浙江省温州市2022届高三下学期数学5月三模试卷及答案

 高三下学期数学5月三模试卷

一、单选题

1．设集合，则（　　）

A． B．

C． D．

2．已知双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合，则p的值等于（　　）

A． B．2 C． D．4

3．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A． B． C． D．

4．是数列的前项和，则“数列为常数列”是“数列为等差数列”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知，则（　　）

A． B． C． D．

6．已知随机变量X，Y的分布列如下：

则（　　）

A． B． C． D．

7．已知函数，的图象如图所示，则函数的解析式可能是（　　）

A． B．

C． D．

8．如图，在正四面体中，点E，F分别是棱上的点（不含端点），，记二面角的大小为，在点F从点B运动到点D的过程中，下列结论正确的是（　　）

A．若，则先增大后减小 B．若，则先减小后增大

C．若，则先增大后减小 D．若，则先减小后增大

9．已知平面向量满足，若，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

10．设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知，复数（i是虚数单位），若，则　     　，　     　.

12．不等式组，表示的可行域的面积等于　     　，的最大值是　     　.

13．设，则　     　，　     　.

14．已知函数的图象关于点对称，则　     　，的图象至少向左平移　     　个单位长度得到的图象.

15．已知函数 若，则实数a的值等于　     　.

16．勠力同心，共克时艰!近日，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”“管控区”和“防范区”，现有6位专家到这三个“区”进行一天的疫情指导工作，每个“区”半天安排一位专家，每位专家只安排半天的工作，其中专家甲只能安排在上午，专家乙不安排在“防范区”，则不同的安排方案一共有　     　种.（用数字作答）

17．如图，椭圆和在相同的焦点，，离心率分别为，B为椭圆的上顶点，，且垂足P在椭圆上，则的最大值是　     　.

三、解答题

18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.

（1）若，求角A的大小；

（2）求的取值范围.

19．如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面是正方形，M是的中点，.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20．数列满足，.

（1）证明：；

（2）若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.

21．如图，已知椭圆和圆，直线交圆于上下两点A，B，点P为椭圆的右顶点，分别交椭圆于E，F，G，记的斜率分别为.

（1）求的值；

（2）记和的面积分别为，若，求t的值.

22．已知，函数.

（1）若恒成立，求t的取值范围；

（2）若方程有两个正实数根.

（i）求t的取值范围；

（ii）证明：.（注：是自然对数的底数）

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】C

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】D

6．【答案】D

7．【答案】A

8．【答案】B

9．【答案】B

10．【答案】D

11．【答案】-1；

12．【答案】1；8

13．【答案】108；1

14．【答案】；

15．【答案】

16．【答案】240

17．【答案】

18．【答案】（1）解：由正弦定理得：，

∵，∴或，

当时，此时，所以舍去，所以.

（2）解：

（或者用积化和差公式一步得到）

∵，∴，所以A为锐角，又，

所以，所以，

所以，

所以.

19．【答案】（1）证明：法一：证明：连，因为，

所以四边形是平行四边形，所以，

又，

所以，

而，所以平面，

又面，所以平面平面；

法二：证明：取中点O，连，

则，

所以E，G，M，O四点共面，

又，

所以，

而，所以平面，

又面，所以平面平面；

（2）解：法一（向量法一）：取中点O，连，则，

所以E，G，M，O四点共面，又平面，所以，

又，所以面，

以O为原点，过O垂直于的向外的射线为x轴，为y轴，为z建立如图空间直角坐标系，

则，

由，所以，

所以，

又是平面的法向量，

所以

法二（向量法二）：以A为原点，分别以射线为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则，

设，

由，得，

又，所以，

所以，

又是平面的法向量，

所以

法三（几何法）：取中点N，连，

因为，所以四边形是平行四边形，所以，

于是，问题转化为求与平面所成角的正弦值，

又因为平面，

所以（或其补角）就是与平面所成角的余角，

取中点O，连，则，所以E，G，M，O四点共面，

又平面，所以，又，

所以平面，

所以，又，

所以面，所以，

，所以.

所以与平面所成角的正弦值为.

20．【答案】（1）证明：右边：，

左边：法一（数学归纳法）：

，，

当时，

假设当时，成立

即，即成立

则当时，

综上所述，.

法二（求通项）：

，，

两边同时取对数得：

数列是以首项为，公比为的等比数列，

数列单调性证明：

思路1：由复合函数的单调性，知单调递增，；

思路2：，；

思路3：，；

综上所述，.

（2）证明：法一：放缩到裂项

因为，所以，

由（1）知

所以

所以

所以，

又，所以，所以.

法二：放缩到等比

，

所以，

所以，

所以

所以.

21．【答案】（1）解：因为，所以，

因为，所以，所以.

（2）解：因为，所以，

所以，同理，

设为，则，

同理，

所以，

因为，所以

解得，所以，所以.

22．【答案】（1）解：法一：考虑即可，得，得，，

令，

则，

函数在递增，递减，又，

所以.

法二：由题意知，考虑即可，，

当时，，矛盾，舍去；

当时，，得，

于是在递减，在递增，则，

得，得，

当时，，于是在递增，所以，

所以当时，所以恒有，综上所述，.

法三：由题意得，考虑，过原点作的切线，设切点，

则，又，得，

所以，得，

又题意知，得.

法四：由题意知，令，则，所以.

下证：当时，.由于在递增，

所以欲证，只需证，

令，则，知，函数在递减，递增，

故，证毕.

（2）解：（i）令有两零点，令，

，由在R上递增，则，

所以上述等价于有两零点，

于是，由（1）知，令，则在递增，递减，又，

所以.

另：考虑，由，令，得，得，此时等价于，

所以等价于，

于是，由（1）知，令，则，函数在递增，递减，又，

所以.

（ii）法一：证明：由（i）知，已知等价于有两个零点，

于是，所以.

欲证，只需证

只需证，消t得，

一方面，下证：，等价于证明，

令，则等价于证明，等价于证明，

令，则，所以在递增，

所以，得证.

另一方面，再证，等价于证，

等价于证，等价于证，

等价于证，等价于证，

令，所以在递减，所以，得证.

综上两方面所述，所以.

法二：一方面，，

因为，则，得，

所以，

别一方面，，因为，

所以，由对均知：，

又易证，所以，所以，

综上所述，.