列{eq \F(4n,an)}中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n项为dn＋b(b为常数)，则存在m∈N，m≥n，使得dn＋b＝eq \F(4m,am)≥eq \F(4,a1)×2m≥eq \F(4,a1)×2n，即da1n＋ba1≥2n＋2，设f (n)＝eq \F(n2,2n＋2)，n∈N*，n≥3， 则f (n＋1)－f (n)＝eq \F((n＋1)2,2n＋3)－eq \F(n2,2n＋2)＝eq \F(2－(n－1)2,2n＋3)＜0，即f (n＋1)＜f (n)≤f (3)＝eq \F(9,32)＜1， ………………14分于是当n≥3时，2n＋2＞n2，从而有：当n≥3时da1n＋ba1＞n2，即n2－da1n－ba1＜0，于是当n≥3时，关于n的不等式n2－da1n－ba1＜0有无穷多个解，显然不成立，因此数列{eq \F(4n,an)}中是不存在无穷多项依次成等差数列． ………………16分附加题21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A． 解：（1）由条件，得. …………4分（2）设变换后新曲线上任一点，变换前对应点，则，即 …………6分，代入得： 所以曲线在的作用下的新曲线的方程为 …………10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：由消去参数得圆的普通方程为，圆心坐标为， ………5分过圆心且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为， 化为极坐标方程为 ……10分C．[选修4-5：不等式选讲]解： ………………………………5分 ………………8分 当且仅当即时取最大值 …10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.解：如图，以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则．………… 1分（1）所以，设平面一个法向量为由得，取 ………… 4分设直线与平面所成角为，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为． ………… 6分（2）由（1）知平面一个法向量为取平面一个法向量 ………… 7分 ………… 9分由图知二面角的余弦值为 ………… 10分23． 解：由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为.（1）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则.所以. ………… 4分（2）设与轴的交点为，则. 由题设可得，所以（舍去），. ………… 6分设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得，而，所以. ………… 9分当与轴垂直时，与重合. 所以，所求轨迹方程为. ………… 10分