2022届山东省潍坊市高三下学期5月模拟数学试题（一）含解析

这是一份2022届山东省潍坊市高三下学期5月模拟数学试题（一）含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届山东省潍坊市高三下学期5月模拟数学试题（一）一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求出集合，然后再求交集运算.【详解】由，解得，所以集合 又，所以故选：B2．已知复数，则（       ）A．5 B． C． D．2【答案】C【解析】先求出，再根据复数模的求法即可求得结果【详解】由复数，得，所以.故选：C.3．函数的图像可能是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判断函数奇偶性，可排除C选项，再由特殊值验证，即可得出结果.【详解】由可得其定义域为，又，所以函数是偶函数；因为偶函数关于轴对称，所以可排除C选项；又，所以AB选项错误，D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.4．设E是平行四边形ABCD所在平面内一点，，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的加减法及数乘运算直接求得.【详解】如图示：.而，所以.,所以.故选：B5．长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用均匀分组的原理，再结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】由已知条件得将12人任意分成3组，不同的分组方法有 种，3个种子选手分在同一组的方法有 种，故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为，故选：.6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（       ）小时.A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可得出，设，求出的值，由此可得出结果.【详解】由题意可得，可得，设，可得，解得.因此，污染物消除至最初的还需要小时.故选：C.7．下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售.路径1：先集中到处，再沿公路运送；路径2：先集中到处，再沿公路运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远.已知，，若这条界线是曲线的一部分，则曲线为（       ）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【答案】D【分析】根据题意得到，进而得到，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】由题意，从界线上的点出发，经到与经到，所走的路程是一样的，即，所以，又由，所以，又由，根据双曲线的定义可知曲线为双曲线的一部分.故选：D.8．已知函数是定义域为的偶函数，且是奇函数，当时，有，若函数的零点个数为5，则实数取值范围是（       ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】函数的零点个数为5等价于与的图像交点的个数为5，然后作出函数图象，数形结合即可得出结果.【详解】∵偶函数，，是奇函数，得，即，，得，，即与的图像交点的个数，因为，即为与的图像交点的个数，因为的图像为半圆，故由图像可知斜率应该在与之间或为，或，故选：C.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、多选题9．如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（       ）数学近三年难易程度对比A．近三年容易题分值逐年增加B．近三年中档题分值所占比例最高的年份是年C．年的容易题与中档题的分值之和占总分的以上D．近三年难题分值逐年减少【答案】AC【分析】根据近三年高考数学卷中容易题、中档题、难题分值的数据的变化可判断ABD选项的正误；计算出年的容易题与中档题的分值之和可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，由图可知，近三年容易题分值逐年增加，A选项正确；对于B选项，由图可知，近三年中档题分值所占比例最高的年份是年，B选项错误；对于C选项，由图可知，年的容易题与中档题的分值之和为，所占比例为，C选项正确；对于D选项，由图可知，近三年难题分值先增后减，D选项错误.故选：AC.10．在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线的焦点，点，在抛物线C上，则下列结论正确的是（       ）A．C的准线方程为 B．C． D．【答案】ABD【分析】依据题意求得抛物线的标准方程.解得抛物线的准线方程判断选项A；解得参数b判断选项B；求得判断选项C；求得判断选项D.【详解】点，在抛物线C上则，解之得则抛物线，，选项A：抛物线C的准线方程为.判断正确；选项B：.判断正确；选项C：.判断错误；选项D：抛物线C的焦点，则，则.判断正确.故选：ABD11．将函数的图象横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数（）的部分图象（如图所示）．对于，且若，都有成立，则（       ）A．B．C．在上单调递增D．函数在的零点为，，，，则【答案】ABD【详解】对于A，由题意可知函数的图象在区间上的对称轴为直线，又，所以，所以，，，故，A正确；对于B，右移个单位得到函数的图象，再将其横坐标缩短为原来的得到的图象，故B正确；对于C，令，，得，，当时，，所以在上单调递增，而，故C错误，对于D，今，则，函数在上有个零点，，，，则，，，，，故，所以，故D正确；故选：ABD．12．若实数，则下列不等式中一定成立的是（       ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】构造函数，利用导数可确定的单调性，根据单调性可依次判断出ABC的正误；构造函数，利用导数可确定单调性，根据单调性可确定D正确.【详解】对于A，设，则，当时，恒成立，在上单调递减，，，，即，，A正确；对于B，由A知，在上恒成立，在上单调递减，，，，即，，即，，B正确；对于C，若，则，即；由A知，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，若，此时与大小关系不确定，即与大小关系不确定，C错误；对于D，设，则；令，则，当时，，即在上单调递增，当时，，此时，在上单调递减，，，，即，，D正确.故选：ABD.三、填空题13．若则_________．【答案】【分析】利用诱导公式、二倍角正弦公式，将目标式子化成关于的表达式，再进行求值；【详解】原式.故答案为.【点睛】本题考查诱导公式、二倍角正弦公式、同角三角函数的基本关系，考查基本运算求解能力，求解时要灵活地运用1的代换，能使问题的求解更简洁.14．若，则_________．【答案】3093【分析】由多项式分析知：为奇数，项系数为负； 为偶数，项系数为正，可得，再应用赋值法求、，即可得结果.【详解】由题设，含的项中，当为奇数，项系数为负，而当为偶数，项系数为正，所以，令，则；令，得，所以．故答案为：.15．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，，，，1，，，，1，…，其中第一项是1，接下来的两项是，1，再接下来的三项是，，1，依此类推，求满足如下条件的最小整数N；该数列的前N项和大于46，那么该款软件的激活码是______．【答案】83【分析】根据题意可求得该数列的前项和，再根据，求得，即可求得答案.【详解】解：该数列的前项和为，要使，当时，，则，又，所以对应满足条件的最小整数．故答案为：83.四、双空题16．已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=9，AA1=10，过点A且与直线CD平行的平面将长方体分成两部分，且分别与棱DD1，CC1交于点H，M.（1）若DH=DC=9，则三棱柱ADH−BCM外接球的表面积为________；（2）现同时将两个球分别放入被平面分成的两部分几何体内.在平面变化过程中，这两个球半径之和的最大值为________.【答案】          【分析】（1）可将三棱柱补型成一个棱长为9的正方体，直接找正方体的外接球半径即为所求；（2）作出这两个球在长方体左侧面上的投影为两个大圆，都与直线相切.设两圆半径分别为，，，得到， ，令，则，，构造函数，，利用导数求出最大值.【详解】（1）由，可将三棱柱补型成一个棱长为9的正方体，该正方体的体对角线长为，故外接球半径，所以外接球的表面积为.（2）如图，这两个球在长方体左侧面上的投影为两个大圆，都与直线相切.设两圆半径分别为，，，由得，同理，，得，由已知，，令，则，，构造函数，，则，∴，当时，，单调递增；当时，，∴单调递减，∴.经检验，当时，，故的最大值为.故答案为：（1）；（2）.五、解答题17．在中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若D为上点，平分角A，且，，求．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意和正弦定理得到，利用余弦定理求得，即可求解；（2）利用，化简得到，进而求得，结合因为，即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，可得，又因为，可得．（2）因为D为上点，平分角，则，又由，可得，又因为，可得，解得，因为，所以．18．若数列满足：对，都有（常数），则称数列是公差为d的“准等差数列”.(1)数列中，，对，都有.求证：数列为“准等差数列”，并求其通项公式；(2)数列满足：.将（1）中数列中的项按原有的顺序插入数列中，使与之间插入项，形成新数列.求数列前100项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）根据准等差数列的定义证明即可，然后分奇偶求出数列的通项即可；（2）由题意可知，在数列的前100项中，数列一共有94项，共中47项为奇数项，47项为偶数项，数列一共有6项，再利用分组求和法即可求出答案.【详解】(1)∵，∴，两式相减得，所以数列为“准等差数列”，∵，∴，∴的奇数项成以2为首项，2为公差的等差数列，故，，的偶数项成以0为首项，2为公差的等差数列，故，，综上可得；(2)由题意可知，在数列的前100项中，数列一共有94项，共中47项为奇数项，47项为偶数项，数列一共有6项，∴.19．如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为2，D为棱BB1（不包括端点）上一动点，E是AB的中点．(1)若AD⊥A1C，求BD的长；(2)当D在棱BB1（不包括端点）上运动时，求平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平面ABC⊥平面得到CE⊥平面，进而得到，证明AD⊥平面，即可求出D为的中点（2）建立空间直角坐标系，求出法向量，再结合二次函数求出余弦值的取值范围.【详解】(1)由，知，又平面ABC⊥平面，所以CE⊥平面．而AD平面，∴，又，所以AD⊥平面，所以．又四边形为正方形，故此时D为的中点，故．(2)以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设，则A（－1，0，0），D（1，0，t），（0，，2），，．设平面的一个法向量为，则，取，得．平面ABC的法向量，设平面与平面ABC的夹角为，∴由于，故．即平面与平面ABC夹角的余弦值的取值范围为．20．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）(1)求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s；(2)假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高二学生体能达标预测是否“合格”；(3)为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n个数的方差；②若随机变量Z～N（μ，），则，，.【答案】(1)，；(2)合格；(3).【分析】（1）根据平均数、方差、标准差的计算公式进行求解即可；（2）根据题中所给的公式进行求解即可；（3）根据独立事件和条件概率的公式进行求解即可.【详解】(1)，第一组学生的方差为；解得；第二组学生的方差为；解得.这40名学生的方差为，所以；(2)由，，得的估计值，的估计值.，∴.从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人），又，所以高三年级学生体能达标为“合格”；(3)设王强在这轮比赛得3分为事件A，他以的比分获胜为事件，他以的比分获胜为事件.则，；所以，设王强前3局比赛获胜的事件为B，则，所以.21．已知函数，为的导数.(1)证明：当时，；(2)设，证明：有且仅有2个零点.【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【分析】（1）令，利用导数判断的单调性，并求出其最小值即可证明；（2）由（1）可知，在上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数即可证明在上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，即可得证.【详解】(1)由，设，则，当时，设，，∵，，∴和在上单调递增，∴，，∴当时，，，则，∴函数在上单调递增，∴，即当时，;(2)由已知得，①当时， ∵，∴在上单调递增，又∵，，∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，②当时，设，则，∴在上单调递减，∴，∴，∴，∴在上单调递减，又∵，，∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，综上所述，有且仅有2个零点.22．已知圆与圆：外切，同时与圆：内切.(1)说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；(2)设动点的轨迹是曲线，直线：与曲线交于，两点，点是线段上任意一点（不包含端点），直线过点，且与曲线交于，两点，若为定值，证明：.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】（1）根据动圆分别和两圆内切、外切的条件及椭圆的定义，可判断M轨迹为椭圆，再由条件得出，即可求出轨迹方程；（2）设，分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，根据为定值知斜率不存在时不合题意，斜率存在时由上述定值可得，据此计算点P的位置为EF中点即可得证.【详解】(1)设圆M的半径为r，由圆M与圆: 外切，得: ,由圆M与圆：内切，得: ，故，则动点M的轨迹是，为焦点，长轴长为8的椭圆，故椭圆的短半轴长为，故椭圆的方程为.(2)设，则，由得，则，当直线的斜率不存在时，，此时不为定值，故不合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，则,即，设，由得：，则，所以，，故若为定值，则，解得，此时，代入得，故点P是EF的中点，因此PE=PF.