(新高考)高考数学一轮考点复习7.5.2《利用空间向量求空间角》课时跟踪检测(含详解)

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课时跟踪检测（三十八）  利用空间向量求空间角1．把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为(　　)A．120°　　　　　　　　 B．30°C．90°  D．60°解析：选D　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，，0)，C(0，0，)，D(0，－，0)，∴＝(－，－，0)，＝(0，－，)．∴||＝2，||＝2，·＝2.∴cos〈，〉＝＝＝.∴异面直线AD，BC所成的角为60°.故选D.2．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)A.   B.C.   D.解析：选B　以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝.设平面A1ED的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则即令x＝1，∴∴n1＝(1,2,2)．又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.3．(多选)(2021·福州质检)已知四边形ABCD为正方形GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是(　　)A．DE⊥BFB．EF与CH所成角为C．EC⊥平面DBFD．BF与平面ACFE所成角为解析：选ABC　由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示．以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．设AD＝DC＝DG＝2，则D(0,0,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(0,2,2)，B(2,2,0)，H(1，2,1)．A．＝(2,0,2)，＝(－2,0,2)，∴·＝－4＋0＋4＝0，∴⊥，∴DE⊥BF，A是正确的．B．＝(－2,2,0)，＝(1,0,1)．设EF与CH所成的角为θ，θ∈，∴cos θ＝＝.∵θ∈，∴θ＝，B是正确的．C．＝(－2,2，－2)，＝(2,2,0)，＝(0,2,2)．设n＝(x，y，z)是平面DBF的一个法向量，∴即取x＝1，∴n＝(1，－1,1)．∵＝－2n，∴∥n，∴EC⊥平面DBF，C是正确的．D．＝(－2,0,2)，由图象易得m＝(1,1,0)是平面ACFE的一个法向量，设BF与平面ACFE所成的角为θ，θ∈，∴sin θ＝|cos〈，m〉|＝＝，∴θ＝，D是不正确的．故选A、B、C.4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于AB＝2，BC＝AA1＝1，所以A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,1)，D1(0,0,1)．所以＝      (－1，2,0)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令x＝2，则y＝1，z＝2，则n＝(2,1,2)．又设D1C1与平面A1BC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.答案：5．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，二面角B­AA1­C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为________．解析：由题意可知，∠BAC＝60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，所以在三角形ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝2，∠ABC＝90°，则·＝(－)·(＋)＝4，||＝2，||＝4，cos，＝＝，故tan，＝.答案：6.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________.解析：如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．设AE＝a，则B(0，，0)，D(0，－，0)，F(－1,0,3)，E(1,0，a)，∴＝(－1,0,3)，＝(0,2，0)，＝(－1，，－a)．设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，则即则y＝0，令z＝1，得x＝－a，∴n＝(－a,0,1)，∴cos〈n，〉＝＝.∵直线OF与平面BED所成角的大小为45°，∴＝，解得a＝2或a＝－(舍去)，∴AE＝2.答案：27．(2021·青岛模拟)试在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③PA＝PC三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO⊥平面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥P­ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，若______，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°，求二面角A­PB­C的余弦值．解：若选②：要使得PO⊥平面ABCD，则PO⊥AB.又PC⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，所以∠BAC＝90°，BC>BA，这与底面ABCD为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③.下面证明：PO⊥平面ABCD.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为PC⊥BD，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面APC.又因为PO⊂平面APC，所以BD⊥PO.因为PA＝PC，O为AC中点，所以PO⊥AC.又AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD.以O 为坐标原点，以，，的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，因为AB∥CD，所以∠PBA为异面直线PB与CD所成的角，所以∠PBA＝60°.在菱形ABCD中，设AB＝2，因为∠ABC＝60°，所以OA＝1，OB＝，设PO＝a，则PA＝，PB＝.在△PBA中，由余弦定理得：PA2＝BA2＋BP2－2BA·BP·cos∠PBA，所以a2＋1＝4＋a2＋3－2×2×，解得a＝，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)．设n1＝(x1，y1，z1)为平面ABP的法向量，＝(，1,0)，＝(0,1，)，由可得令z1＝1得n1＝(，－，1)．设n2＝(x2，y2，z2)为平面CBP的法向量，＝(，－1,0)，＝(0，－1，)，由可得令z2＝1得n2＝(，，1)．设二面角A­PB­C的平面角为θ，所以cos θ＝＝，所以二面角A­PB­C的余弦值为.8.如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，且AD＝2AB＝2BC＝2，∠BAD＝90°，△PAD为等边三角形，平面ABCD⊥平面PAD，点E，M分别为PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAB；(2)求直线DM与平面ABM所成角的正弦值．   解：(1)证明：如图，取PA的中点N，连接EN，BN.∵E为PD的中点，N为PA的中点，∴EN为△PAD的中位线，∴EN∥AD，且EN＝AD.在梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝AD，∴BC∥EN，BC＝EN.∴四边形ENBC是平行四边形．∴CE∥BN.又BN⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.(2)如图，取AD的中点O，连接OP，OC.∵PA＝PD，∴PO⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD.又∵CO∥BA，∠BAD＝90°，∴CO⊥AD.∴直线OA，OC，OP两两垂直．以O为原点，OA，OP，OC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.由已知条件易知A(1,0,0)，B(1，0,1)，M，D(－1，0,0)，∴＝(0,0,1)，＝.设平面ABM的法向量为m＝(x，y，z)，则令y＝2，则x＝，可得平面ABM的一个法向量为m＝(，2,0)．又＝，∴cosm，＝＝，∴直线DM与平面ABM所成角的正弦值为.    9.如图，在圆柱W中，点O1，O2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点H在上底面圆周上(异于点N，F)，点G为下底面圆弧ME的中点，点H与点G在平面MNFE的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2.(1)若平面FNH⊥平面NHG，求证：NG⊥FH；(2)若直线NH与平面NFG所成线面角α的正弦值等于，求证：平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于.证明：(1)因为平面FNH⊥平面NHG，平面FNH∩平面NHG＝NH，又NH⊥FH，FH⊂平面FHN，所以FH⊥平面NHG，又NG⊂平面NHG，所以FH⊥NG.(2)以点O2为坐标原点，分别以O2G，O2E，O2O1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O2­xyz，则N(0，－1,2)，G(1,0,0)，F(0,1,2)．设H(m，n,2)(由图知m>0)，则m2＋n2＝1，＝(m，n＋1,0)．设平面NFG的法向量为n1＝(x1，y1，z1)．因为所以即令x1＝2，则n1＝(2,0,1)．因此sin α＝|cos〈，n1〉|＝＝＝＝.所以2m2＝3n＋3，解得(舍去)或所以H.设平面NHG的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．因为所以即令x2＝1，即n2＝.设平面NHG与平面MNFE所成锐二面角为θ.因为平面MNFE的一个法向量n3＝(1,0,0)，所以cos θ＝＝<，所以平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于.10.(2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．解：(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，所以AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，A1N∩MN＝N，所以B1C1⊥平面A1AMN.因为B1C1⊂平面EB1C1F，所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)由已知得AM⊥BC.以M为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M­xyz，则AB＝2，AM＝.连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM＝，E.由(1)知平面A1AMN⊥平面ABC.作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC.设Q(a,0,0)，则NQ＝ ，B1，故＝，||＝.又n＝(0，－1,0)是平面A1AMN的一个法向量，故sin＝cosn，＝＝.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为.