黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题(每小题5分，共20分），解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年度第一 学期
高二年级数学学科第一次考试（人教A版九~十章、选择性必修1第一章）
一、单项选择题（每小题5分 共60分）
1.以下事件是随机事件的是( )
A.标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B.走到十字路口，遇到红灯
C.长和宽分别为的矩形，其面积为 D.实系数一元一次方程必有一实根
2.某医院治疗一种疾病的治愈率为,前4个病人都没有治好,第5个病人的治愈率为(   )
A. B. C. D.
3.某市新上了一批便民公共自行车,有绿色和橙黄色两种颜色,且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为,现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口,则其中绿色公共自行车的辆数是(   )
A.8  B.12 C.16 D.24
4.已知样本,的平均数是4,方差是2,则另一样本的平均数和方差分别为( )
A.12,2 B.14,6 C.12,8 D.14,18
5.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是(   )
A.3.5      B.3        C.       D.
6.已知空间向量和实数,则下列说法正确的是( )
A.若,则或 B.若,则或
C.若,则或 D.若,则
7.已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有( )
A.，共线 B.，共线 C.，，共面 D.，，不共面
8.设直线，的方向向量分别为，，若，则实数m等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知向量与平行，则实数的值为（ ）
A．2 B．-2 C． 20 D．-20
10.已知平面内两向量,若为平面的法向量且，则的值分别为( )
A. B. C.1，2 D.
11.(多选题)已知空间中两条不同的直线,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中错误的是(　 )
A.若直线的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,-2,4),则∥m
B.若直线的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则∥α
C.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β
D.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1
12.(多选题) 关于四面体P-ABC的下列四个说法中正确的是 (　 )
A.若AD= 13AC+23AB,则BC=3BD
B.若Q为△ABC的重心,则PQ= 13PA+13PB+13PC
C.若PA·BC=0,PC·AB=0,则PB·AC=0
D.若四面体P-ABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则|MN|=1
二、填空题(每小题5分，共20分）
13.已知几何体ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,给出下列四个说法:①AB-CB=AC;
②AC'=AB+B'C'+CC';③AA'=CC';④AB+BB'+BC+C'C=AC'.其中正确说法的序号是　　　　. 
14.已知平面α的一个法向量为n=(2,1,2),点A(-2,3,0)在α内,则P(1,1,4)到α的距离______。　
15.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离________.
16.如图,在正方体OABC-O1A1B1C1中,点G为△ACO1的重心,若OA=a,OC=b,OO1=c,OG=xa+yb+zc,则x+y+z=　　　　.
三、解答题（17题10分，其他每小题12分，共70分）
17.甲、乙两名同学参加投篮比赛,甲投中的概率为0.8,乙投中的概率为0.9,
求:(1)2人都投中的概率; (2)2人中至少有1人投中的概率.



18.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量,得到频率分布直方图如图所示.
(1)求这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)内的人数;
(2)求这20名工人一天生产该产品的数量的中位数;
(3)求这20名工人一天生产该产品的数量的平均数.


19.某班50名学生在一次百米测试中成绩全部介于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组,成绩大于或等于13秒且小于14秒;第二组,成绩大于或等于14秒且小于15秒;…;第六组,成绩大于或等于18秒且小于或等于19秒.如图G9-2是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)估计此次百米测试成绩的中位数(精确到0.01);
(2)为了尽快提高学生的体育成绩,对此次百米测试成绩不小于17秒的两组学生进行特训,特训一段时间后有2名学生成绩符合要求(小于17秒),求这2名学生来自同一组的概率.














20.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c.
(1)求a+b;
(2)求向量a+b与2a+b-c夹角的大小.










21.如图,在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为棱BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.
求证:(1)平面GEF⊥平面PBC; (2)EG与直线PG和BC都垂直.












22.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.在BC1上是否存在一点E,使得OE∥平面A1AB?若不存在,说明理由;若存在,确定点E的位置.


















海林朝中高中数学答题卡
姓名________班级______
一. 选择题（12×5=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案













二. 填空题 （4×5=20分）
13._____________ 14._____________
15.____________ 16.______________
三. 解答题 （共70分）
17.



18.












19.











20.









21.



















22.

















答案


1.答案：B解析：标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件。
2.B治愈率为,表明每个病人被治愈的概率为,并不是5个人中必有1个人被治愈,故选B.
3.答案：D解析：设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是,则,解得
4.答案：D解析：由平均数与方差的性质可知,故选D.
5.答案：D解析：错将数据输入为,则平均数少.即与实际平均数的差是.
6.答案：B解析：对于选项A,若,则或或,故A错误;对于选项C,由,得,即可得其模相等,但方向不确定,故C错误;对于选项D,由,得,则或或,故D错误;对于选项B,由,可得或,故B正确,故选B.
7.答案：C 解析：由共面向量定理知，，，共面.
8.答案：B解析：因为，所以，则，解得，故选B.
9.答案：A
10.答案：A
解析：.由为平面的法向量,得,即,解得.
11.BCD　[解析] 对于A,b=2a,则a∥b,∴l∥m,故A中说法正确;对于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,则a⊥n,∴l∥α或l⊂α,故B中说法错误;对于C,若n1=λn2(λ≠0),则(0,1,3)=λ(1,0,2),得0=λ,1=0,3=2λ,此方程组无解,∴α∥β不成立,故C中说法错误;对于D,AB=(-1,-1,1),BC=(-1,3,0),∵n=(1,u,t)是平面α的法向量,∴n·AB=-1-u+t=0,n·BC=-1+3u=0,解得u=13,t=43,∴u+t=53,故D中说法错误.故选BCD.
12.ABC　[解析] 对于A,由AD=13AC+23AB,得3AD=AC+2AB,则可得2AD-2AB=AC-AD,所以2BD=DC,故2BD=BC-BD,所以BC=3BD,故A正确;对于B,因为Q为△ABC的重心,所以QA+QB+QC=0,所以3PQ+QA+QB+QC=3PQ,整理得PQ=13PA+13PB+13PC,故B正确;对于C,由PA·BC=0,PC·AB=0,得PA·BC+PC·AB=0,所以PA·BC+PC·(AC+CB)=0,整理得(PA-PC)·BC+PC·AC=0,所以CA·BC+PC·AC=0,即AC·CB+PC·AC=0,整理得PB·AC=0,故C正确;对于D,由题可知,四面体P-ABC的各个面均为正三角形,则|PA|=|PB|=|PC|=2,PA,PB,PC两两之间的夹角均为60°,连接PN,因为MN=PN-PM=12(PB+PC)-12PA=12(PB+PC-PA),且|PB+PC-PA|=|PA|2+|PB|2+|PC|2-2PA·PB-2PA·PC+2PB·PC=22,所以|MN|=2,故D错误.故选ABC.
二、填空题(每小题5分，共20分）
13.①②③　[解析] AB-CB=AB+BC=AC,①正确;AB+B'C'+CC'=AB+BC+CC'=AC',②正确;③显然正确;AB+BB'+BC+C'C=(AB+BC)+(BB'+C'C)=AC,④不正确.故填①②③.　
14.[解析] 连接AP,AP=(1,1,4)-(-2,3,0)=(3,-2,4),则P(1,1,4)到平面α的距离d=|n·AP||n|=6-2+822+1+22=4.
15.　[解析] 以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),所以PA=(1,0,0),AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=0,n·AC=0,即-x+y=0,-x+z=0,令x=1,得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),所以点P到平面ABC的距离d=|PA·n||n|=33.





16.1　[解析] 易知△ACO1为正三角形,如图,连接BO交AC于点M,连接O1M,显然点G在线段O1M上,且满足O1G=2GM,即OG-OO1=2(OM-OG),整理得OG=23OM+13OO1,所以有
OG=23×12(OA+OC)+13OO1=13a+13b+13c,所以x=y=z=13,则x+y+z=1.


三、解答题（17题10分，其他每小题12分，共70分）
17.解:(1)设“甲投中”为事件A,“乙投中”为事件B, 则A与B为相互独立事件,
∴两人都投中的概率P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72.
(2)∵“2人中至少有1人投中”与“2人都未投中”为对立事件,
事件“2人都未投中”的概率为0.2×0.1=0.02,
∴2人中至少有1人投中的概率为1-0.02=0.98.

18.解:
(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)内的人数为(0.04×10+0.025×10)×20=13.
(2)设中位数为x,则0.2+(x-55)×0.04=0.5,解得x=62.5.
(3)这20名工人一天生产该产品的数量的平均数为0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.
19.解:(1)前两组的频率和为0.02+0.18=0.2,前三组的频率和为0.02+0.18+0.36=0.56,
所以估计中位数为15+0.5-0.20.36≈15.83.
(2)由已知得,第五组的频数为50×0.06×1=3,
同理第六组的频数为2,
记第五组的学生为a1,a2,a3,第六组的学生为b1,b2.
对成绩不小于17秒的两组学生进行特训,特训一段时间后有2名学生成绩符合要求,则样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},共10个样本点.
记事件A=“2名学生来自同一组”,则A={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(b1,b2)},共4个样本点,
故P(A)=410=25,
即这2名学生来自同一组的概率为25.
20.解:(1)由x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c,可得x+y+1=0,12=y-4=12,解得x=1,y=-2,则a=(1,1,1),b=(1,-2,1),所以a+b=(2,-1,2),故|a+b|=22+(-1)2+22=3.
(2)因为2a+b-c=(1,4,1),所以(a+b)·(2a+b-c)=2×1+(-1)×4+2×1=0,故向量a+b与2a+b-c的夹角为π2.

21.证明:(1)以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则P(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),∴EF=(0,-1,-1),EG=(1,-1,-1).设平面GEF的法向量为n=(x,y,z),
则n·EF=0,n·EG=0,即y+z=0,x-y-z=0,取y=1,得n=(0,1,-1).显然PA=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.∵n·PA=0,∴n⊥PA,∴平面GEF⊥平面PBC.
(2)由(1)知,EG=(1,-1,-1),PG=(1,1,0),BC=(0,-3,3),∴EG·PG=0,EG·BC=0,∴EG⊥PG,EG⊥BC,∴EG与直线PG和BC都垂直.

22.解:连接OA1,因为A1A=A1C,且O为AC的中点,所以A1O⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,且A1O⊂平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABC.连接OB,由AB=BC,得OB⊥AC,所以以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,所以OB=12AC=1,所以O(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),B(1,0,0),则AA1=(0,1,3),AB=(1,1,0).设平面A1AB的法向量为n=(x,y,z),则有n·AA1=0,n·AB=0,即y+3z=0,x+y=0,
令y=1,得x=-1,z=-33,所以n=-1,1,-33.设E(x0,y0,z0),BE=λBC1(0≤λ≤1),由BC1=(-1,2,3),得(x0-1,y0,z0)=λ(-1,2,3),所以x0=1-λ,y0=2λ,z0=3λ,所以E(1-λ,2λ,3λ),所以OE=(1-λ,2λ,3λ),
由OE∥平面A1AB,得OE·n=0,即-1+λ+2λ-λ=0,得λ=12,
所以存在这样的点E,E为BC1的中点.