(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练1《集合与简易逻辑》(解析版)

1．集合的概念与表示

①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系．

②针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．

③在具体情境中，了解全集与空集的含义．

2．集合的基本关系

理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

3．集合的基本运算

①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．

③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．

4．必要条件、充分条件、充要条件

①通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．

②通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．

③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．

5．全称量词与存在量词

通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．

6．全称量词命题与存在量词命题的否定

①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．

②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．

1．【2020全国I卷理科】设集合，，且，

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知，，

又因为，所以，解得．

【点睛】含参的交集运算，是高考的常规考查．

2．【2020北京卷】已知，则“存在，使得”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】或．

【点睛】考查三角函数和充分条件与必要条件，利用诱导公式即可得，属于常规考查．

一、单选题．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，解得，故．

2．“”是“复数为纯虚数”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当时，，则为纯虚数，

可知“”是“复数为纯虚数”的充分条件；

当为纯虚数时，，解得，

可知“”是“复数为纯虚数”的必要条件，

综上所述，“”是“复数为纯虚数”的充要条件．

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，注意到要否定结论，

所以：命题“，”的否定是：，．

4．设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则命题:的一个充分条件是（    ）

A．：，， B．：，，

C．：，， D．：，，

【答案】A

【解析】若的充分条件是，则需要满足．

对于选项A，，，，故，所以满足，故选项A正确；

对于选项B，由命题可得，，故选项B错误；

对于选项C，由命题可得，的位置关系是平行或相交或异面，，故选项C错误；

对于选项D，由命题可得，的位置关系是平行或相交或异面，，故选项D错误，

故选A．

5．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】命题“，”是真命题，则需满足，

解得或．

6．下列命题中，真命题是（    ）

A．若，则

B．命题“，”的否定是“，”

C．“”是“”的充分不必要条件

D．对任意，

【答案】C

【解析】A．若，则不成立，故A错误；

B．命题“，”的否定是“，”故B错误；

C．由，得或，即“”是“”的充分不必要条件，故C正确；

D．当时，不成立，故D错误．

7．已知等差数列的公差为，前项和为，则“，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意得，

因此当，时，，则；

当时，，此时都可以，

∴“，”是“”的充分不必要条件．

8．设，若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，解得，

∵“”是“”的充分而不必要条件，∴，

∴，解得，

∴实数的取值范围是．

二、多选题．

9．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”

C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件

D．设，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】ABD

【解析】对于A，或，

则“”是“”的充分不必要条件，故A对；

对于B，全称量词命题的否定是存在量词命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对；

对于C，“且”“”，“且”是“”的充分条件，故C错；

对于D，且，则“”是“”的必要不充分条件，故D对，

故选ABD．

10．下列结论正确的是（    ）

A．，

B．“，”的否定是“，”

C．直线，，的充要条件是

D．在中，若，则

【答案】BD

【解析】对于A，当，，故A不正确；

对于B，“，”的否定是“，”，故B正确；

对于C，等价于，即，得的充要条件是，故C不正确；

对于D，若，由正弦定理可得，由于大边对大角，故，故D正确，

故选BD．

11．下列四种说法中正确的有（    ）

A．命题“，”的否定是“，”；

B．若不等式的解集为，则不等式的解集为

C．复数满足，在复平面对应的点为，则

D．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是

【答案】BCD

【解析】选项A：命题“，”的否定应该是“，”，故选项A错误；

选项B：因为不等式的解集为，

所以方程的两个根为和，且．

由，解出，

所以不等式可化为，

即，解得或．

所以不等式的解集为，故选项B正确；

选项C：设，，

所以满足，故选项C正确；

由，得到．

当时，，所以有，

由题意可得，解得；

当时，，所以有，

由题意可得，解得，

因此，实数的取值范围是，故选项D正确，

故选BCD．

12．下列选项中说法正确的是（    ）

A．若非零向量，满足，则与的夹角为锐角

B．若命题：存在，使得，则的否定是：对任意，都有

C．已知是上的可导函数，则“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件

D．在中，是的充要条件

【答案】CD

【解析】对于A，，同向时，与的夹角为度，不是锐角，故A不正确；

对于B，存在，使得的否定为：对任意，都有，故B不正确；

对于C，已知是上的可导函数，则“”时，函数不一定有极值，

若“是函数的极值点”，则一定有“”，

所以已知是上的可导函数，则“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，故C正确；

对于D，，，时单调递减，∴，故D正确，

故选CD．

三、填空题．

13．已知集合，且若下列三个关系：①；②；③，有且只有一个正确，则         ．

【答案】

【解析】由，得的取值情况如下：

当时，，或，，此时不满足条件；

当时，，或，此时不满足条件；

当时，，此时不满足条件；

当时，，此时满足条件；

综上得，，代入．

14．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是         ．

【答案】

【解析】由题意，命题，，

因为是的必要不充分条件，即，则，解得，

则实数的取值范围是．

15．设有两个命题：（1）不等式的解集为；（2）函数在上是增函数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则的取值范围是        ．

【答案】

【解析】①∵不等式的解集为，而表示数轴上的到和的距离之和，最小值等于，∴，

②∵函数在上是增函数，∴，，

∴当时，①不正确，而②正确，两个命题有且只有一个正确，

实数的取值范围为．

16．用列举法表示集合是           ；用描述法表示“所有被除余的整数组成的集合”是              ．

【答案】，

【解析】由题意，

所有被除余的整数组成的集合为．