(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习9.8《第1课时　圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题》(含详解)

[基础题组练]

1．过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选B．由题意知B，所以k＝＝＝1－e.又＜k＜，所以＜1－e＜，解得＜e＜.

2．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为________．

解析：由抛物线的焦半径公式可得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2.

又x1＋x2＋4＝|AB|，

即|AB|＝(|AF|＋|BF|)，

所以cos ∠AFB＝＝

＝＝×－≥×2－＝－，

当且仅当＝即|AF|＝|BF|时，等号成立．

又0＜∠AFB＜π，所以∠AFB的最大值为.

答案：

3．设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.

(1)求E的离心率e；

(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.

解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，　

又kOM＝，从而＝.

进而a＝b，c＝＝2b，

故e＝＝.

(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.

又AB＝(－a，b)，

从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．　

由(1)的计算结果可知a2＝5b2，

所以·＝0，故MN⊥AB.

4．(2020·重庆南开中学质检)已知A(0，)，B(，1)是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设O为坐标原点，M为椭圆C上一动点，点P(3，0)，线段PM的垂直平分线交y轴于点Q，求|OQ|的最小值．

解：(1)由题意知代入A，B两点坐标得＝1，

＋＝1.

解得a2＝6，b2＝2，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)根据题意知直线PM，QN的斜率存在且不为0.

设点M坐标为(x0，y0)，

则＋＝1，即x＝6－3y.①

线段PM的中点N，kPM·kQN＝－1，

即kQN＝，

所以直线lQN：y－＝.

令x＝0，并结合①式得yQ＝＋＝＋＝，

|OQ|＝|yQ|＝

＝＋|y0|≥2＝，

当且仅当＝|y0|，

即y0＝±时取等号，

所以|OQ|的最小值为.

[综合题组练]

1．(2020·河南阶段性测试)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点到右焦点F(c，0)的最大距离是＋1，且1，a，4c成等比数列．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m，0)，求实数m的取值范围．

解：(1)由已知可得解得

所以椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．

与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.

可得线段AB的中点为N.

当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.

当k≠0时，直线MN的方程为

y＋＝－，化简得ky＋x－＝0.

令y＝0，得m＝.

所以m＝＝∈.

综上所述，m的取值范围为.

2．(2020·广州市综合检测(一))已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y＝x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且·＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l过点(－1，0)，且与椭圆C交于P，Q两点，求△F2PQ的内切圆面积的最大值．

解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为点M在直线y＝x上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c，0)，所以点M.

因为·＝·＝，

所以c＝1.

所以解得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由(1)知，F1(－1，0)，过点F1(－1，0)的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F2PQ的周长为4a＝8，又S＝·4a·r(r为△F2PQ的内切圆半径)，

所以当△F2PQ的面积最大时，其内切圆面积最大．

设直线l的方程为x＝ky－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则

消去x得(4＋3k2)y2－6ky－9＝0，

所以

所以S＝·|F1F2|·|y1－y2|＝.

令 ＝t，则t≥1，所以S＝，

令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，

当t∈[1，＋∞)时，f′(t)＞0，

f(t)＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，

所以S＝≤3，当t＝1时取等号，

即当k＝0时，△F2PQ的面积取得最大值3，

结合S＝·4a·r，得r的最大值为，

所以△F2PQ的内切圆面积的最大值为π.