2021扬州高三上学期1月适应性练习数学试题含答案

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扬州市2020—2021学年度第一学期高三适应性练习试题                                 高三数学                          2021.1（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的选项中，只有一项符合要求)．1．已知集合，，则（   ）A． B． C． D．2．已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（  ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．展开式中，含项的系数为（  ）A．              B．                   C．          D．4．如图是某品牌手机的商标图案，制作时以曲线段为分界线，裁去一部分图形而成，已知该分界线是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则两点间的距离为（   ）A． B． C．           D．5．已知正的边长为，是边上一点，且，则（    ）A．              B．                  C．              D．6．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A．                 B．                  C．              D．7．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为（    ）A．40 B．20 C．10 D． 58．已知函数，若且，则的最大值为（   ）A． B． C． D． 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9.下列说法中正确的是（   ）A.“”是“”的既不充分又不必要条件;B. “”是“成等比数列”的充分不必要条件;C. “”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件;D. 对于函数，“”是“函数为奇函数”的充要条件.10. 已知函数的部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（   ）A.  B. C.  D.11．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列说法中正确的是（   ） A．存在点使得        B．异面直线与所成的角为 C．三棱锥的体积为定值   D．到平面的距离为 12．16世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题：“45次方程的根如何求？”，法国数学家韦达利用三角知识成功解决了该问题，并指出当时，此方程的全部根为，根据以上信息可得方程的根可以是（    ）A．                B．                 C．             D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知长方体的长、宽、高分别为，则该长方体的外接球的半径         ．681012235614．某种型号的机器使用总时间（年）（其中）与所需支出的维修总费用（万元）的统计数据如下表：根据表中数据可得与之间的线性回归方程为，若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用__________年.（填整数） 15．几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中顶角为的等腰三角形被称为“黄金三角形”.如图，已知五角星是由5个“黄金三角形”与1个正五边形组成，且. 记阴影部分的面积为，正五边形的面积为，则       ．  16．已知双曲线的右顶点为， 以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为         ．四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在中，角的对边分别为，的面积为，．（1）求；（2）若，               ，求．请在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．    18．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式； （2）若，且，求数列的前项和．     19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，四边形是长方形，，，（1）证明：平面；（2）若，为中点，求二面角的余弦值.     20．（本小题满分12分） 为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频率分布表： 周末运动时间（分钟）人数（1）从周末运动时间在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，现从这人中随机推荐人参加体能测试，记推荐的人中来自的人数为，求的分布列和数学期望；（2）由频率分布表可认为：周末运动时间服从正态分布，其中为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得. 可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到）；参考数据1：当时，.        参考数据2：   21．（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为,左右顶点分别为，上下顶点分别为，四边形的面积为，（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别交直线于两点，判断是否为定值，并说明理由.   22．（本小题满分12分） 已知函数，（其中为参数）（1）若，且直线与的图象相切，求实数的值；（2）若对任意，不等式成立，求正实数的取值范围. 2020—2021学年度第一学期高三适应性练习                                 高三数学参考答案                          2021.11、B     2、C     3、A       4、C     5、D     6、B     7、A       8、D9、AB   10、AD   11、BCD   12、AC13、    14、     15、    16、 17、解：（1）在中，因为，所以由正弦定理得，因为，所以，                                           ……………2分所以因为，所以，                                             ……………4分因为，所以                                                  ……………5分（2）选①:由正弦定理得，即，因为，所以，所以，所以是直角三角形，所以.        …………10分选②:由得，解得因为，所以，所以，所以是直角三角形，所以.        …………10分选③：因为，所以， 因为，所以，又，所以为正三角形，所以  …………10分18、解：（1）因为 ，所以，两式相减得，                                              ……………2分因为，，所以令，则可得 所以又，，，所以（）所以，（），                                                  ……………5分所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以                                                      ……………6分    注：结果对，但没有说明的扣2分（2）因为，所以                             ………… 7 分所以       ……………9分所以                                      ……………12分19、（1）证明：∵四边形为长方形，∴，∵，，∴平面                                                 ……………3分∵ ∴.                                 同理，又，∴平面.                                              ……………5分（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系 …6分则设为平面的法向量， ∵∴，令，则， ∴平面的一个法向量.            ……………8分同理可求得平面的一个法向量，    ……………10分∴.    ∵二面角的大小为钝角∴二面角的余弦值为.          ……………12分注：错将二面角的余弦值写成的扣1分20、解：（1）随机变量的可能取值为，，    ……………3分所以                                   ……………5分（2） ………7分又，所以 ……………9分               所以或，                  所以，                                             所以                                 ……………11分                                           ……………12分21、解：（1）由题意得，                                       ……………….2分解得，所以椭圆的方程为.                        ……………….4分 （2）方法1：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时可得，，，所以.           ……………….5分若直线的斜率存在，设直线的方程为,代入整理得，易得恒成立.设， 则，           ………………7分由直线的方程可得点，由直线的方程可得点，所以                                        ……………….8分所以                   ……………….9分综上，为定值.                                                    ……………….12分方法2：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入整理得，易得恒成立. 设，则，          ………………7分由直线的方程可得点，由直线的方程可得点，所以                                        ……………….8分所以                   ……………….9分                                     ……………….12分22、解：（1）若，则，设切点，则，即    ……………….2分令，观察得，                          ……………….4分   又，所以在上递增，所以方程的根仅有，所以                 ……………….5分注：观察出是的根但没有交待唯一性的扣1分 （2）方法1：（直接研究差函数的最小值）令，则,令，则在上递增，且，，所以存在唯一，使得，所以                  当时，，故函数单调递减．当时，故函数单调递增．所以                                   ……………….7分                                                          ……………….9分由恒成立得，即，令，则，所以在上递减．由得的解为，所以，                ……………….11分令，则在上递增，所以，所以．                              ……………….12分       方法2：（构建同构式处理不等式） 由得，即，两边同时加得令,则，                             ……………….9分  ∵为单调增函数 ∴，即，令,则∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，解得．                                        ……………….12分