2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考数学试题含答案

2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考数学试题

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别解出集合和集合，再根据交集的定义即可得到答案.

【详解】由题得则，

，

故选：C．

2．已知复数z满足，则“”是“z为纯虚数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不充要条件

【答案】C

【分析】根据z为纯虚数列方程解得a，即可得到“”是“z为纯虚数”的充分必要条件．

【详解】当z为纯虚数时，即，故“”是“z为纯虚数”的充分必要条件．

故选：C．

3．已知四边形，设E为的中点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用向量数量积运算法则得到，利用，求出，从而得到答案.

【详解】在平面（空间同样）四边形中，

，

因为，所以．

故选：A．

4．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则等于（   ）

A．2 B． C．4 D．8

【答案】B

【分析】利用复数的除法化简，结合纯虚数的定义求解可得，利用复数的模的定义求解即可

【详解】由题意可得：，

由题意可得：，解得，则.

故选：B

5．“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示：古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为，其中且，将满月分成部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示(部分数据)，是指每月的第天可见部分占满月的，是指每月的第天可见部分占满月的，是指每月的第天(即农历十五)会出现满月．已知在月相数列中，前项构成等比数列，第项到第项构成等差数列，则第天可见部分占满月的(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由{an}中等差数列部分求出相应公差，求得a5，再由前5项构成的等比数列求出a3，而得解.

【详解】设第项到第项构成的等差数列的公差为，则，解得，所以．设前项构成的等比数列的公比为，则，又，所以，所以，即第天可见部分占满月的，

故选：B．

6．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，，借助导数分析函数单调性，结合单调性即可判断

【详解】由题知，

先比较a与b的大小：令，

令，则，当时，，故在上单调递减；

当时，，故在上单调递增，所以，

故，而，故，

再比较b与c的大小：令，，当时，，故在上单调递减，所以，

故，即，故．

综上．

故选：D

7．设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】根据二项式系数的性质得到a，b的值，列出方程求出m.

【详解】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.

故选：C

8．已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，k为正整数，则将函数向左平移个单位长度，得到函数，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对称轴方程求出最小正周期与，利用辅助角公式结合函数最值列出方程，，求出，从而求出.

【详解】因为对称轴方程为，所以，

即，当时，．

即，

当k为偶数时，；

当k为奇数时，，

所以，解得．

故，，

所以．

故选：D．

二、多选题

9．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，则下列结论正确的是（    ）

A．若求得的经验回归方程为，则变量y和x之间具有正的线性相关关系

B．若其经验回归方程必过点，则

C．若根据这组数据得到样本相关系数，则说明样本数据的线性相关程度较强

D．若用相关指数来刻画回归效果，回归模型1的相关指数，回归模型2的相关指数，则模型1的拟合效果更好

【答案】AC

【分析】依据回归方程的含义判断A,B选项，利用残差平方和与相关指数的定义判断选项C,D.

【详解】在经验回归方程中，则y与x之间具有正的线性相关关系．故A正确；

在经验回归方程中恒过样本中心，则，故，故B错误；

，则样本数据的线性相关程度越强．故C正确；

相关系数越大，模型拟合效果越好，故D错误．

故选：AC．

10．如图，在棱长为1的正方体中（    ）

A．与的夹角为

B．二面角，的正弦值为

C．与平面所成角的正切值为

D．点到平面的距离为

【答案】CD

【分析】本题根据线面垂直的判定判断得出线线垂直，通过作辅助线找到二面角再通过余弦定理计算其余弦值，根据线面角的定义找到线面夹角再进行计算，根据点到平面的计算公式结合前面所得夹角正弦值即可算出距离.

【详解】，且平面，所以平面，又平面，，故A错误；

过作垂线，垂足为H，连接，易知H为中点，在等边三角形中，，所以为二面角的平面角，

．故B错误；

易知平面，设直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则故C正确；

由C知，，所以到的距离为．故D正确．

故选：CD.

【点睛】本题考查知识点十分综合，涉及到线面垂直的判定，异面直线夹角，点到平面的距离，二面角等等，需要我们对知识点能够融会贯通.

11．已知抛物线，直线l与抛物线C交于A，B两点，且，O为坐标原点，且，若直线l恒过点，则下列说法正确的是（    ）

A．抛物线方程为

B．

C．的面积的最小值为32

D．弦中点的轨迹为一条抛物线

【答案】ABD

【分析】A选项：设直线的方程和抛物线方程联立，得到，，再结合列方程，解得即可得到抛物线的方程；

B选项：利用抛物线方程和韦达定理即可得到，；

C选项：求出的面积，利用韦达定理整理即可得到最小值；

D选项：利用韦达定理得到中点的坐标，再通过消参的思路即可得到轨迹方程.

【详解】设直线，联立得，所以，，因为，则，利用代入，解得，所以抛物线方程为，且，故A，B正确；

（当且仅当时取等号），故C错误；

设的中点为M，则，所以．即，所以M点的轨迹为一条抛物线，故D正确，综上ABD正确．

故选：ABD.

12．已知函数，则（    ）

A．当或时，有且仅有一个零点

B．当或时，有且仅有一个极值点

C．若为单调递减函数，则

D．若与轴相切，则

【答案】AD

【分析】根据零点的定义可得的零点即方程的根，利用导数研究函数的性质，结合图像判断A，由导数的几何意义判断D，根据导数与函数的单调性的关系求的范围，由此判断C，结合单调性与极值的定义判断B.

【详解】令可得，化简可得，

设，则，

当，，函数在单调递减，

当，，函数在单调递增，

又，，由此可得函数图像如下：

所以当或时，有且仅有一个零点

所以当或时，有且仅有一个零点，A对，

函数的定义域为，

，

若与轴相切，设与轴相切相切与点，

则，，

所以，

所以，，故D正确；

若为单调递减函数，则在上恒成立，

所以在上恒成立，

设，则，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

且，，当时，，

由此可得函数的图像如下：

所以若为单调递减函数，则，C错，

所以当时，函数在上没有极值点，B错，

故选：AD.

【点睛】本题为函数综合性问题，涉及函数的零点，导数的几何意义，根据函数的单调性求参数，函数的极值，考查的知识点较多，要求具有扎实的基础知识，较强的解题能力.

三、填空题

13．已知函数，则函数的零点个数为_________．

【答案】2

【分析】求导，根据导函数得到函数的单调性，再利用函数值的正负分析函数的零点情况.

【详解】，令，则．

当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，所以，当；当，如下图所示：

所以，使得，使得，故有两个零点．

故答案为：2.

14．在的内角，，的对边分别为，，，已知，则的值为_______.

【答案】

【详解】试题分析：∵代入得，由余弦定理得．

【解析】1．正弦定理；2．余弦定理的推论．

15．设数列的每一项均为正数，且，且有，则__________．

【答案】

【分析】分析可得，令，可得出是以首项为，公比为的等比数列，求出的值，即可得出的值.

【详解】因为，则，

对任意的，，所以，，

令，所以，故是以首项为，公比为的等比数列．

所以，，故．

故答案为：.

16．已知点P在双曲线上，分别是双曲线E的左、右焦点，若是的等差中项，且的面积为（c为双曲线E的半焦距），则双曲线E的离心率为__________．

【答案】

【分析】设点P在第一象限，，则，由题意可得，从而可求得，然后在中利用余弦定理可求出，再利用同角三角函数的关系可得，再利用三角形的面积公式列方程可得，则有，从而可求出离心率.

【详解】设点P在第一象限，，则

因为是的等差中项，

所以，

所以，

则由余弦定理得，

因为，

所以，

因为的面积为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以离心率

故答案为：

四、解答题

17．记各项均为正数的数列的前n项和是，已知，n为正整数，

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）项和转化可得，利用等差数列的通项公式即得解；

（2）由，裂项相消求和即可

【详解】(1)当时，相减得，

即，各项均为正数，所以，

故是以首项为1，公差以1的等差数列，

所以；

(2)，故，

，

．

18．在中，内角A，B，C满足且．

(1)求证：；

(2)求的最小值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）由正弦边角关系得，利用和差角及二倍角正弦公式化简得，即可证结论.

（2）由，结合（1）的结论，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件.

【详解】(1)由题设，，则，

，

所以，即，

，

又，则；

(2)，

设，

（当且仅当等号成立）．

∴所求最小值为．

19．如图，菱形的对角线与交于点，，，将沿折到的位置使得．

（1）证明：．

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）根据是菱形，得到，即，．再利用线面垂直的判定定理证明.

（2）取的中点，连接，取的中点，连接,结合平面，得到平面，然后以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系．分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，由求解.

【详解】（1）因为是菱形，

所以，

则，．

因为平面，平面，且，

所以平面．

因为平面，

所以．

（2）取的中点，连接，取的中点，连接．

因为，所以．

因为，所以，所以．

由（1）可知平面，

所以平面平面，

则平面．

故以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

由得，，，，，

则，，．

设平面的一个法向量为，

则，

令，得．

设平面的一个法向量为，

则，

令，得．

设平面与平面所成的锐二面角为，

则．

【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

20．世卫组织近日表示，Delta毒株已扩散至92个国家和地区．这让某国某州的医疗一度濒临崩遗．某国卫生与公共服务部数据显示，在6月23日至7月7日的两周里，该州新冠肺炎确诊病例数新增，平均每周增长1111个病例数，每周人均感染病例人数高居全国首位．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家120个接种与未接种新冠疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：

(1)是否有的把握认为密切接触者感染Delta病毒与未接种新冠疫苗有关；

(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染Delta病毒的频率估计概率．现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染Delta病毒人数统计，求其中至少有2人感染Delta病毒的概率；

(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行Delta病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为．求当p为何值时，最大？

附：．

【答案】(1)有的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关

(2)

(3)

【分析】（1）计算卡方，与7.879比较后得到结论；

（2）利用二项分布概率公式计算出答案；

（3）表达出，求导后研究其单调性，从而确定p为何值时，最大.

【详解】(1)∵，

∴有的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；

(2)由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为，

设在随机抽取的4人中感染病毒的人数为X．

至少有2人感染病毒的为事件A，

，

，

，

，

，

(3)，

则，令，

则（舍去），随着p的变化，，的变化如下表：

综上，当时，最大．

21．已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．

(1)当时，求；

(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．

【答案】(1)

(2)为定值

【分析】（1）把直线和椭圆联立求出M的坐标，得到直线的方程，求出，即可求出；

（2）利用“点差法”得到，求出直线的方程，进而求出；表示出，即可证明为定值.

【详解】(1)设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以

所以，代入直线方程，求得，

因为Q为三条中垂线的交点，所以，

有，直线方程为.

令，所以.

由椭圆可得右焦点，故．

(2)设，中点M坐标为．

相减得，.

又Q为的外心，故，

所以，直线方程为，

令，所以而,所以，

，同理，，

，所以当t变化时，为定值．

22．设函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系，并证明．

【答案】(1)的无单调增区间，单调减区间为

(2)，证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，根据导函数的正负，可求的单调区间．

（2）由，换元，构造函数得，分情况讨论最值，进而求解．

【详解】(1)解：当时，，定义域为，

，

因为在定义域上恒成立，

所以的无单调增区间，单调减区间为；

(2)解：结论：，

证明如下：

设，由均为正实数，且当且仅当时取等号，所以，

设，则，

①若时，由，得，即，所以在上单调递减，

从而，而，此时；

②若时，在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为，

此时只需证，化简后即证，

设，则，

所以在单调递增，从而，即．

综上所述，不等式成立．

【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．