2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期9月月度质量检测数学试题含答案

这是一份2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期9月月度质量检测数学试题含答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届重庆市缙云教育联盟高三上学期9月月度质量检测数学试题

一、单选题
1．已知集合，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求得集合M，根据集合的交集运算即可求得答案.
【详解】,,
故
故选：B.
2．已知为偶函数，则实数（    ）
A．1 B．-1 C．0 D．
【答案】B
【分析】根据“奇函数×奇函数”为“偶函数”即可判断为奇函数，根据奇函数的性质即可求解k的值.
【详解】因为为偶函数，为奇函数，
故为奇函数，
，.经检验成立
故选：B.
3．已知函数，则（    ）
A．的最小值为2 B．的图像关于y轴对称
C．的图像关于直线对称 D．的最小正周期为
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的基本关系将函数化简，求出函数的定义域，再一一判断即可.
【详解】解：因为，
函数的定义域，
，故A错误；
又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故B错误；
因为，所以的图像关于直线对称，故C正确；
因为，所以的最小正周期不是，故D错误；
故选：C
4．西安是世界四大古都之一，历史上先后有十多个王朝在西安建都．图为唐长安（西安古称）城示意图，城中南北向共有9条街道，东西向有12条街道，被称为“九衢十二条”，整齐的街道把唐长安城划分成了108坊，各坊有坊墙包围．下列说法错误的是（    ）

A．从延平门进城到安化门出城，最近的不同路线共有15条．
B．甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，若二人选择互不影响，则二人从同一城门进城的概率为．
C．用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色（街道忽略），要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有60种不同的染色方法．
D．若将街道看成直线，则图中矩形区域中共有不同矩形150个．
【答案】C
【分析】A.由题意利用组合求解判断；B.利用古典概型的概率求解判断；C.如图，分四个位置颜色各不相同，1与4颜色相同，2与3颜色相同， 1与4颜色相同且2与3颜色相同求解判断； D.将街道看成直线，先在5条横线中任取两条，再在6条竖线中任取两条，由分步计数原理求解判断.
【详解】A.如图所示：

从延平门到安化门，最近路线是上图中从点M到点N，只能横向往右走纵向往下走，所以答案为，故A正确．
B.甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，因二人选择互不影响，所以两人进城共有9种不同情况，二人从相同城门进城有3种情况，
所以二人从同一城门进城的概率为，故B正确．
C.如图所示：

用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色，若四个位置颜色各不相同有种染色方法，若1与4颜色相同有种染色方法，若2与3颜色相同有种染色方法，若1与4颜色相同且2与3颜色相同有种染色方法，综上共有84种．故C错误．
D.若将街道看成直线，则在矩形区域网格的5条横线中任取两条，6条竖线中任取两条，即可围出一个矩形，所以共有矩形个不同的矩形．故D正确．
故选：C
5．已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图象，利用函数有四个不同的交点求出，A错误；
根据二次函数的对称轴求出可判断D；
数形结合结合对数运算得到可判断B；
数形结合求出，解得，可判断C.
【详解】如图，作出图象，若y＝－b与有四个交点，需，则，故A错误；
这四个交点的横坐标依次为，因为抛物线的对称轴为，所以，故D正确；
因为，即，所以，故B正确；
，即，所以，故C正确.

故选：A.
6．已知曲线与的两条公切线所成角的正切值为，则（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用反函数的性质、倍角公式以及切线方程进行求解.
【详解】因为与互为反函数，故图像关于对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于两点，且两条切线交点为，
如图，

设，则，即，解得或-3（舍去），
故，易求得曲线的斜率为2的切线方程为，
故曲线的斜率为2的切线方程为，
的斜率为2的切线方程为，故曲线的斜率为2的切线方程为，
所以，则，则.故A，B，D错误.
故选：C.
7．已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可
【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.
故选：A.

8．若x，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用可得，再利用同构可判断的大小关系，从而可得正确的选项.
【详解】设，则（不恒为零），
故在上为增函数，故，
所以，故在上恒成立，
所以，
但为上为增函数，故即，
所以C成立，D错误.
取，考虑的解，
若，则，矛盾，
故即，此时，故B错误.
取，考虑，
若，则，矛盾，
故，此时，此时，故A错误，
故选：C.
【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数.

二、多选题
9．类比三角函数的定义，把角的终边与双曲线交点的纵坐标和横坐标分别叫做的双曲正弦函数、双曲余弦函数．已知，下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．
D．若直线（c为常数）与曲线共有三个交点，横坐标分别为，则
【答案】BCD
【分析】利用有理指数幂的运算性质判断选项A；把等式右侧化简变形判断选项B；利用导数运算判断选项C；结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的性质，奇偶性、单调性、最值等来判断选项D.
【详解】解：对于A，，故A不正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，函数是奇函数，且在上单调递增，值域为，
所以直线与双曲正弦曲线只有一个交点，是偶函数，，于是由题可知，，，
由得，，，
所以，故D正确．
综上，正确答案为B，C，D，
故选：BCD.
10．已知函数则（    ）
A．是的切线 B．是的切线
C．是的切线 D．是的切线
【答案】ABD
【分析】利用导数的几何意义，求切线方程进行判断.
【详解】对于A，函数，则，则函数在点处的切线方程为：，
即，故A正确；
对于B，函数，则，则函数在点处的切线方程为：，
即，故B正确；
对于C，函数，则，设是函数上的一点，
则函数在P点处的切线方程为：，
若是函数的切线，则，无解，故C不正确；
对于D，函数，则，则函数在点处的切线方程为：，
即，故D正确.
故选：ABD.
11．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（    ）
A．
B．存在时，使得
C．给定正整数，若，，且，则
D．设方程的三个实数根为，，，并且，则
【答案】ACD
【分析】利用两角和的余弦公式及二倍角公式展开化简即可判断选项A；令，则，根据三角函数的有界性得到，进而判断B选项；令，其中，，问题转化为，根据二次函数的最值证明上式成立即可；求解方程得到或或，比较大小得到，，，再验证是否成立即可.
【详解】

，A对
令，则，，则，B错；
令，其中，
，即
∴
由可得
，即，∴
∴，C对；
令，，
，即
即
∵，∴或或
令，，，，
∴的根都在，∴，，
，D对
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查学生三角函数，二次函数的相关性质的问题，主要考察学生分析问题解决问题的能力，对学生的要求比较高，属于难题，在做此类目时不要慌张，静下心来，慢慢分析就可以找到题目的突破口.
12．已知点P为正方体内及表面一点，若，则（    ）
A．若平面时，则点P位于正方体的表面
B．若点P位于正方体的表面，则三棱锥的体积不变
C．存在点P，使得平面
D．，的夹角
【答案】AD
【分析】首先可证平面，即可得到点在平面上（包括边界），
通过证明平面平面判断A，利用特殊位置判断B，先证明平面，即可判断C，利用空间向量法判断D；
【详解】解：在正方体中，，平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，
又，所以点在平面上（包括边界），
又，平面，平面，所以平面，
同理可得平面，，平面，
所以平面平面，
因为平面，平面，所以平面，
又平面平面，所以，即位于正方体的表面，故A正确；
对于B，设到平面的距离为，则
显然当和（不包括点）时不一样，则三棱锥的体积不一样，故B错误；
如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，
所以，，，
所以，，即，，
，平面，
所以平面，
若平面，则，显然在平面上（包括边界）不存在点，使得，故C错误；
因为设，，，所以，即，
又，所以，，，
设
所以，的夹角为，则，
当时，，
当时，因为，所以，
所以，所以，因为，所以，
综上可得，故D正确；

故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是确定点所在位置，再结合空间向量法运算；

三、填空题
13．设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.
【答案】
【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果.
【详解】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，
若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，
若集合中只含个偶数，共种情况；
若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；
若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.
因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：
若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；
若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；
若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.
综上所述，满足条件的集合的个数为.
故答案为：.
14．设函数，若函数存在最小值，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，函数单调递减，所以有，
当时，函数在上单调递增，此时，
因为存在最小值，
所以有，而，所以，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时当时，函数有最小值为，
因为存在最小值，
所以有，而，所以，
综上所述：，所以的最大值为，
故答案为：
15．写出一个与向量的夹角为75°的向量___________.（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】先算出，设，利用向量的夹角公式即可得到答案
【详解】解：，
设，所以，
令，解得，
故答案为：
16．已知矩形中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为，点P在边上，点A关于的对称点为，若点到直线的距离为4，则点的坐标可能为________．
【答案】，，
【分析】设出点的坐标，根据给定条件，列出方程组，解方程组并判断作答.
【详解】依题意，点，直线：，而点P在边上，则直线的斜率或OP在y轴上，
设点，由点到直线的距离为4，得，即或，
又点A关于的对称点为，则，即，
当时，或，若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，符合题意，则，
若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，不符合题意，
当时，或，若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，符合题意，则，
若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，符合题意，则，
所以点的坐标可能为，，.
故答案为：，，

四、解答题
17．已知函数.
(1)求的周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由三角恒等变换化简函数的表达式，可得，从而根据周期公式即可求解；
（2）根据图象变换求出函数的解析式，然后由三角函数的图象与性质即可求解在上的值域.
【详解】(1)解：
，
所以的周期；
(2)解：将函数的图象向右平移个单位，可得，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以在上的值域为.
18．从2008年的夏季奥运会到2022年的冬季奥运会，志愿者身影成为“双奥”之城的“最美名片”.十几年间志愿精神不断深入人心，志愿服务也融入社会生活各个领域.2022年的北京冬奥会共录用赛会志愿者18000多人.中学生志愿服务已经纳入学生综合素质评价体系，为了解中学生参加志愿服务所用时间，某市教委从全市抽取部分高二学生调查2020—2021学年度上学期参加志愿服务所用时间，把时间段按照，，，，分成5组，把抽取的600名学生参加志愿服务时间的样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，估计这600名高二学生上学期参加志愿服务时间的平均数.并写出这600个样本数据的第75百分位数的一个估计值；
(2)若一个学期参加志愿服务的时间不少于3.5小时视为“预期合格”，把频率分布直方图中的频率视为该市高二学生上学期参加志愿服务时间的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，求的分布列并求数学期望；
(3)用每一个小矩形的中点值代替每一组时间区间的平均值，把时间段在的数据组成新样本组A，其方差记为，把时间段在的数据组成新样本组B，其方差记为，原来600个样本数据的方差记为，试比较，，的大小（结论不要求证明）.
【答案】(1)平均数：4.35，75百分位数：5.25；
(2)分布列见解析，；
(3).

【分析】（1）用每一组的中点值乘以频率相加即得平均数，根据百分位数概念计算即可得第75百分位数的一个估计值；
（2）由题可得，服从二项分布，可根据公式求出分布列；
（3）根据前3组数据、后3组数据以及整体数据的离散程度进行判定
【详解】(1)平均数等于，
前3组频率和，加上第4组得，
所以75百分位数：；
(2)由题可知“预期合格”的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，则服从二项分布，




的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512

.
(3)由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更集中一些，所以，而这两组数据相比整体数据都要集中一些，所以.
19．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．

(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
【答案】(1)
(2)作图见解析，．

【分析】（1）由抛物线的定义，O为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C的方程
（2）由抛物线的定义，公路总长，即可求公路总长最小值
【详解】(1)如图，建立平面直角坐标系，由题意得，，则抛物线．

(2)如图，设抛物线C的焦点为F，则，
∵城镇P位于点O的北偏东30°处，，∴，
根据抛物线的定义知，公路总长．
当与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为．

20．在直角坐标系中，椭圆与直线交于M，N两点，P为MN的中点．
(1)若，且N在x轴下方，求的最大值；
(2)设A，B为椭圆的左、右顶点，证明：直线AN，BM的交点D恒在一条定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用三角形外角的性质，找到与直线MN，OP倾角的关系，从而找到斜率关系，联立直线MN与椭圆得到韦达定理，然后利用两角和差公式以及均值不等式求解即可.
（2）利用坐标分别表示出直线AN，BM的方程，联立方程组可发现其两直线交点横坐标为定值.
【详解】(1)设，．
（1）记l的倾斜角为，OP的倾斜角为，则．
由得，则
所以，于是．故．
所以，
当且仅当，即时，取到“=” ．
所以的最大值为．
(2)易知，．由题意知，，
所以直线AN的方程为，
直线BM的方程为．
令，
解之得

所以点D恒在定直线上．
21．如图，，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，，，为圆台的母线，．

(1)证明；平面；
(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）连接，根据圆的性质知△、△都为等腰直角三角形，进而有为平行四边形，则，根据线面平行的判定证明结论.
（2）构建空间直角坐标系，根据已知求得，再求出、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.
【详解】(1)连接，C为圆O的直径AB所对弧的中点，

所以△为等腰直角三角形，即，
又在圆上，故△为等腰直角三角形，
所以且，又是母线且，则，
故且，则为平行四边形，
所以，而面，面，
故平面.
(2)由题设及（1）知：、、两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，
过作，则为的中点，再过作，连接，
由圆，即圆，圆，则，又，则，
故二面角的平面角为，而，
所以.

则，，，，
所以，，，
若为面的一个法向量，则，令，则，
，故与平面所成角的正弦值.
22．已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)

【分析】（1）当时，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）分、两种情况讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证在上能否成立，综合可得出实数的取值范围.
【详解】(1)解：当时，，
，
当时，，，所以，即在上单调递增，
当时，，，所以，即在上单调递减，
则的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)解：因为，
则，
①当时，即时，因为，，，
所以，因此函数在区间上单调递增，
所以，不等式在区间上无解；
②当时，即时，当时，，，
因此，所以函数在区间上单调递减，
，不等式在区间上有解．
综上，实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：
（1）求函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.