广东省佛山市南海区第一中学2022-2023学年高一上学期第一次大测数学试题(含答案)
展开2022-2023学年南海一中高一上学期第一次大测数学试卷
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(2022·四川绵阳·高一期末)下列结论正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
2.(2022·全国·高一课时练习)不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
3.(2022·全国·专题练习)南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式;设三角形的三条边长分别为a、b、c,则面积S可由公式求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦——秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足,,则此三角形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
4.(2022·河南·夏邑一中期中)若a是实数,,,则P,Q的大小关系是( )
A. B. C. D.由a的取值确定
5.(2022·哈师大附中高一开学考试)若不等式对一切恒成立,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.(2022·山东日照·开学考试)设正实数m,n满足,则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.(2022·江苏·高一专题练习)若不等式的解集为,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8,(2022·辽宁鞍山一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设a,b,x,,则,当且仅当时等号成立,根据权方和不等式,函数的最小值为( )
A.16 B.25 C.36 D.49
二、多选题(本题共4小息,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
9.(2022·龙岩一中高一开学考试)若a,b,,则下列命题正确的是( )
A.若且,则 B.若,则
C.若且,则 D.
10.(2022·江苏·高一)已知关于x的一元二次不等式,其中,则该不等式的解集可能是( )
A. B.
C. D.
11.(2022·龙岩一中高一开学)已知关于x的不等式的解集为,则下列结论中,正确结论的序号是( )
A.
B.不等式的解集为
C.不等式的解集为
D.
12.(2022·株洲二中高一阶段练习)早在西元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算中项,几何中项以及调和中项.毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项,其中,算术中项,几何中项的定义与今天大致相同,而今我们称为正数a,b的算术平均数,为正数a,b的几何平均数,并把这两者结合的不等式叫做基本不等式,下列与基本不等式有关的命题中正确的是( )
A.若,,,则
B.若,,,则的最小值为
C.若,,,则的最小值为
D.若,,,则的最小值为2
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分.)
13.(2022·辽宁·育明高中)一般认为,民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于10%,即,而且比值越大采光效果越好,若窗户面积与地板面积同时增加m,采光效果变好还是变坏?请将你的判断用不等式表示______.
14.(2022·全国·高一专题练习)二次函数的最小值为0,则的最小值为______.
15.(2022·汉川一中高一),,且,若对于任意的x,y不等式恒成立,则实数k的取值范围为______.
16,命题,,若命题p为真命题,则实数a的取值范围为______.
四、解答题(本题共6小题,共70分,其中第17题10分,其它每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)(2022·上海·高一专题练习)(1)解关于x的不等式,其中;
(2)设,试比较和的大小.
18.(12分)(2022·曲阳一中阶段练习)已知关于x的不等式的解集是.
(1)求实数a,b的值;(2)若,,且,求的最小值.
19.(12分)(2022·湖南·长郡中学期中)已知函数.
(1)若不等式的解集为空集,求m的取值范围.
(2)若,的解集为,的最大值.
20.(12分)(2022·四川绵阳·高一期末)设函数(a,).
(1)当时,求不等式的解集;
(2)当时,不等式对一切恒成立,求实数a的取值范围.
21.(12分)(2022·全国·高一课时练习)为发展空间互联网,抢占6G技术制高点,某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解,该企业研发部原有100人,年人均投入万元,现把研发部人员分成两类:技术人员和研发人员,其中技术人员有x名(且),调整后研发人员的年人均投入增加,技术人员的年人均投入调整为万元.
(1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入,则调整后的技术人员最多有多少人?
(2)是否存在实数m同时满足两个条件:①技术人员的年人均投入始终不减少;②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理出.
22.(12分)(2022·湖南常德·高一期末)已知二次函数(a,b,c为实数).
(1)若的解集为,求不等式的解集;
(2)若对任意,时,恒成立,求的最小值;
(3)若对任意,恒成立,求的最大值.
参考答案
一、单选题
1.【答案】C 【详解】对于A;若,时,则,故A错;对于B;若取,,则无意义,故B错;对于C;根据不等式的可加性可知:若,则,故C正确;对于D;若取,,但,故D错;故选:C.
2.【答案】C 【详解】解:,解得:或.故选:C.
3.【答案】B 【解】由题意得,则,当且仅当,即时取等号,所以三角形面积的最大值为.
4.【答案】A 【详解】显然P,Q都是正数,又,
,
若a是负数,则,,所以;
若a是非负数,则,,所以.综上所述,.故选:A.
5.【答案】C 【详解】当时,原式化为,显然恒成立;
当时,不等式对一切恒成立,
则有且,,解得.综上可得,.故选:C
6.【答案】C 【详解】解:因为正实数m,n,,所以,
当且仅当且,即,时取等号,此时取得最小值,故选:C
7.【答案】A 【详解】解:由,整理得①.
又不等式的解集为,所以,且,即②.
将①两边同除以a得:③,将②代入③得:,解得.故选:A
8.【答案】B 【详解】因a,b,x,,则,当且仅当时等号成立,又,即,于是得,当且仅当,即时取“”,所以函数的最小值为25.故选:B
二、多选题
9.【答案】BCD 【详解】解:对于A,当时,结论不成立,故A错误;
对于B,等价于,又,故成立,故B正确;
对于C,因为且,所以等价于,即,成立,故C正确;
对于D,等价于,成立,故D正确.故选:BCD.
10.【答案】ABD 【详解】不等式变形为,又,所以,
(1)当时,不等式解集为空集;(2)当时,,(3)当时,,
因此解集可能为ABD.故选:ABD.
11.【答案】AD 【解】对于A,由不等式解集可知:且,∴,,A正确;
对于B,,又,∴,B错误;
对于C,,即,解得:,C错误;
对于D,,D正确.故选:AD.
12.【答案】AD 【详解】A.因为,,,所以,
当且仅当,即时,等号成立,故正确;
B.因为,,则,令,则,,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,故B错误;
C.因为,,,所以,
则,当且仅当,即时,等号成立,故错误;
D.令,则,,则,
而,
当且仅当,即时,等号成立,故正确,故选:AD
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分.)
13.【答案】 【详解】若窗户面积与地板面积同时增加m,采光效果变好了,用不等式表示为:
,因为,所以成立.
故答案为:.
14.【答案】1 【详解】由二次函数的最小值为0,则,解得,
所以,当且仅当时取等号,故答案为:1.
15.【答案】 【详解】因为,,且,
所以
又,当且仅当时,即,时,等号成立;
所以的最小值为1.所以有,解得,故答案为:.
16.【答案】
四、解答题(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.【解】(1)由题意,不等式,可化为,
因为,可得,即不等式等价于,即不等式的解集为.
(2)由,因为,可得,,所以,所以.
18.解:(1)因为关于x的不等式的解集是,
所以和是方程的两个根,所以,解得
当,时,的解集是,符合题意,所以,.
(2)由(1)知,,所以,
又,,所以.
当且仅当,即,时等号成立,所以的最小值为.
19.(1)解:由题意,函数,不等式的解集为空集等价于恒成立,即,解得,即m的取值范围为.
(2)解:若,的解集为,所以有两个不同实根a,b,
即a,b是方程的两个实根,故,,故a,b同为负值,
则,
当且仅当时,即,时等号成立,故的最大值为.
20.(1)由题意,函数,当时,不等式为,即,
令,则方程的根为,.
①当时,不等式不成立,∴解集为.
②当时,,∴不等式的解集为,
③当时,,∴不等式的解集为.
综上,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为;
(2)当时,对一切恒成立,即在上恒成立,
即在上恒成立,即.
又(当且仅当即时,取“”),∴.
21.(1)依题意可得调整后研发人员有人,年人均投入为万元,
则,解得.又,,所以调整后的奇数人员最多有75人.
(2)假设存在实数m满足条件.
由条件①,得,得.又,,所以当时,取得最大值7,所以.
由条件②,得,不等式两边同除以a,得,整理得,因为,当且仅当即时等号成立,所以.综上,得.故存在实数m为7满足条件.
22.(1)依题意知,,且方程的两根为1,2由根与系数间的关系得,,则,。故不等式解得:,即原不等式的解集为.
(2)因为,时,恒成立,故得,,,那,即,所以(当且仅当时等号成立)
(3)令,则,所以,对任意,,恒成立,所以恒成立.所以且所以,
此时,因此,当且仅当,时等号成立,此时,(或)验证,
成立故的最大值为.
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