(新高考)高考数学一轮复习小题多维练专题05《指数函数、对数函数和幂函数》（解析版）

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专题05 指数函数、对数函数和幂函数

一、单选题
1.若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，1）
C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）
【答案】C
【分析】设幂函数f（x）＝xα，由题意求得α的值，可得不等式即 ＜，可得 0≤x＜x2，由此求得x的范围．
【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，由于它的图象过点（64，2），
∴2＝64α，∴α＝，f（x）＝．
则f（x）＜f（x2），即 ＜，∴0≤x＜x2，
∴x＞1，故原不等式的解集为（1，+∞），
故选：C．
【知识点】幂函数的性质、幂函数的概念、解析式、定义域、值域
2.已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【答案】D
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵，∴a＜0，
∵ln3＞lne＝1，∴b＞1，
∵0＜2﹣0.99＜20＝1，∴0＜c＜1，
∴b＞c＞a，
故选：D．
【知识点】对数值大小的比较
3.已知x＞0，y＞0，a≥1，若a•（）y+log2x＝log8y3+2﹣x，则（　　）
A．ln|1+x﹣3y|＜0 B．ln|1+x﹣3y|≤0
C．ln（1+3y﹣x）＞0 D．ln（1+3y﹣x）≥0
【答案】C
【分析】先利用指数、对数运算对已知式子进行变形，然后利用放缩法得到不等关系，最后构造函数，借助其单调性进行求解．
【解答】解：由题意可知，a•（）3y+log2x＝log2y+，
∴＝＜≤，
令f（x）＝，则f（x）＜f（3y），
易知f（x）在（0，+∞）上为增函数，
由f（x）＜f（3y）得：x＜3y，
∴3y﹣x＞0，∴1+3y﹣x＞1，
∴ln（1+3y﹣x）＞ln1＝0，
故选：C．
【知识点】对数的运算性质
4.已知对数函数f（x）的图象经过点A（，﹣2）与点B（27，t），a＝log0.1t，b＝0.2t，c＝t0.1，则（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【答案】D
【分析】设出f（x）＝logmx，（m＞0，且m≠1），根据图象过A，B即可求解m和t，借用中间值，即可比较大小．
【解答】解：由题意，设f（x）＝logmx，（m＞0，且m≠1），
根据图象过A，即﹣2＝，可得m＝3，
则t＝log327＝3，
那么a＝log0.13＜log0.11＝0，
0＜b＝0.23＜0.20＝1，
c＝30.1＞30＝1，
可得a＜b＜c；
故选：D．
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
5.函数y＝|log2x|的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】要想判断函数f（x）＝|log2x|的图象，我们可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．
【解答】解：∵f（x）＝
则函数的定义域为：（0，+∞），即函数图象只出现在Y轴右侧；
值域为：（0，+∞）即函数图象只出现在X轴上方；
在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+∞）上递增的曲线．
分析A、B、C、D四个答案，只有D满足要求
故选：D．
【知识点】对数函数的图象与性质
6.《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102567种方法，设这个数为N，则lgN的整数部分为（　　）
A．2566 B．2567 C．2568 D．2569
【答案】B
【分析】由题可知，lgN＝lg（4.02×102567）＝2567+lg4.02，根据对数函数的特点即可求出．
【解答】解：由题可知，lgN＝lg（4.02×102567）＝2567+lg4.02．
因为1＜4.02＜10，所以0＜lg4.02＜1，
所以lgN的整数部分为2567．
故选：B．
【知识点】对数的运算性质
7.已知函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]
【答案】C
【分析】根据函数f（x）的图象，得出值域为[﹣2，6]，利用存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，得出2g（a）的值域满足﹣2≤2a2﹣4a≤6，即可．
【解答】解：∵g（x）＝x2﹣2x，设a为实数，
∴2g（a）＝2a2﹣4a，a∈R，
∵y＝2a2﹣4a，a∈R，
∴当a＝1时，y最小值＝﹣2，
∵函数f（x）＝，
f（﹣7）＝6，f（e﹣2）＝﹣2，
∴值域为[﹣2，6]
∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）＝0，
∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，
即﹣1≤a≤3，
故选：C．

【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
8.集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，3）
【答案】B
【分析】通过绝对值不等式求解集合A，指数不等式的求解求出集合B，然后求解交集．
【解答】解：因为集合A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，
＝{x|﹣1＜x＜2}，
A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}∩{x|﹣1＜x＜2}＝{x|﹣1＜x＜2}．
故选：B．
【知识点】指数函数的单调性与特殊点、交集及其运算、绝对值不等式的解法
9.若函数y＝f（x）与函数y＝log2x互为反函数，则＝（　　）
A．9 B．11 C．16 D．18
【答案】D
【分析】首先求出反函数的关系式，进一步利用对数的运算的应用求出结果．
【解答】解：因为函数y＝f（x）与函数y＝log2x互为反函数，
所以f（x）＝2x，
所以，
故选：D．
【知识点】反函数
10.对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案．
【解答】解：由对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，
①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝logax为减函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；
②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝logax为增函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误，而A符合题意．
故选：A．
【知识点】二次函数的性质与图象、对数函数的图象与性质
11.已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】C
【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，结合图象容易解答本题．
【解答】解：由题意，函数f（x）满足：
定义域为R，且f（x+2）＝2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1；
在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，如图：
由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；
故选：C．

【知识点】对数函数图象与性质的综合应用、函数的图象与图象的变换
12.定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，若x1＜x2，则f（x2）与f（x1）的大小关系为（　　）
A．f（x2）＞f（x1）
B．f（x2）＜f（x1）
C．f（x2）＝f（x1）
D．f（x2）与f（x1）的大小关系不确定
【答案】A
【分析】构造函数g（x）＝，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：构造函数g（x）＝，则，
∴函数g（x）单调递增，
∵若x1＜x2，
∴g（x1）＜g（x2），
即，
∴f（x2）＞f（x1），
故选：A．
【知识点】指数函数的单调性与特殊点、利用导数研究函数的单调性

二、多选题
13.已知a，b均为正实数，若logab+logba＝，ab＝ba，则＝（　　）
A． B． C． D．2
【答案】AD
【分析】设t＝logab，代入化解求出t的值，得到a的b关系式，由ab＝ba可求出a，b的值．
【解答】解：令t＝logab，
则t+＝，
∴2t2﹣5t+2＝0，（2t﹣1）（t﹣2）＝0，
∴t＝或t＝2，
∴logab＝或logab＝2
∴a＝b2，或a2＝b
∵ab＝ba，代入得
∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2
∴b＝2，a＝4，或a＝2．b＝4
∴．或
故选：AD．
【知识点】对数的运算性质
14.已知a＝xlgx，b＝ylgy，c＝xlgy，d＝ylgx，且x≠1，y≠1，则（　　）
A．∃x，y∈R+，使得a＜b＜c＜d
B．∀x，y∈R+，都有c＝d
C．∃x，y且x≠y，使得a＝b＝c＝d
D．a，b，c，d中至少有两个大于1
【答案】BD
【分析】根据对数的定义可得lga＝lg2x，lgb＝lg2y，lgc＝lgxlgy，lgd＝lgxlgy，即可判断各选项．
【解答】解：a＝xlgx，b＝ylgy，c＝xlgy，d＝ylgx，且x≠1，y≠1，
则lga＝lg2x，lgb＝lg2y，lgc＝lgxlgy，lgd＝lgxlgy，
则∀x，y∈R+，都有c＝d，故B正确，A，C不正确，
对于D：假设a，b，c，d中最多有一个大于1，若x＞10，y＞10，则a＞1，b＞1，c＞1，d＞1，则假设不成立，
故则a，b，c，d中至少有两个大于1，D正确
故选：BD．
【知识点】对数值大小的比较
15.已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列命题正确的有（　　）
A．函数是偶函数
B．函数是增函数
C．当x＞1时，f（x）＞1
D．当0＜x1＜x2时，
【答案】BCD
【分析】求出幂函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），
所以16α＝4，解得α＝，
所以f（x）＝＝；
所以f（x）是非奇非偶的函数，是定义域[0，+∞）上的增函数；
当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1；
画出f（x）在[0，+∞）上的图象，如图所示：
由图象知，当0＜x1＜x2时，；
所以正确的选项是BCD．
故选：BCD．
【知识点】幂函数的性质
16.若f（x）＝lg（|x﹣2|+1），则下列命题正确的是（　　）
A．f（x+2）是偶函数
B．f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数
C．f（x）没有最大值
D．f（x）没有最小值
【答案】ABC
【分析】直接利用函数的图象判断函数的单调区间，函数的对称性函数的最值，最后求出结果．
【解答】解：f（x）＝lg（|x﹣2|+1），所以f（x+2）＝lg（|x|+1）为偶函数，故A正确．
同时画出函数的图象，
如图所示：
所以函数在（﹣∞，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，且存在最小值，没有最大值，
故A、B、C正确．
故选：ABC．
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用

三、填空题
17.已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，），则f（x）＝　　．
【分析】设f（x）＝xa，根据其图象过点（4，），则有＝4a，解可得a的值，代入f（x）＝xa中，可得函数的解析式，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝xa，
由于其图象过点（4，），则有＝4a，
即a＝log4＝﹣；
即f（x）＝；
故答案为：．
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
18.设k∈{﹣2，﹣1，，，2}，若x∈（﹣1，0）∪（0，1），且xk＞|x|，则k取值的集合是　　．
【分析】直接利用幂函数的性质和分类讨论的应用求出结果．
【解答】解：令f（x）＝xk，由f（x）＞|x|，可知，
幂函数f（x）的图象在y＝|x|的图象上方，
如果函数f（x）为奇函数，则第三象限有图象，
所以函数f（x）不是奇函数，
所以k＝﹣1，，不符合，
由于x∈（0，1），xk＞x，整理得1＞x1﹣k，
所以1﹣k＞0，所以k＜1，故k＝2不符合，
所以k＝﹣2，，
即{﹣2，}，
故答案为：{﹣2，}，
【知识点】幂函数的性质
19.函数y＝arccosx，x∈[﹣1，0]的反函数f﹣1（x）＝　　．
【分析】根据反函数的定义即可求出原函数的反函数为f﹣1（x）＝cosx，并令cosx∈[﹣1，0]解出x的范围，即为反函数的定义域．
【解答】解：由反函数的定义可得f﹣1（x）＝cosx，
令cosx∈[﹣1，0]，解得x，
故答案为：cosx，x．
【知识点】反函数
20.已知函数y＝f（x）在定义域R上是单调函数，值域为（﹣∞，0），满足f（﹣1）＝﹣，且对于任意x，y∈R，都有f（x+y）＝﹣f（x）f（y）．y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若将y＝kf（x）（其中常数k＞0）的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数y＝f﹣1（x）的图象，则实数k的值为　　．
【答案】3
【分析】由题意设f（x）＝﹣ax根据f（﹣1）＝﹣，解得a，在求解y＝kf（x）的反函数，向上平移1个单位，可得y＝f﹣1（x），即可求解实数k的值；
【解答】解：由题意，设f（x）＝y＝﹣ax，
根据f（﹣1）＝﹣，解得a＝3，
∴f（x）＝y＝﹣3x，
那么x＝log3（﹣y），（y＜0），
x与y互换，可得f﹣1（x）＝log3（﹣x），（x＜0），
则y＝kf（x）＝﹣k•3x，
那么x＝，
x与y互换，可得y＝，向上平移1个单位，可得y＝+1，
即log3（﹣x）＝，
故得k＝3，
故答案为：3．
【知识点】反函数
21.若函数y＝f（x）的反函数f﹣1（x）＝logax（a＞0，a≠1）图象经过点（8，），则f（﹣）的值为　　．

【分析】先把已知点代入反函数的解析式，求出a 的值，再令反函数等于﹣，求出x的值即为所求．
【解答】解：由已知可得loga8＝，即a＝8，
解得a＝4，所以f﹣1（x）＝log4x，
再令log4x＝﹣，即4＝x，解得x＝，
由反函数的定义可得f（﹣）＝，
故答案为：．
【知识点】函数的值、反函数
22.设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）＝　　．

【分析】直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果．
【解答】解：在中，
令y＝2，得，
所以．
故答案为：．
【知识点】反函数
23.已知a，b，c，d∈R且满足＝＝1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为　　．

【分析】根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数＝x+3lnx与y＝2x+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．
【解答】解：因为＝＝1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y＝x+3lnx与y＝2x+3上任意一点，
问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，
设M（t，t+3lnt）是曲线y＝x+3lnx的切点，因为y′＝1+，
故点M处的切斜的斜率k＝1+，
由题意可得1+＝2，解得t＝3，
也即当切线与已知直线y＝2x+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y＝2x+3的距离最近，
最近距离d＝＝，
也即（a﹣c）2+（b﹣d）2＝＝ln2，
故答案为：ln2
【知识点】对数的运算性质
24.如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x图象交于C，D两点，若BC∥x轴，则四边形ABCD的面积为　　　　　　．

【分析】设出A、B的坐标，求出OA、OB的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，从而解出B、C、D的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可．
【解答】解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．
则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．
因为A、B在过点O的直线上，所以 ＝，
点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．

由于BC平行于x轴知
log2x1＝log8x2，
即得log2x1＝log2x2，
∴x2＝x13．
代入x2log8x1＝x1log8x2得x13log8x1＝3x1log8x1．
由于x1＞1知log8x1≠0，
∴x13＝3x1．
考虑x1＞1解得x1＝．
于是点A的坐标为（，log8）即A（， log23）
∴B（3，log23），C（，log23），D（3，log23）．
∴梯形ABCD的面积为S＝（AC+BD）×BC＝（ log23+log23）×2＝．
故答案为：．
【知识点】对数函数的图象与性质
25.若函数y＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为6，则实数a＝　　．
【答案】2
【分析】两种情况：（1）当a＞1时，函数y＝ax在区间[1，2]上是增函数，所以ymax＝a2 ymin＝a，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程a2+a＝6解得：a＝2或﹣3（负值舍去）（2）0＜a＜1，函数y＝ax在区间[1，2]上是减函数，所以：ymax＝a ymin＝a2，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程，即a2+a＝6，解得：a＝2或﹣3，因为0＜a＜1，所以都舍去．
【解答】解：（1）当a＞1时，函数y＝ax在区间[1，2]上是增函数，
所以ymax＝a2，ymin＝a，
由于最小值和最大值之和6，
即：a2+a＝6，
解得：a＝2或﹣3（负值舍去）；
（2）0＜a＜1，函数y＝ax在区间[1，2]上是减函数，
所以：ymax＝a，ymin＝a2，
由于最小值和最大值之和6，
即：a2+a＝6，
解得：a＝2或﹣3，而0＜a＜1，故都舍去；
故答案为：2．
【知识点】指数函数的图象与性质
26.已知a、b、c都是实数，若函数的反函数的定义域是（﹣∞，+∞），则c的所有取值构成的集合是　　　　．
【答案】{0}
【分析】由题意可得，函数f（x）的值域为（﹣∞，+∞），当a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y＝x2的值域为[a2，+∞）；然后结合反比例函数的图象及函数y＝在（a，c）内有意义，可得c＝0，则答案可求．
【解答】解：函数的反函数的定义域是（﹣∞，+∞），
即函数f（x）的值域为（﹣∞，+∞），
若a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y＝x2的值域为[a2，+∞）；
则需y＝的值域包含（﹣∞，a2），结合函数y＝在（a，c）内有意义，则c＝0．
∴c的所有取值构成的集合是{0}．
故答案为：{0}．
【知识点】反函数
27.已知函数f（x）＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）＝f（n），若f（x）在[m2，n]的最大值为2，则＝　　．
【答案】9
【分析】由题意f（x）＝|log3x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）＝f（n），即﹣log3m＝log3n，可得mn＝1．对[m2，n]范围最大值的可能性进行讨论．可求m，n的值．
【解答】解：∵f（x）＝|log3x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）＝f（n），∴﹣log3m＝log3n，∴mn＝1．
∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f（x）在[m2，1）上是减函数，在（1，n]上是增函数，
∴﹣log3m2＝2，或log3n＝2．
若﹣log3m2＝2是最大值，得m＝，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意条件．那么：
同理：若log3n＝2是最大值，得n＝9，则m＝，此时﹣log3m2＝4，不满足题意条件．
综合可得 m＝，n＝3，故，
故答案为9．
【知识点】对数函数的图象与性质