2022贵阳市高三上期8月摸底考试理科数学试题

贵阳市2023届高三年级摸底考试试卷

理 科 数 学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分, 满分150分.考试时间为120分钟.

注意事项:

1. 答卷前, 考生务必将姓名、报名号、座位号用钢笔填写在答题卡相应位置上.

2. 回答第I卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3. 回答第II卷时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.

4. 请保持答题卡平整, 不能折叠.考试结束后, 监考老师将试题卷、答题卡一并收回.

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合, 则中元素的个数为

A. 2     B. 3     C. 4     D. 5

2. 复数满足 , 则复数的虚部为

A.     B.      C.      D.

3. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为

A.           

B.

C.           

D.

4. 若实数满足 , 则的最大值为

A. 3     B. 2     C. 1     D. 0

5. 已知命题 , 则命题的否定是

A.        B.

C.        D.

6. “云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑,也是来到这里必打卡的项目之一, 它端坐于公园的礼仪之轴, 建筑外形主体木质结构, 造型独特精巧, 是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”, 同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆。小张同学为测量云楼的高度, 如图, 选取了与云楼底部在同一水平面上的两点, 在点和点测得点的仰角分别为和, 测得 米, , 则云楼的高度为

A. 20 米          B. 25 米

C. 米          D. 米

7. 函数的部分图象大致为

8. 已知数列的前项和为, 则

A.         B.

C.         D.

9. 贵安新区是中国第八个国家级新区, 位于贵州省贵阳市和安顺市结合部, 是南方数据中心核心区、全国大数据应用与创新示范区, 同时也是内陆开放型经济新高地和生态文明示范区。“贵安”拼音的大写形式为“GUIAN”, 现从这 5个字母中任选 2个, 则取到的 2个字母中恰有 1个字母为轴对称图形的概率为

A.      B.      C.      D.

10. 若, 则

A.      B.      C.      D.

11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为, 点在椭圆上且异于长轴端点.点在 所围区域之外, 且始终满足, 则的最大值为

A. 3     B. 4     C. 5     D. 6

12. 设函数定义域为, 且是奇函数, 当时, ; 当 时, . 当变化时, 方程的所有根从小到大记为, 则 取值的集合为

A.           B.

C.          D.

第II卷(非选择题 共 90分)

本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题, 每个试题考生都必须作答, 第 22、23、24题为选考题,考生根据要求作答

二、填空题: 本大题共4小题, 每小题 5 分, 共 20 分.

13. 二项展开式中项的系数是______.

14. 已知平面向量, 若, 则______.

15. 自 2015 年以来, 贵阳市着力建设“千园之城”, 构建贴近生活、服务群众的生态公园体系, 着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”. 截至目前, 贵阳市公园数量累计达到1025个.下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳, 它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的, 如果被截正方体的的棱长为 , 则石凳所对应几何体的外接球的表面积为______.

16. 《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同, 则积不容异”, 此即祖暅原理, 其含义为: 两个同高的几何体, 如在等高处的截面的面积恒相等, 则它们的体积相等. 已知双曲线 , 若双曲线右焦点到渐近线的距离记为, 双曲线的两条渐近线与直线以及双曲线的右支围成的图形(如图中阴影部分所示) 绕 轴旋转一周所得几何体的体积为 (其中), 则双曲线的离心率为______.

三、解答题: 第17题至21题每题12分, 第22、23、24题为选考题, 各10分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分 12 分)

在中, 角所对的边分别为, 且.

(1) 求;

(2) 若,____________ , 求的周长.

在①;②的面积为这两个条件中任选一个, 补充在横线上.

注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.

18. (本小题满分 12 分)

2022年2月4日—2月20日北京冬奥会如期举行, 各国媒体争相报道运动会盛况, 因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看冬奥新闻. 某机构将每天关注冬奥时间在1小时以上的人称为“冬奥迷”, 否则称为“非冬奥迷”, 通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了200人进行抽样分析, 得到下表(单位:人) :

(1) 根据以上数据, 能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关?

(2) 现从抽取的50岁及以下的人中, 按“非冬奥迷”与“冬奥迷”这两种类型进行分层抽样抽取5 人, 然后, 再从这5人中随机选出2人,其中“冬奥迷”的人数为, 求的分布列及数学期望.

参考公式: , 其中 .

参考数据:

19. (本小题满分12分)

如图, 在直三棱柱中, 分别是的中点.

(1) 求证: ;

(2) 求平面与平面的夹角.

20. (本小题满分 12 分)

已知抛物线的顶点在坐标原点, 焦点在轴的正半轴上, 直线经过抛物线的焦点.

(1) 求抛物线的方程;

(2) 若直线与抛物线相交于两点, 过两点分别作抛物线的切线, 两条切线相交于点 , 求面积的最小值.

21. (本小题满分 12 分)

已知函数.

（1）当时, 求的单调区间;

(2) 若, 设是的两个极值点, 求证： .

请考生在第 22、23、24 题中选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.

22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4： 极坐标与参数方程

在平面直角坐标系中, 直线的参数方程为 (为参数). 以坐标原点为极点, 以轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为.

(1) 求直线的普通方程和曲线的普通方程;

(2) 已知点的直角坐标为, 直线与曲线相交于不同的两点, 求的值.

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5: 不等式选讲

已知函数 .

（1）若, 求不等式的解集;

(2) 若恒成立, 求实数的取值范围.

24. (本小题满分 10 分）（还未学过选修 4-4、4-5 的同学可选做此题）

已知等差数列的前项和为.

(1) 求数列的通项公式;

（2）若数列满足 , 数列 的前项和, 求证: .

贵阳市 2023 届高三年级摸底考试

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题 : 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.

13. 40     14.     15.     16.

三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解 : (1) 由正弦定理得, ,

在中, ,

所以, 即 , 所以

(2) 若选①, 由 , 根据正弦定理得 , 易知 ,

所以. 由余弦定理得 :

即, 解得.

所以的周长为.

若选②, 由的面积为, 得 , 解得,

由余弦定理得 :,

即, 解得.

所以的周长为.

18.解 : (1) .

因为,

所以, 能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年齡有关.

（2）依题意, 抽取的 5名 50岁及以下的人中, 是“非冬奥迷”的有(人), 是“冬奥迷”的有 (人).

所以的分布列

所以,

19. (1) 证明: 是的中点, 且,

在中, ,

又在直三棱柱中,

平面平面, 且平面平面,

平面 ,

又 平面，

；

(2) 在直三棱柱 中, ,

如图, 以为原点, 分别为轴建立空间直角坐标系,

则 ，

,

设 是平面的一个法向量,

即 , 所以 , 令, 得 , 即 ,

设 是平面的一个法向量，

即 , 所以 , 令, 得 , 即 ,

平面与平面的夹角为。(即两个平面垂直)

(通过证明线面垂直也能得到两平面垂直)

20.解 : (1)由题意, 设抛物线的方程为,

因为直线 经过抛物线的焦点,

所以, 解得,

所以抛物线的方程为

(2) 设 , 联立方程组 , 整理得 ,

因为 , 且 ,

所以 ,

由, 可得, 则,

所以抛物线经过点的切线方程是 ,

将代入上式整理得，

同理可得抛物线经过点的切线方程为,

联立方程组 , 解得

点到直线的距离 ,

所以的面积 ,

因为, 所以,

所以面积的最小值为 4 .

21. 解 : (1) 当,

求导, 得恒成立, 所以函数的减区间为,无增区间

(2) 依题意, , 其中, 当时, 有两根, 即 是的两个极值点, 所以.

所以

只需证 :

即证: , 不妨设

只证 : .

即证 :

即证 :

故证 :

设函数 , 则 .

故在区间内单调递增, 所以, 即 .

从而

22.解 : (1) 曲线的极坐标方程为,

即曲线的普通方程为 $x^{2}+y^{2}-4 x=0$.

直线的参数方程为 , 即,

即直线的普通方程为

(2) 由 (1) 知, 点在直线上,

将直线的参数方程代入曲线的普通方程, 得

整理得: ,

设点对应的参数分别为, 则 .

所以 .

23.解：(1) 当时,

由, 解得, 所以, 不等式的解集为

(2) 方法 1 : 因为

所以,

若恒成立, 只需, 即

方法2:

若恒成立, 只需, 即

24.解: (1) 设的公差为, 则 ,

解得 ,

所以,

(2)由题可得 ，

故