2020盐城高三年级第四次模拟考试数学试题含附加题PDF版含答案

盐城市2020届高三年级第四次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．

1．      2．         3．      4．       5．          6．         7．

8．充分不必要     9．     10．    11．     12．     13．       14．

二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．

15．解析：（1）因为的最小值是－2，所以M＝2．          ………………………………2分

因为的最小正周期是，所以，                    ………………………………4分

又由的图象经过点，可得， ，

所以或，k∈Z，

又，所以，故，即．………………………………6分

（2）由（1）知，又，，

故，即，

又因为△中，，

所以，，…………………10分

所以

．        ………………………………14分

16．证明：(1)设，连结， 因为底面是菱形，故为中点，

又因为点是的中点，所以．                     ………………………………2分

又因为平面BDE，平面BDE， 所以平面BDE．………………………………6分

(2)  因为平面平面，，平面平面，平面，

所以平面．                                  ………………………………9分

又平面，所以．

∵是菱形，∴，

又，，平面，平面，

所以平面．                                   ………………………………12分

又平面，所以平面平面．            ………………………………14分

17．解析：连接CM，设，则，，

，，

设新建的道路长度之和为，则，……6分

由得，设，，

则，，，令得， …………10分

设，，

的情况如下表：

由表可知时有最大值，

此时，，，．  ………………………………13分

答：新建道路长度之和的最大值为千米．             ………………………………14分

注：定义域扩展为，求出最值后验证也可.

18．解析：(1)因为椭圆的短轴长为2，所以，

当直线过原点时，轴，所以为直角三角形，

由定义知，而，故，

由得，化简得，

故椭圆的方程为．                             ………………………………4分

（2）①设直线，代入到椭圆方程得：，

设，则，  ………………………………6分

所以，

化简可得，                        ………………………………10分

解得：或，即为直线PQ的斜率．              ………………………………12分

②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，，

当两条直线与坐标轴都不垂直时，

由①知，同理可得，      ………………………………14分

故，

当且仅当即时取等号．

综上，的最小值为．                   ………………………………16分

19．解析：(1)由数列是数列得，可得．………2分

(2)由是数列知恒成立，取得恒成立，

当时满足题意，此时，

当时，由可得，取得，

设公差为，则解得或者，

综上，或或，经检验均合题意．………………………………8分

(3)方法一:假设存在满足条件的数列，不妨设该等比数列的公比为，

则有，可得，①

，可得，②

综上①②可得，                          ………………………………10分

故，代入得，则当时，…………12分

又，

当时，不妨设，且为奇数，

由，

而，所以，，，

综上，满足条件的数列有无穷多个，其通项公式为．………………………………16分

方法二:同方法一得，当时，

当时，，而，，故，以下同方法一．

方法三:假设存在满足条件的数列，显然的所有项及k均不为零，，

不妨设该等比数列的公比为，

当时，，，两式相除可得，

故当时也为等比数列，                       ………………………………10分

故，则，，由得，且当时，                                     ………………………………12分

则，，∴，∴，

故当时，

综上，满足条件的数列有无穷多个，其通项公式为．………………………………16分

20．解析：（1）当时，，所以，…1分

由得，当时，；当时，，

所以函数的单调增区间为．                                      ……3分

（2）由题意得，

令，则，

当即时，恒成立，得在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点；

当即时，此时恒成立，在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点；

当即或时，易得在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点；                                                         ……6分

当时，解得或（舍），

当时，设的两个零点为，所以，不妨设，

又，所以，故，

当时，；当时，；当时，；

当时，；∴在上递减，在上递增，在上递减，在上递增；所以是函数极大值点.

综上所述．                                                      ……10分

（3）①由（2）知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故函数

至多有两个零点，欲使有两个零点，需，得，

此时，，

当时，，此时函数在上恰有1个零点；              ……12分

又当时，，

由（1）知在上单调递增，

所以，故此时函数在恰有1个零点；

由此可知当时，函数有两个零点．                               ……14分

②当时，由（2）知在上递减，在上递增，在上递减，在上递增；

而，所以，

此时函数也至多有两个零点.

综上①②所述，函数的零点个数的最大值为2．                      ……16分

附加题答案

21A．解：由题意知，所以，即，…………4分

所以矩阵的特征多项式，

由，解得或，                                  …………8分

当时，，令，则，

所以矩阵的另一个特征值为，对应的一个特征向量为．         …………10分

21B．解：由题意知直线的直角坐标方程为，             …………2分

又曲线的极坐标方程，即，

所以曲线的直角坐标方程为，

所以曲线是圆心为的圆，                                       …………8分

当直线被曲线截得的弦长最大时，得，解得．     …………10分

21C．解：由柯西不等式有，     …………6分

所以(当且仅当即，时取等号)，       …………8分

所以的最小值是．                                         …………10分

22．解：（1）当直线与轴垂直时的长为，又，取，…………1分

所以，解得，所以抛物线的方程为．            …………2分

（2）由题意知，，

因，所以，                                      …………4分

当时，直线与抛物线不存在两个交点，所以，

故设直线的方程为，代入抛物线方程得，

所以，，                                       …………6分

当时，，，所以，，

所以，直线的方程为，                          …………8分

当时，同理可得直线的方程为，          

综上所述，直线的方程为．                            …………10分

23．解：（1）当时，，由，得，，  ……1分

当时，或，由，得，

由，得，．                         …………3分

（2）因，由累乘法得，

所以，     ………5分

所以，                                         ………6分

当时，也适合，

所以，                     ………8分

即，

所以．                            ………10分