2021湖北山东部分重点中学高三12月教学质量联合检测数学试题含答案

湖北山东部分重点中学2021届高三12月教学质量联合检测

数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。

2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（原创，易）已知集合则（   ）

A.   B.   C.   D.

2.（原创，易）已知直线则“”是“⊥”的（  ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件  C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.（原创，易）已知双曲线的两条渐近线的斜率之积等于，则双曲线的离心率为（   ）

A.   B.   C.   D.

4.（改编，易）下列关于的关系中为函数的是（   ）

A.   B.    

C.       D.

5.（改编，易）已知，、的大小关系为（   ）

A.  B.  C.  D.

6.（原创，中）在△ABC中，已知，则＝（  ）

A.1   B.3   C.2   D.

7.（原创，中）已知数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，若数列为“和谐数列”，则的取值范围为（   ）

A.  B.  C.  D.

8.（改编，中）已知在正三棱锥A-BCD中，E为AD的中点，AB⊥CE，则正三棱锥A-BCD的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为（   ）

A.   B.   

C.  D.

二、多项选择题：本大题共包括4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两个选项符合题意，全对得5分，漏选得3分，选错不得分.

9.（原创，易）若复数满足，则（   ）

A.   

B.是纯虚数

C.复数在复平面内对应的点在第三象限  

D.若复数在复平面内对应的点在角的终边上，

10.（原创，中）如图正方体，取正方体六个面的中心G，H，M，N，E，F将其连接起来就得到了一个正八面体，下面说法正确的是（   ）

A.∥平面FMN

B.EM与平面GHMN所成角为

C.平面FMN⊥平面FGH

D.平面FHM∥平面EGN

11.（原创，易）设角的顶点与坐标原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为则下列命题正确的是（   ）

A.    B.为偶函数，为奇函数

C.

D.均为单调递增函数

12.（原创，中）已知函数（   ）

A.函数  

B.函数

C.

D.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（改编，易）已知圆的距离为1，则实数＝         .

14.（原创，中）学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃。欲将轻骑逐，大雪满弓刀。”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情。这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归。月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想（n＝0，1，2，...）是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数.现设，则数列的前n项和＝            .

15.（原创，中）已知抛物线的直线交抛物线于A，B两点，且抛物线的准线方程为          ；的值为          .（本题第一空2分，第二空3分）

16.（改编，难）如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面c米的C处看此树，则距离此树         米时，看A、B的视角（）最大.（结果用a，b，c表示）

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（原创，易）（本题满分为10分）

在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（I）a的值；

（II）△ABC的面积；

条件①：；

条件②：

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（改编，易）（本题满分为12分）

   近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为5G，然而这并没有让华为却步。今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本R（x）万元，且R(x)＝

由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

（I）求2020年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）.

（II）2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少?

19.（原创，中）（本题满分为12分）

   已知圆台，轴截面ABCD，圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半径为高的两倍，点E为下底圆弧CD的中点，点N为上底圆周上靠近点A的的四等分点，经过O1，O2，N三点的平面与弧CD交于点M，且E，M，N三点在平面ABCD的同侧.

（I）判断平面与直线CE的位置关系，并证明你的结论；

（II）P为上底圆周上的一个动点，当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求异面直线CP与DB所成角的余弦值.

20.（原创，中）（本题满分为12分）

   已知是等差数列，其前n项和为是正项等比数列，且＝13，.

（I）求数列与的通项公式；

（II）若

21.（原创，中）（本题满分为12分）

已知椭圆P，Q两点，过原点O与线段PQ中点E的直线的斜率为

（I）求椭圆C的离心率；

（II）若椭圆C的短轴长为△APQ的面积.

22.（改编，难）（本题满分为12分）

   已知函数

（I）求的取值范围；

（II）设证明：.

湖北山东部分重点中学2021届高三12月教学质量联合检测

数学试题参考答与评分标准

1.【答案】D

【解析】由题意可得即集合又集合所以

【考点】集合的交集运算、函数的定义域.

2.【答案】A

【解析】因为当⊥时，有“⊥”，但“⊥”不能推出“”，故“”是“⊥”的充分不必要条件，故选A.

【考点】直线与直线垂直的等价条件、 一元二次方程的解、充分条件和必要条件的判断.

3.【答案】 A

【解析】因为双曲线C的渐近线方程为所以，所以

【考点】双曲线的渐近线、离心率.

4.【答案】D

【解析】对于A，定义域需满足即，不能满足函数的定义，故B不是函数；对于C，不能满足函数的定义，故C不是函数；对于D，满足构成函数的要素，故D是函数，故选D.

【考点】构成函数的要素.

5.【答案】D

【解析】，

【考点】指数与对数比较大小

6.【答案】B

【解析】⊥，A＝.

则△ABC中，故选B.

【考点】向量的线性运算、向量垂直的判定、平面向量的数量积.

7.【答案】B

【解析】当＝0时，显然满足；当时，＝由可得，由恒成立，可得. 综上可知，，故选B.

【考点】等比数列的通项公式和前项和.

8.【答案】D

【解析】正三棱锥A-BCD中，AB⊥CD，AB⊥CE，AB⊥平面ACD，AB⊥AC，AB⊥AD，三条侧棱两两相互垂直，设可得正三棱锥A-BCD的表面积为设外接球的半径为R，则2R＝

，则外接球的表面积所以两表面积的比为

故选D.

【考点】正三棱锥的性质、三棱锥的表面积、三棱锥的外接球、球的表面积.

9.【答案】AB

【解析】由题意，复数满足，所以故选项A正确；是纯虚数，故选项B正确；复数在复平面内对应点的坐标为（2，4）位于第一象限，故选项C错误；因为在复平面内对应的（2，4）在角的终边上，所以故选项D错误，故选AB.

【考点】复数的几何意义、复数的概念、三角恒等变换.

10.【答案】ABD

【解析】连接根据正方体六个面的中心分别为点G,H,M,N,E,F,可得EH∥C1D.同理可证FN∥C1D，则EH∥FN.因为FN平面FMN，平面FMN，所以EH∥平面FMN，故选项A正确；由题意知，四边形GHMN为正方形，设（点O同时是正方体和正八面体的中心），连接EO，则∠EMO即为EM与平面GHMN所成角.由长度关系可得∠EMO＝，故选项B正确；连接BD.由题意知BD过点F，则平面且GH∥∥.取GH，NM的中点S，T，连接ST，FS，FT.因为△△都为等边三角形，所以∠即为平面与平面所成的二面角.由余弦定理可得∠，故选项C错误；由以上证明可知，GN∥.因为平面所以∥平面EGN.又因为EG∥AC1，FM∥AC1，所以EG∥FM.因为EG平面EGN，FM平面EGN，所以FM∥平面EGN.因为FMHM＝M,所以平面FHM∥平面EGN，故选项D正确，故选ABD.

【考点】空间中线面的位置关系、正八面体、直线与平面所成角.

11.【答案】BC

【解析】由任意角三角函数的定义可知，故选项A错误；由于

为偶函数，由于

，，因此两个函数的最大值均为，故选项C正确；由于

上单调递减，故选项D错误，故选BC.

【考点】三角函数的定义和性质、正弦函数和余弦函数的图象与性质.

12.【答案】ABC

【解析】作出函数的图象如图所示，当时，函数只有1个零点；当有2个零点；当时，函数只有1个零点，故选项A，B正确；当时，函数为单调递增函数，故选项C正确；当时，

该方程有两个解；当方程有两个解，所以方程4个不同实数根，故选项D错误.综上，故选ABC.

【考点】函数的零点、单调性、函数的图象与性质.

13.【答案】

【解析】

【考点】直线与圆的位置关系.

14.【答案】

【解析】

【考点】对数运算、数列的前n项和、新定义.

15.【答案】

【解析】抛物线所以抛物线方程为准线为如图，取AF的中点为C，分别过点A，C，F，B作准线的垂线，垂足分别为M，Q，P，N.由.设

又,解得所以

【考点】抛物线的定义、准线方程与几何性质.

16.【答案】

【解析】

过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D.

设∠∠

在△BCD中，

在△ACD中，

则

（当且仅当时取等）

【考点】解三角形的应用、均值不等式.

17.条件①：；条件②：

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】若选择条件①：

(II)

若选择条件②：

(I)

(II)

【考点】正、余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换.

18.【解析】

（I）当

……………………………………2分

     当

                    ………………………………………5分

  …………………………………………6分

（II）若

    …………………………………………………8分

若…………10分

当且仅当………………………………11分

2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.

……………………………………………………12分

【考点】函数的表示方法、均值不等式、二次函数及函数模型的应用。

19.【解析】

（I）…………………………………………1分

（II）当四棱锥P-ABCD的体积最大时，也就是点P到平面ABCD的距离最大，此时点P为上底圆周上的中点.

    设圆台的上底面圆的半径为r，则高为r，以点O2为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则……………7分

 ……………………………8分

 ……………9分

异面直线CP与DB所成角的余弦值为………………10分

当点P在的另一侧中点时，异面直线CP与DB所成角的余弦值也是……11分

异面直线CP与DB所成角的余弦值为…………………………12分

【考点】圆台的结构特征、空间中线面的位置关系、异面直线所成角.

20.【解析】

（I）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，

（II）由（I）得

 由①-②得

      ＝

   又

        ＝

【考点】等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求前n项和.

21.【解析】

（I）设则椭圆C的方程为

消去

    （本问也可以用“点差法”直接求得

（II）

点

△

【考点】椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系.

22.【解析】

（I）

（II）

【考点】导数与不等式.