南充高中高2023届高三第二次模拟考试文科数学试卷及参考答案

南充高中高2023届第二次模拟考试数学 文科

满分: 150分 年级: 高三

一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）

1. 集合 , 则集合 和集合 的关系是 （    ）

A.  B.        C.  D.

2.已知 , 则 “ ” 是 “ 与 的夹角为钝角” 的（    ）

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.复数 满足 , 则 （    ）

A.1 B.           C.  D.

4.若 , 则 （    ）

A.  B.  C.7 D.

5.基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段, 可以用指数模型: 描述累计感染病例数 随时间 (单位: 天)的变化规律, 指数增长率 与 近似满足 . 有学者基于已有数据估计出 . 据此, 在新冠肺炎疫情初始阶段, 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(参考数据: （    ）

A. 天 B. 天 C. 天 D. 天

6. 函数 的图象大致是（    ）

A. B.  C. D.

7. 已知函数 是 上的偶函数, 且 的图象关于点 对称, 当 时, , 则 的值为 （    ）

A.  B.  C.  D.

8.已知函数 , 现将 的图向左平移 个单位长度, 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 的图象, 则 （    ）

A.  B.  C.  D.

9.如图, 网格纸上小正方形的边长为 1 , 粗线画出的是某几何体的三视图, 其中俯视图的右边为一个半圆, 则此几何体的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

10.在 中, , 若不等式 恒成立, 则实数 的取值范围是 （    ）

A.  B.       C.  D.

11.已知函数 , 方程 恰有两个不同的实数根 , 则 的最小值与最大值的和（    ）

A.  B.  C.  D.

12.已知 , 则（    ）

A.  B.       C.  D.

二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）

13.记 为正项等比数列 的前 项和, 若 , 则 的值为_____。

14已知向量 , 若 , 则 ______________

15 棱长为 6 的正方体内有一个棱长为 a 的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动， 则 a 的最大值为______________

16已知函数 , 关于 的方程 有三个不等的实根, 则实数 的取值范围是______________.

三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）

17. （本题满分12分）随着飞盘运动在网络上火爆起来后，一些年轻人的热情被点燃正值暑假期间，飞盘运动迎来了众多的青少年. 某飞盘运动倶乐部为了解中学生对飞盘运动是否有兴趣，从某中学随机抽取 男生和女生各 50 人进行调查，对飞盘运动有兴趣的人数占总人数的 ，女生中有 5 人对飞盘运动没有兴趣.

（1）完成下面2×2 列联表，并判断是否有 99.9%把握认为对飞盘运动是否有兴趣与性别有关？

（2）按性别用分层抽样的方法从对飞盘运动有兴趣的学生中抽取 5 人，若从这 5 人中随机选出 2 人作为飞盘运动的宣传员，求选出的 2 人中至少有一位是女生的概率.

附: , 其中 .

18. （本题满分12分）已知向量 , 函数 .

（1）求 的最小正周期及 图象的对称轴方程; （2）若 , 求 的值域.

19 （本题满分12分）如图, 在直三棱柱 中, 点 为 的中点, 点 在 上, 且 .

（1）证明: 平面 平面 ;

（2）若 , 且三棱锥 的体积为 , 求 .

20. （本题满分12分）已知椭圆 的长轴长是短轴长的两倍, 且过点 .（1）求椭圆 的方程.（2）设椭圆 的下顶点为点 , 若不过点 且不垂直于坐标轴的直线 交椭圆 于 两点, 直线 分别与 轴交于 两点. 若 的横坐标之积是 2, 证明: 直线 过定点.

21. （本题满分12分）已知函数

（1）已知 恒成立, 求 的值;

（2）当 时, , 求 的取值范围.

选做题（本题满分10分）

22. 在平面直角坐标系 中, 设曲线 的参数方程为 ( 为参数), 以坐标原点 为极点, 以 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设曲线 的极坐标方程为 .

（1）求曲线 的普通方程;

（2）若曲线 上恰有三个点到曲线 的距离为 , 求实数 的值.

23.已知函数 , 且 的解集为 .

（1）求 的值;

（2）若正实数 满足 , 求证: .

南充高中高2023届第二次模拟考试数学 文科

参考答案及解析

一 选择题（共计12道小题，每题5分，共计60分）

1.  【答案】C

 【解析】可通过数轴判断两集合元素之间存在的关系, 再确认 集合之间的关系

将 集合呈现在数轴中, 可观察出 集合元素都在 集合中, 或 ,

注意元素与集合之间的关系为属于或不属于 集合间的关系不能用属于。

结合题目选项, 故选 C。

2.  【答案】C

 【解析】 , 设 与 的夹角为 ,

则

若 , 则 , 当 时, ,

当 且 时, 与 的夹角为钝角.

故 “ ” 是 “ 与 的夹角为钝角” 的必要不充分条件.

故选: .

3.  【答案】D

 【解析】由题得： .

所以 .

故选: .

4.  【答案】B

 【解析】由已知可得 ,

所以 ,

则 .

故选: .

5.  【答案】B

 【解析】因为 , 所以 , 所以 ,

设在新冠肺炎疫情初始阶段, 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天,

则 , 所以 , 所以 ,

所以 天.

故选: B.

6.  【答案】A

 【解析】因为 , 所以 为奇函数, 所以排除 ,

又 , 所以排除 C. 选：A

7.  【答案】C

 【解析】 是 上的偶函数,

关于直线 对称,

又 的图象关于点 对称,

的最小正周期为 ,

又当 时, ,

, ， ,

,

又 ,

故选C.

8.  【答案】C

 【解析】将 的图向左平移 个单位长度 ,

再将 图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 ,

所以 .故选: C.

9.  【答案】B

 【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的, 故其体积为 ,

故选B.

10. 【答案】A

 【解析】

所以 ,

所以

因为 , ,

所以 ,

所以

当且仅当 时等号成立,

要使不等式 恒成立, 则

解得 ,

所以实数 的取值范围是 .

故选: .

11. 【答案】C

 【解析】作出函数 的图象如下图所示:

由图象可知, 当 时, 直线 与函数 的图象有两个交点 ,

, 则 , 可得 , 则 ,

构造函数 , 其中 , 则 .

当 时, , 此时函数 单调递减;

当 时, , 此时函数 单调递增. 所以, , , 显然 .

因此, 的最大值和最小值之和为 .

故选: C.

12. 【答案】C

【解析】对

因为 ,

即 ,

所以 , 即 ;

对 , 又 , 令 , 则 ,

所以当 时, , 当 时, , 所以 , 即 , 当且仅当 时取等号,

所以 , 令 , 则 ,

所以当 时， , 所以 在 上单调递增, 显然 ,

又 , 即 , 即 , 所以 , 即 .

故选: C

二填空题（共计4道小题，每题5分，共计20分）

13 设正项等比数列 的公比为 , , , 解得 .则 .

14 因为向量 , 且 , 所以 所以 , 解得 ,则 .

15 由题意得：该四面体在棱长为 6 的正方体的内切球内, 该四面体内接于球时棱长最大, 棱长为 6 的正方体的内切球半径 , 解得 .

16由题意得 ,当 时, 递增; 当 时, 递减,且 ; 可知函数 的图象如图所示,令 , 则方程 有三个不等的实根, 即为 有两个不等的实根,令 , 则 有两个不等的实根,则 , 所以不妨令 ,则 ,解得

三（共计6道小题，共70分，写出必要的文字说明和演算步骤）

17. 【答案】

（1）列联表见解析, 有 的把握认为对飞盘运动是否有兴趣与性别有关;              （2） .

 【解析】（1）依题意, 对飞盘运动有兴趣的人数为 , 而女生中有 5 人对飞盘运动没有兴趣, 列联表如下:

的观测值: ,

所以有 的把握认为对飞盘运动是否有兴趣与性别有关.

（2）用分层抽样的方法从对飞盘运动有兴趣的学生中抽取 5 人, 其中男生有 人, 记为 , 女生有 3 人, 记为 ,

从这 5 人中随机选出 2 人的不同结果有: ，共 10 个，

其中, 至少有一位是女生的结果有: , 共 9 个,

所以选出的 2 人中至少有一位是女生的概率 .

18. 【答案】

（1）最小正周期 , 对称轴方程为 （2）

 【解析】（1）因为 且 ,

所以 ,

即 ,

的最小正周期 , 令 ,

 解得 ,

即 图象的对称轴方程为 .

（2） ,

所以 .

19 【答案】（1）证明见解析；               （2） .

【解析】（1）证明: 在直三棱柱 中,

平面 ,

点 为 的中点, ,

平面 平面 ,

平面 平面 平面 .

（2） 为正三角形, 设 , 则 ,

由 (1) 可得, 平面 ,

依题意得 , 故点 到平面 的距离为： ,

，

,

三棱锥 的体积为 .

20. 【答案】（1） ;           （2）证明见解析.

 【解析】（1）依题意, , 椭圆 方程为: , 又椭圆 过 ,

于是有 , 解得 , 所以椭圆 的方程为 .

（2）由（1） 知 , 依题意, 设直线 的方程为 , , 直线 的方程为 ,

令 , 得点 的横坐标为 , 同理得点 的横坐标为 ,

由 消去 并整理得, ,

, 即 ,

因此,

,

即 , 解得 ， 直线 的方程为 过定点 , 所以直线 过定点 .

21 【答案】（1） ;        （2） .

 【解析】（1）依题意, 函数 定义域为 ,

令 , 即 , 求导得 ,

当 时, , 函数 在 上单调递增, 当 时, , 不符合题意,

当 时, 当 时, , 当 时, , 即函数 在 上递减, 在 上递增,

于是得 , 因此 ,

令 ,

当 时, ,

当 时, , 即函数 在 上递增, 在 上递减, 因此 ,

即 , 而 , 则有 , 所以 .

（2）依题意, , ,

令 , 则 ,

令 , 则 , 即函数 在 上单调递增,

于是得 , 即 , 则有 ,

令 , 有 , 即函数 在 上单调递增,

则 , 即 , 从而得 , 函数 在 上单调递增, 则有 ,

显然当 时 , 函数 的值域为 ,

于是得函数 在 上的值域为 ,

当 时, , 函数 在 上单调递增, 因此 , 则 ,

当 时, 则存在 , 使得 , 显然函数 在 上单调递增,

即当 时, , 则函数 在 上单调递减,

当 时, , 与已知矛盾, 所以 的取值范围是 .

22 【答案】（1） （2）

 【解析】（1）由已知得 代入 , 消去参数 得曲线 的普通方程为 .

（2）由曲线 的极坐标方程 得 ,

又 ,

所以 , 即 , 所以曲线 是圆心为 , 半径等于 的圆.

因为曲线 上恰有三个点到曲线 的距离为 ,

所以圆心 到直线 的距离 ,

即 ,

解得 .

23 【答案】（1） （2）证明见解析

 【解析】（1）由 可得: , 即 , 即 或

的解集为 且

；

（2）由 (1) 知: ，

,