高考数学100个热点题型秒解技巧之利用极化恒等式速解向量内积范围问题

秒解高考数学100招

—— 选择、填空篇 ——

◆ 例（2016山东理7）函数的最小正周期是(   )

A.          B.          C.         D.

【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知以及的周期

均为,则的周期为,选.

目录   CONTENTS

1、集合  利用特值逆代法速解集合运算题……………………………………2

2、集合  利用对条件具体化巧解集合运算题……………………………………

3、集合  运用补集运算公式简化集合计算………………………………………

4、简易逻辑  利用韦恩图巧解集合与数量关系题………………………………

5、简易逻辑  借助数轴法巧解充要条件问题……………………………………

6、复数  利用逆代法、特值法速解含参型复数题………………………………

7、复数  利用公式速解有关复数的模的问题……………………………………

8、复数  利用结论快速判断复数的商为实数或虚数……………………………

9、复数  利用公式快速解决一类复数问题………………………………………

10、三视图  柱体和锥体的三视图快速还原技巧………………………………

11、三视图  利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图……………………

12、不等式  利用逆代法巧解求不等式解集问题 ………………………………

13、不等式  利用特值法速解比较大小问题 ……………………………………

14、不等式  利用数轴标根法速解高次不等式…………………………………

15、不等式  用代入法速解f型不等式选择题…………………………………

16、不等式  利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式…………

17、不等式  利用结论速解含双绝对值函数的最值问题………………………

18、不等式  利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题……………………

19、不等式  利用“对称思想”速解不等式最值问题…………………………

20、不等式  利用柯西不等式速解最值问题……………………………………

21、线性规划  利用特殊法巧解线性规划问题…………………………………

22、线性规划  高考中常见的线性规划题型完整汇总…………………………

23、程序框图  程序框图高效格式化解题模式…………………………………

24、排列组合  排列组合21种常见题型解题技巧汇总………………………

25、排列组合  利用公式法速解相间涂色问题…………………………………

26、排列组合  速解排列组合之最短路径技巧…………………………………

27、二项式定理  二项式定理常见题型大汇总…………………………………

28、二项式定理  利用公式速解三项型二项式指定项问题……………………

29、平面向量  特殊化法速解平面向量问题……………………………………

30、平面向量  利用三个法则作图法速求平面向量问题………………………

31、平面向量  三点共线定理及其推论的妙用…………………………………

32、平面向量  平面向量等和线定理的妙用……………………………………

33、平面向量  向量中的“奔驰定理”的妙用…………………………………

34、平面向量  三角形四心的向量表示及妙用…………………………………

35、平面向量  利用极化恒等式速解向量内积范围问题………………………

36、空间几何  利用折叠角公式速求线线角……………………………………

37、空间几何  求体积的万能公式：拟柱体公式………………………………

38、空间几何  空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用…

39、空间几何  利用空间余弦定理速求异面直线所成角………………………

40、空间几何  利用公式速解空间几何体的外接球半径………………………

41、函数  用特值法速解分段函数求范围问题…………………………………

42、函数  数形结合法速解函数的零点与交点问题……………………………

43、函数  数型结合法巧解带f的函数型不等式………………………………

44、函数  函数的周期性的重要结论的运用……………………………………

45、函数  利用特值法巧解函数图像与性质问题………………………………

46、函数  通过解析式判断图像常用解题技巧…………………………………

47、函数 利用结论 速解“奇函数＋C”模型问题……………………………

48、函数  利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题………………

49、函数  巧用耐克函数求解函数与不等式问题………………………………

50、函数  利用对数函数绝对值性质速解范围问题……………………………

51、函数  巧用原型函数解决抽象函数问题……………………………………

52、函数  构造特殊函数巧解函数问题…………………………………………

53、导数  特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题………………………

54、导数  极端估算法速解与导数有关选择题…………………………………

55、导数  用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题……………………

56、导数  隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用…………………

57、三角函数  利用口诀巧记诱导公式及其运用………………………………

58、三角函数  利用结论速求三角函数周期问题………………………………

59、三角函数  巧用特值法、估算法解三角函数图像问题……………………

60、三角函数  海伦公式及其推论在求面积中的妙用…………………………

61、三角函数  借助直角三角形巧妙转换弦与切………………………………

62、三角函数  特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用………………

63、三角函数  齐次式中弦切互化技巧…………………………………………

64、三角函数  利用射影定理秒解解三角形问题………………………………

65、三角函数  三角形角平分线定理的妙用……………………………………

66、三角函数  三角形角平分线长公式的妙用…………………………………

67、三角函数  三角形中线定理及其推论的妙用………………………………

68、三角函数  利用测量法估算法速解三角形选择题…………………………

69、三角函数  利用公式法速解三角函数平移问题……………………………

70、数列  利用公式法速解等差数列与……………………………………

71、数列  利用列举法速解数列最值型压轴题…………………………………

72、数列  用特殊化法巧解单条件等差数列问题………………………………

73、数列  等差数列性质及其推论的妙用………………………………………

74、数列  观察法速解一类数列求和选择题……………………………………

75、数列  巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式……………………………

76、数列  代入法速解数列选项含型选择题…………………………………

77、数列  一些数列选择填空题的解题技巧……………………………………

78、统计与概率  估算法速解几何概型选择题…………………………………

79、直线与圆  利用相交弦定理巧解有关圆的问题……………………………

80、直线与圆  利用精准作图估算法速解直线与圆选择题……………………

81、直线与圆  利用两圆方程作差的几何意义速解有问题……………………

82、圆锥曲线  利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题……………………

83、圆锥曲线  用点差法速解有关中点弦问题…………………………………

84、圆锥曲线  用垂径定理速解中点弦问题……………………………………

85、圆锥曲线  用中心弦公式定理速解中心弦问题……………………………

86、圆锥曲线  焦点弦垂直平分线结论的妙用…………………………………

87、圆锥曲线 利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程……

88、圆锥曲线  用公式速解过定点弦中点轨迹问题……………………………

89、圆锥曲线  巧用通径公式速解离心率等问题………………………………

90、圆锥曲线  巧用三角形关系速求离心率……………………………………

91、圆锥曲线  构造相似三角形速解离心率……………………………………

92、圆锥曲线  用平面几何原理巧解圆锥曲线问题……………………………

93、圆锥曲线  利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题…………………………

94、圆锥曲线  利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题………………………

95、圆锥曲线  椭圆焦点三角形面积公式的妙用………………………………

96、圆锥曲线  双曲线焦点三角形面积公式的妙用……………………………

97、圆锥曲线  离心率与焦点三角形底角公式的妙用…………………………

98、圆锥曲线  用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围……………

99、圆锥曲线  用特值法巧解圆锥曲线选填题…………………………………

100、圆锥曲线  用对称思想速解圆锥曲线问题………………………………

35、平面向量  利用极化恒等式速解向量内积范围问题

   （1）

   （2）

（1）（2）两式相加得：

结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

思考1：如果将上面（1）（2）两式相减,能得到什么结论呢？

      ＝

———极化恒等式

对于上述恒等式,用向量运算显然容易证明.那么基于上面的引例,你觉得极化恒等式的几何意义是什么？

几何意义：

(1)平行四边形模式:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.

（2）三角形模式:在图中的三角形中（为的中点）,因为,所以

◆ 例1(2012年浙江文15)在中,是的中点,,则       .

【秒解】因为是的中点,由极化恒等式得：

=9－= －16

在运用极化恒等式的三角形模式时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再出极化恒等式.

◆ 例2(2012北京文13改)已知正方形的边长为1,点是边上的动点,则的值为   .

【秒解】如图,取中点,设,则,由极化恒等式得：

◆ 例3 已知正三角形内接于半径为2的圆,点是圆上的一个动点,则的取值范围是     .

【秒解】取的中点,连结,因为三角形为正三角形,所以为三角形的重心,在上,且,所以,

（也可用正弦定理求）又由极化恒等式得：

,因在圆上,所以当在点处时,,当在的延长线与圆的交点处时,,所以

涉及数量积的范围或最值时,可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量,再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可.

◆ 例4 已和为圆的一条直径,点P为直线上任一点,则的最小值为(  )

A.1       B.       C.2       D.

【秒解】由极化恒等式得：

而,又的最小值为点到直线的距离,

,选A.

◆ 例5 在锐角中,已知,,则的取值范围是      ．

【秒解】,如图,作出两个临界的直角三角形,,,且为的中点,

则图1中,=

;

图2中,

则易知的取值范围是.

◆ 例6 （2010福建文11）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上点的

任意一点,则的最大值为（    ）

A.2       B.3       C.6         D.8

【秒解】如图设椭圆的右顶点为,中点为,

易知,,

,

,

◆ 练1（2013浙江理7）在中,是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则(     )

A.       B.

C.         D.

【答案】D

◆ 练2 （2008浙江理9）已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（   ）

  A.1    B.2      C.      D.

【答案】C

◆ 练3在中,若M是AB中点,,,在线段上运动,

的最小值为            .             

【答案】

◆ 练4 已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为（   ）

A.   B.    C.     D.

【答案】C

◆ 练5 在中,,,

,若是所在平面内一点,且,则的最大值为              .             

【答案】

◆ 练6 若点和点分别是双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是          .

【答案】

◆ 练7 在,,已知点是内一点,则的最小值是     .

【答案】－1

◆ 练8 已知是单位圆上的两点,为圆心,且是圆的一条直径,点在圆内,且满足,则的取值范围是（   ）

A.   B．  C.  D．

【答案】C

◆ 练9 正边长等于,点在其外接圆上运动,则的取值范围是（   ）

 A. B.  C. D.

【答案】B