高中数学竞赛专题4 平面向量（附解析）

这是一份高中数学竞赛专题4 平面向量（附解析），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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竞赛专题4 平面向量
（50题竞赛真题强化训练）
一、单选题
1．（2018·全国·高三竞赛）已知的外接圆圆心为，.则（       ）.
A．>>.
B．>>.
C．>>
D．>>
【答案】A
【解析】
【详解】
设的外接圆半径为.则,,.又由，可知.故，即.所以>>.
2．（2019·全国·高三竞赛）设为所在平面内一动点.则使得取得最小值的点是的（       ）.
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】
【详解】
注意到
①
当，即为的重心时，式①取得最小值
故答案为C
3．（2018·全国·高三竞赛）设是所在平面上的一点，用、、、分别表示向量、、、．若，则是的．
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【解析】
【详解】
由，得，即．
所以,则．同理，．
4．（2019·全国·高三竞赛）如图，在的边上做匀速运动的三个点、、，当时，分别从、、出发，当时，恰好同时到达、、．那么，这个运动过程中的定点是的（       ）

A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
【答案】D
【解析】
【详解】
依题意知，设为的重心，则
.
所以，为的重心.
故答案为D
5．（2018·全国·高三竞赛）如图，在凸四边形中，，，，且.则等于（       ）.

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
如图由勾股定理得，且，则.
又因，所以，、、、四点共圆.
联结，则.
设（为锐角），则，.
作矩形，则，.
故
.选B.
编者注：此题用复数法解答比较简洁.

6．（2018·全国·高三竞赛）已知P为△ABC内一点，且满足2PA+3PB+4PC=0，那么，等于.
A．1:2:3 B．2:3:4 C．3:4:2 D．4:3:2
【答案】B
【解析】
【详解】
如图，延长PA至D，使PD=2PA；延长PB至E，使PE=3PB；延长PC至F，使PF=4PC.则PD+PE+PF=0.
从而，P为△DEF的重心.于是，有
，
，
.
故.

7．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
由题意有，
则．
又因为，所以，所以．
故选：C.
8．（2018·全国·高三竞赛）平面上的两个向量、满足，，且，.若向量，且.则的最大值是（       ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】
【详解】
因为，，且，，所以，、、三点在以的中点为圆心、1为半径的圆上.
又，，则
.
故.
.
从而，点也在以为圆心，1为半径的圆上.
因此，、、、四点共圆，其圆心为.
当、、三点共线，即为的一条直径时，.
9．（2018·陕西·高三竞赛）在边长为8的正方形中，是的中点，是边上一点，且，若对于常数，在正方形的标上恰有6个不同的点，使，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
如图建立直角坐标系，.由题意得：
.即以为圆心，为半径的圆与正方形四边有且仅有6个不同的交点，易由图形知.

二、填空题
10．（2018·吉林·高三竞赛）如图，在直角三角形ABC中，，，点P是斜边AB上一点，且，那么__________.

【答案】4
【解析】
【详解】
解法一：因为，
所以 .
解法二：以C为原点，CA、CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），
B（0，2），P（，），有，，.
所以 .
故答案为4
11．（2019·全国·高三竞赛）设的面积为1，边AB、AC的中点分别为E、F，P为线段EF上的动点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】
作于点D.设.
如下左图，当点D位于线段BC或CB的延长线上时，
.
如下右图，当点D位于边BC上时，



当D为线段BC的中点以及时，上式等号成立.
综上，.
故答案为

12．（2019·全国·高三竞赛）设是所在平面上一点,满足.若,则______.
【答案】
【解析】
【详解】
设O为原点.则
,
即.
故.
得,且.
所以,.
故答案为
13．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC中，已知，设0为△ABC的内心，且.则λ+μ=________．
【答案】
【解析】
【详解】
设AO与BC交于点D.
由角平分线定理知.
于是，.
又，则


.
因此，.
故答案为
14．（2021·全国·高三竞赛）已知向量，则的最大值是___________．
【答案】5
【解析】
【详解】
，当时等号成立
故答案为：5.
15．（2019·全国·高三竞赛）在正四面体中，设，，记和所成的角为．则______．
【答案】
【解析】
【详解】
设正四面体棱长为4．则．而，则．
16．（2019·全国·高三竞赛）如图，已知是的重心，若过点,且，则_____.     

【答案】3
【解析】
【详解】
由，可知.由、、三点共线有.
而,

故.
因为不共线，所以，.
解得.故.
故答案为3
17．（2021·全国·高三竞赛）中，A、B、C的对边分别为a、b、c，O是的外心，点P满足，若，且，则的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
由，得，即．
注意到，所以．
同理，，所以P是的垂心，
，
所以，，
所以．
故答案为：.
18．（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量，且，记，则y的最大值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】
【详解】
单位向量满足，则有，不妨设四个向量如图所示，分别为，X在单位圆O的上．设，
则有，

故有，即有，
故．
故答案为：4.
19．（2021·全国·高三竞赛）已知点A满足，B、C是单位圆O上的任意两点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
.
又，取等可以保证，
故所求范围为．
故答案为：.
20．（2020·浙江·高三竞赛）已知，为非零向量，且，则的最大值为__________.
【答案】.
【解析】
【详解】
解法一   设，，则
.
解法二   设，则，且，所以
.
故答案为：.
21．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
设，则．则：




.
当且仅当，即时，等号成立．即最大值为.
故答案为：.
22．（2021·全国·高三竞赛）设P是所在平面内一点，满足，若的面积为1，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
因为，所以，
即，
记的中点为M，于是，
因此.
故答案为：.
23．（2021·全国·高三竞赛）已知为三内角，向量.如果当最大时，存在动点，使得成等差数列，则最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】

，
，
等号成立仅当.
令，因，所以是椭圆上的动点.
故点，设，则：
，
.
当时，.
即.
故答案为：.
24．（2021·全国·高三竞赛）如图，在中，是边上一点，且．若点满足与共线，，则的值为_________．

【答案】或
【解析】
【分析】
【详解】
因为，所以，即．
因为与共线，所以存在实数，使得．
因为，所以，
从而
，
所以．

因为，
所以，
所以
．
因为，所以，即，解得或．
因此或．
故答案为：或.
25．（2021·全国·高三竞赛）若平面向量的模均在区间内，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
．
等号成立当且仅当时成立．
取边长为4、4、2的等腰，其中．
令即可．
又．
取，等号成立．
故答案为：.
26．（2019·广西·高三竞赛）已知点P(－2，5)在圆上，直线l：与圆C相交于A、B两点，则____________ .
【答案】
【解析】
【详解】
由已知求得圆C：(x－1)2+(y－1)2=52到直线l的距离为3，
从而.
所以.
故答案为：．
27．（2019·甘肃·高三竞赛）△ABC的三边分别为a、b、c，点O为△ABC的外心，已知，那么的取值范围是____________ .
【答案】
【解析】
【详解】
延长AO交△ABC的外接圆于D，得到

.
因为，所以b∈(0，2)，故.
故答案为：．
28．（2019·四川·高三竞赛）设正六边形ABCDEF的边长为1，则______ .
【答案】－3
【解析】
【详解】
如图所示，建立平面直角坐标
系设C(1，0)，则，.
于是，
，

于是.
故答案为：．
29．（2019·重庆·高三竞赛）已知向量满足，且，若为的夹角，则_______ .
【答案】
【解析】
【详解】
因为，所以，所以.
因为，所以.
又因为k∈Z+，所以k=2，所以.
故答案为：．
30．（2018·山东·高三竞赛）在中，，的平分线交于，且有．若，则______．
【答案】             
【解析】
【详解】
过点作交于点，交于点，

由题设，所以，，．
因此，所以，，因此．
所以
．
由此得．
31．（2018·河北·高三竞赛）设点O为三角形ABC内一点，且满足关系式： _____.
【答案】
【解析】
【详解】
将化为，.
设M、N分别是AB、AC的中点，则.
设△ABC的面积为S，由几何关系知，，，
所以.
32．（2018·全国·高三竞赛）在等腰△ABC中，已知，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD =DB=EF=1．若，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【详解】
以D为原点、射线DB和DC分别为x和y轴正方向建立平面直角坐标系.则
A(-1,0)，B(1,0)，C(0,2).
设点，其中，.
设线段EF的中点为.则
由EF=1，得.   ①
故             ②
又
        ③
将式①代入式③，消去，整理得.            ④
综合式②、④得
于是，.
故.
33．（2018·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系中，已知O为原点，点，，动点C在圆上运动，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【详解】
令，则
.
当且仅当点与的连线过原点O时，上式等号成立.这显然是可以取得的.
34．（2019·全国·高三竞赛）如图，在中，已知为的中点，点、分别在边、上，且，，，，．则______．

【答案】
【解析】
【详解】
令，．则，．
因为为的中点，所以，．
由题意知，．
故，
．
由，知


．
故答案为
35．（2018·全国·高三竞赛）已知为边上的一点, 为内一点,且满足,.则 ______.
【答案】
【解析】
【详解】
注意到,
36．（2018·全国·高三竞赛）已知是的外心.若,,且,则______.
【答案】
【解析】
【详解】
不妨设.以为原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系.则.
设外心为.
由，得.
解得.
则.
解得 .故.
37．（2018·全国·高三竞赛）在△ABC中，已知∠A=，记向量则与的夹角等于________.
【答案】
【解析】
【详解】
注意到，即.
从而，与的夹角与∠A相等或互补.
又
显然，则因此，与的夹角等于
38．（2018·全国·高三竞赛）如图，设分别为的重心、垂心，为线段的中点，外接圆的半径．则 =_______．

【答案】3
【解析】
【详解】
以的外心为原点建立平面直角坐标系.
于是，，.
则.
故



39．（2019·全国·高三竞赛）如图，，分别是正六边形的对角线、的内分点，且，若、、三点共线，则______.

【答案】
【解析】
【详解】
延长、交于点，设正六边形边长为1，易知，为的中点，，
由，可得，又，
是边上的中线，，
则有，即，
整理得，
因为当、、三点共线时，存在实数使得，
故，解得.
故答案为
40．（2019·全国·高三竞赛）设实常数k使得方程在平面直角坐标系中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上,且,则_____.
【答案】
【解析】
【详解】
由题设知，关于的二次多项式可以分解为两个一次因式的乘积.
因，
所以，，
其中，为待定的常数.
将上式展开后比较对应项的系数得
.
解得.
再由得两直线斜率为，交点.
设两直线的夹角为（为锐角）.则
.
故
或.
故答案为
41．（2018·全国·高三竞赛）在中，，.沿向量的方向，点将线段分成了等份.设，.则______.
【答案】
【解析】
【详解】
设，.则.故.
由，得


.
42．（2019·全国·高三竞赛）设点在的外部，且.则______.
【答案】4
【解析】
【详解】
如图，设，分别是边、的中点，联结.

则             ①
             ②
得
.
则.
因此，与共线，且.
于是，.
故，.
43．（2018·全国·高三竞赛）已知向量、满足，且.则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【详解】
注意到，.
由此可设 .
设 .
由.
设.
又，则

.
因此，.
44．（2018·江苏·高三竞赛）在中，，，且，设为平面上的一点，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【详解】
由，，且得.
如图，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，，
设，则
.
即的最小值是.
故答案为

45．（2018·贵州·高三竞赛）已知O为△ABC所在平面上一定点，动点P满足，其，则P点的轨迹为________．
【答案】∠BAC的角平分线
【解析】
【详解】
,
而，且，
所以表示∠BAC的角平分线上的一个向量．
因此，P点的轨迹为∠BAC的角平分线．
故答案为∠BAC的角平分线
46．（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量､､，满足，若，那么的最小值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
设，则即为点到点（圆上的动点）的距离与到点的距离，利用对称可求其最小值.
【详解】
解析：建立直角坐标系.

设，
则
.
问题转化为点到点的距离与到点的距离之和最小，
其中点在直线上运动，
点在圆上运动，
所以.
点O关于直线对称的点为，所以
，
所以，等号可以取到，所以最小值是.
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：向量的模的最值问题，可建立平面直角坐标系，将问题转化为动点到几何对象的距离和最值的问题.
47．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC中，.则____________ .
【答案】
【解析】
【详解】
设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c.

由，知G为△ABC的重心.
又GA⊥GB，所以.
得到.故：

.
故答案为：．
48．（2021·全国·高三竞赛）已知三个非零向量、、，满足（其中为给定的正常数）．则实数t的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
应用及求和的轮换关系得到，再分类讨论即可得解.
【详解】
，
所以．故．
假设，则．
故，
所以，
这与、为非零向量矛盾．从而．
又，所以，当两两同向且模均为时等号成立．
故．
故答案为：
三、解答题
49．（2020·浙江温州·高一竞赛）若平面上的点满足．
（1）求的最大值；
（2）设向量,,定义运算．若,求的取值范围．(其中О为坐标原点)
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】
（1）因为,
等号当且仅当向量与反向共线时成立,所以的最大值为．
（2）由于,所以点在以为圆心,为半径的圆上．
又因为,所以为圆的直径,则点C为A1A3的中点．
所以①
因为点为的中点,所以,,
代入式①可得原式=
②
因为,所以,
可得,
再代入式②可化简为：,且．
设,,
则．
故．
50．（2021·全国·高三竞赛）已知点，其中，且坐标原点O恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】三角形面积为定值．
【解析】
【分析】
【详解】
先证明一个引理：若，则．
因为，
所以，
所以，
所以：

回到原题，连结、、，则：



．
由三角形的重心为原点得即
所以两式平方相加可得，所以，
同理，
所以，
故三角形面积为定值．