2020KS5U全国卷Ⅲ高考压轴卷数学（理）含解析

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2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

         注意事项：

   答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

   回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（  ）

A.  B.  C.  D.

2.若复数满足（是虚数单位），则为（    ）

A.      B.       C.        D.

3.已知，，，则、、的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

4.在的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则（   ）

A.  B.  C.  D.

5．已知x•log32＝1，则4x＝（　　）

A．4       B．6             C．4                            D．9

6．在△ABC中，若sinB＝2sinAcosC，那么△ABC一定是（　　）

A．等腰直角三角形   B．等腰三角形   C．直角三角形       D．等边三角形

7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的分别为，，则输出的（    ）

A. 2             B. 3              C. 4 D. 5

8.函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

9.设函数，若函数的图象在处的切线与直线平行，则的最小值为（    ）

A.               B.       C.  D.

10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（　　）

A．f（1）＜f（0）＜f（2） B．f（0）＜f（2）＜f（1） 

C．f（2）＜f（0）＜f（1） D．f（2）＜f（1）＜f（0）

11.函数的最小正周期是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有．若，则m的取值范围是

A．   B．   C．   D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数则__________．

14．已知x，y满足若的最小值为_________．

15.已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的公共点，若，则此椭圆的离心率为_________.

16、已知正三棱锥，点、、、都在半径为球面上，若、、两两相互垂直，则球心到截面的距离为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：

（1）求a，b，n；

（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．

18．（12分）的内角，，的对边分别为，，，设.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若的周长为8，求的面积的取值范围.

19．(12分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，点是的中点.

（I）求证：平面；

（II）若直线与平面所成角为，求二面角的大小.

20．（12分）设函数.

（I）讨论函数的单调性；

（II）当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.

21．（12分）中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点关于直线对称，且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为.

（I）求椭圆E的标准方程；

（II）过点的直线l（直线的斜率k存在且不为0）交E于A，B两点，交x轴于点P点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于点Q.试探究是否为定值？请说明理由.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设P（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求.

23.已知函数．

（1）解不等式：

（2）若函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围．

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理科数学·参考答案

1、【答案】C

【解析】算出集合后可求.

【详解】，，

故，故选C.

2、【答案】B

【解析】利用复数的除法运算求得，问题得解.

【详解】由可得：

所以 故选：B

3、【答案】A

【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、与和的大小关系，从而可得出实数、、的大小关系.

【详解】由于指数函数是增函数，则；

对数函数是增函数，则，即；

对数函数是增函数，则.

因此，.

故选：A.

4、【答案】B

【解析】

， ， ，解得： ，故选B.

5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．

解：∵x•log32＝1，∴x＝log23，

∴4x＝＝＝9，

故选：D．

6、B解：∵sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝2sinAcosC，

∴cosAsinC﹣sinAcosC＝sin（C﹣A）＝0，即C﹣A＝0，C＝A，

∴a＝c，即△ABC为等腰三角形．

故选：B．

7、【答案】C

【解析】按流程图逐一执行即可.

【详解】输入的分别为，时，依次执行程序框图可得：

不成立

不成立

不成立

成立

输出故选：C

8、【答案】D

【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．

【详解】当x<0时，f（x）0．排除AC，

f′（x），令g(x)

g′（x），当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g(x)是增函数，

当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数g(x)是减函数，g(0)=，g(3)=3>0， g(4)=<0，

存在，使得g()=0，

且当x∈（0，），g(x)>0，即f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，

当x∈（，+∞），g(x)<0，即f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，

∴B不正确，

故选D．

9、【答案】D

【解析】由可得：，

又函数的图象在处的切线与直线平行，

所以

所以

当且仅当时，等号成立

所以的最小值为

故选： D

10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．

解：∵函数的最小周期是π，∴＝π，得ω＝2，

则f（x）＝sin（2x+φ），

∵f（x）关于中心对称，

∴2×（﹣）+φ＝kπ，k∈Z，

即φ＝kπ+，k∈Z，

∵，

∴当k＝0时，φ＝，

即f（x）＝sin（2x+），

则函数在[﹣，]上递增，在[，]上递减，

f（0）＝f（），

∵＜1＜2，

∴f（）＞f（1）＞f（2），

即f（2）＜f（1）＜f（0），

故选：D．

11、【答案】B

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将化简为的形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案.

【详解】解：

，可得其最小正周期为，

故选B.

12【答案】D

【解析】构造函数，所以构造函数，，所以的对称轴为，所以，是增函数；是减函数。，解得：

13【答案】1.

【解析】根据分段函数的解析式逐步代入求解可得结果．

【详解】由题意得．

故答案为：1．

14、【答案】5

【解析】

式组表示的平面区域，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x＝3且y＝1时，z取得最小值．

【详解】作出不等式组表示的平面区域，

其中解得A（3，1）

设z＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，

观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值

∴z最小值＝3+2＝5

故答案为：5．

15、【答案】

【解析】通过抛物线和椭圆性质得到P点坐标，将P点坐标代入椭圆得到答案.

【详解】设椭圆的左焦点为，由题意抛物线的准线方程为

，

由抛物线的定义知点P到准线的距离为 ，可得点P的横坐标为 ，

纵坐标为

则有 ，所以 ，

则

故答案为

16、【答案】

【详解】∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，

∴此正三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为三条棱的正方体的外接球，

∵球的半径为，

∴正方体的边长为2，即PA＝PB＝PC＝2

球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离

设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积VS△ABC×hS△PAB×PC2×2×2

△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC（2）2

∴h

∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为，故答案为．

17、解：（1）由10÷0.1＝100，即n＝100，

∴a＝100×0.4＝40，

b＝30÷100＝0.3．   ···········································6分

（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，

由分层抽样得：，

解得x＝2，y＝4，

∴在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，

有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，

则所有的抽样情况有15种，分别为：

A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，

其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：

A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，

∴至少有1件特等品被抽到的概率为：p＝．       12分

18．（1）且，

又，  6分

（2）由题意知：

，

或（舍）（当时取“”）

综上，的面积的取值范围为   12分   

19、（1）连接交于，连接，

由题意可知，，，

又在平面外，平面，所以平面.       4分

以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，

，，，

设平面的法向量，

由，得，取，

又由直线与平面所成的角为，                    8分

得，解得，

同理可得平面的法向量，

由向量的夹角公式，可得，

又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.                   12分

20．（1）函数的定义域为，.

当，即时，，函数在上单调递增.

当时，令，解得，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减.

综上所述：

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减      .6分

（2）由（1）知，当函数有最大值时，，

且最大值， 此时，

即.令.

故在上单调递增，且∴等价于，∴，

故a的取值范围为.                12分

21．（1）因为椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点关于直线对称，

所以椭圆E的右焦点为，所以.

又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为，所以，又，

所以椭圆E的标准方程为.     4 分

（2）设直线l的方程为，，则点，设

则点，联立直线l与椭圆E的方程有，

得，所以有，即

且，即直线BD的方程为

令，得点Q的横坐标为，

代入得：，

所以，所以为定值4.                12分

22、【答案】（1），；（2）

【解析】（1）直线l的参数方程为（t为参数）．消去参数t可得直线l的普通方程为

由，得，则有，即，

则曲线C的直角坐标方程为

（2）将l的参数方程代入，得，设两根为，

则，为M，N对应的参数，且

所以，线段MN的中点为Q对应的参数为，

所以，

23、【答案】（1）； （2）.

【解析】(1)由得，即：

等价于或或．

解得或或，即，

所以原不等式的解集为．

（2）因为函数在单调递增，所以，

因为，

在处，取得最大值，

要使函数与函数的图象恒有公共点，则须，

即，故实数的取值范围是