2020湘赣皖十五校高三下学期第二次联考试题（5月）数学（理）含答案

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2020届湘赣皖·长郡十五校高三联考 第二次考试

数学(理科)试卷

总分：150分  时量：120分钟

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第I卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z＝，则|z|＋z在复平面内对应的点位于

A.第四象限     B.第三象限     C.第二象限     D.第一象限

2.已知A＝{x∈Z|log2(x－2)≤2}，B＝{x|－x2＋4x－3<0}，则A∩B＝

A.{x|x<1或3<x≤6}     B.{4，5，6}     C.     D.{x|3<x≤6}

3.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体表面上的一个动点，且总有PC⊥BD1，则动点P的轨迹所围成图形的面积为

A.     B.3     C.     D.1

4.已知偶雨数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，a＝，则a，b，c的大小关系为

A.c>b>a     B.b>a>c     C.a>b>c     D.c>a>b

5.干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法。它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法。具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳。那么2013年就是癸巳年了。

2020年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大25岁，问李东的父亲是哪一年出生

A.甲子     B.乙丑     C.丁巳     D.丙卯

6.函数f(x)＝的大致图象是

7.纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富。小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣，收集了如下9枚纹样徽章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹徽章。小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为

A.     B.     C.     D.

8.设函数f(x)＝sin(x－ )(∈N*)在[，]上单调递减，则下述三个结论：

①f(x)在[，π]上的最大值为，最小值为－1；

②f()在[0，2π]上有且仅有4个零点；

③f(x)关于x＝轴对称；

其中所有正确结论的编号是

A.①②     B.①③     C.②③     D.①②③

9.在直角△ABC中，∠A＝，点D在边BC上，AD＝4，AC＝5，且△ADC的面积为8，则cosB＝

A.     B.     C.     D.

10.已知随机变量X～N(1，σ2)，且P(X<0)＝P(X≥a)，则(1＋ax)3·(x2＋)5的展开式中x4的系数为

A.680     B.640     C.180     D.40

11.已知F1(－c，0)、F2(c，0)是双曲线C：的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y2＝4cx上，则双曲线的离心率为

A.＋1     B.2     C.      D.

12.已知函数f(x)＝aex－3x2(a∈R)，若x∈[0，2]时，f(x)在x＝0处取得最大值，则a的取值范围为

A.a<     B.a≥     C.a≤0     D.<a<

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)

13.设x＝θ是函数f(x)＝3cosx＋sinx的一个极值点，则cos2θ＋sin2θ＝            。

14.已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且对任意实数都有f'(x)＝ex(2x＋3)＋f(x)，f(0)＝1，e是自然对数的底数，则f(x)在x＝0处切线方程为            。

15.已知直线x＋2y－3＝0与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x－4y＋1＝0上，则此椭圆的离心率为            。

16.已知A、B、C、D四点都在表面积为100π的球O的表面上，若BC＝4，∠BAC＝120°，则球O内接三棱锥A－BCD的体积的最大值为            。

三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝3an－2n，bn＝an＋2，cn＝。

(1)证明：{bn}为等比数列，并求an；

(2)记Tn为{cn}的前n项和，Tn<m恒成立，求m的取值范围。

18.(本小题满分12分)

如图①四边形ABCD为矩形，E、F分别为AD，BC边的三等分点，其中AB＝AE＝CF＝1，BF＝2，以EF为折痕把四边形ABFE折起如图②，使面ABFE⊥面EF－CD。

(1)证明：图②中CD⊥BD；

(2)求二面角A－BD－C的余弦值。

19.(本小题满分12分)

已知椭圆C：的离心率为，M(，－)是椭圆C上的一点。

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P(－4，0)作直线l与椭圆C交于不同两点A、B，A点关于x轴的对称点为D，问直线BD是否过定点?若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由。

20.(本小题满分12分)

发展“会员”、提供优惠，成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式。某连锁店为了吸引会员，在2019年春节期间推出一系列优惠促销活动，抽奖返现便是针对“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动：“白金卡会员”“金卡会员”、‘银卡会员”、“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会。抽奖机如图：抽奖者第一次按下抽奖键，在正四面体的顶点O出现一个小球，再次按下抽奖键，小球以相等的可能移向邻近的顶点之一，再次按下抽奖键，小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一……每一个项点上均有一个发光器，小球在某点时，该点等可能发红光或蓝光。若出现红光则获得2个单位现金，若出现蓝光则获得3个单位现金。

(1)求“银卡会员”获得奖金的分布列；

(2)Pi(i＝1，2，3，4，…)表示第i次按下抽奖键，小球出现在O点处的概率。

①求P1，P2，P3，P4的值；

②写出Pn＋1与Pn关系式，并说明理由。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ex(xlnx＋)，g(x)＝ax，a∈Z，其中e是自然对数的底数。

(1)求函数f(x)在x＝1处的切线方程；

(2)当x>0时，f(x)>g(x)恒成立，求a的最大值。

请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(3，0)，倾斜角，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c。

(1)当a＝1，b＝2时，求不等式f(x)>5＋c的解集；

(2)当f(x)的最小值为6时，证明：。