2023届辽宁省名校联盟高三上学期9月联考数学试题含解析

2023届辽宁省名校联盟高三上学期9月联考数学试题

一、单选题

1．设集合，集合，若，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接由求解即可

【详解】因为集合，集合， ，

所以，

故选：B

2．已知命题：，，则为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即得.

【详解】∵命题：，，

∴为：，.

故选：B.

3．“点的坐标是，”是“的图象关于点对称”的（       ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据正切函数的性质及充要条件的概念即得.

【详解】若的图象关于点对称，可得点的坐标是，，

若点的坐标是，，可得的图象关于点对称，

故“点的坐标是，”是“的图象关于点对称”的充要条件.

故选：A.

4．若函数，定义域为，且都不恒为零，则

A．若为周期函数，则为周期函数

B．若为偶函数，则为偶函数

C．若，均为单调递增函数，则为单调递增函数

D．若，均为奇函数，则为奇函数

【答案】D

【解析】举例说明A，B，C错误；利用函数奇偶性的定义证明D正确.

【详解】选项A:，，为周期函数，不是周期函数，故错误；

选项B:，，为偶函数，不是偶函数，故错误；

选项C:，，不是单调函数，故错误；

选项D:，所以为奇函数，故正确.

故选：D

【点睛】本题考查复合函数的单调性，奇偶性，周期性，通过代入特殊函数，可很快排除错误选项，是基础题.

5．荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：， （       ）天．

A．200天 B．210天 C．220天 D．230天

【答案】D

【分析】根据题意可列出方程，求解即可.

【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即，

．

故选：D．

6．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（       ）

①绕着轴上一点旋转;

②沿轴正方向平移;

③以轴为轴作轴对称;

④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.

A．①③ B．③④ C．②③ D．②④

【答案】D

【解析】计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.

【详解】，，，

当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；

，，

故，函数关于对称，故④正确；

根据图像知：①③不正确；

故选：.

【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.

7．已知函数，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可计算，构造函数，可证明其为奇函数且单调递增，由此将化为，求得答案.

【详解】由可知， ，

故

，

即，

令 ，则，即为奇函数，

因为函数为R上的单调增函数，为R上的单调减函数

故为单调增函数，则也单调递增；

不等式，即，

即，

故 ，即解集为，

故选:A

8．已知，其中为自然对数的底数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】观察，发现都含有，把换成，自变量在或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较的大小.

【详解】令，，

令，，

当时，，单调递增，

又，所以，又，

所以，在成立，所以即，

令，，在为减函数，所以，即，

令，，在为减函数，所以，即，

所以，成立，

令，则上式变为，所以

所以，

所以.

故答案为：B.

【点睛】比较大小题目，是高考的热点，也是难点，通过观察和构造函数是基本的解题要求，难点在于构造后的证明，需要平时多积累常见的结论，达到深入理解，举一反三，融会贯通.

二、多选题

9．已知实数，，满足，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．的最小值为4

【答案】ABC

【分析】根据实数，，满足，分别化简选项A、B、C中的不等式即可判断；选项D的判断要注意基本不等式取等条件的检验.

【详解】由题，所以有

，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，当且仅当即时取等，

又因为，所以，即无最小值，故D错误.

故选：ABC.

10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，设函数，则下列关于函数叙述正确的是（       ）

A．为奇函数 B． C．在上单调递增 D．有最大值无最小值

【答案】BC

【分析】根据的定义，将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据函数图象判断函数的性质.

【详解】由题意：，所以

所以的图象如下图，

由图象分析： ，所以A不正确；，所以B正确；

在上单调递增，所以C正确；有最小值无最大值，所以D不正确.

故选：BC.

11．函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（       ）

A．函数的解析式为

B．函数的单调递增区间为

C．函数的图象关于点对称

D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度

【答案】ABD

【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC；由三角函数的平移变换可判断D.

【详解】对于A，由图可知，，可得，

由，则，

两式相减得：

，

所以①，

又因为，

所以，结合①，，

因为，

所以，

所以，故A正确；

对于B，，

解得：，故B正确；

对于C，令，解得：，

函数的图象关于点对称，所以C不正确；

对于D，将函数向右平移个单位得到，向上平移一个单位长度可得，故D正确.

故选：ABD.

12．若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（       ）

A．

B．当时，的值不唯一

C．可能等于

D．当时，的取值范围是

【答案】ACD

【分析】由题设切点为，进而得，再构造函数，将问题转化为与的交点个数问题，再数形结合求解即可.

【详解】解：不妨设切点为，因为，

所以切线方程为，

所以，整理得，

所以令，则，

所以，令得.

所以，当或时，，，当时，，

因为，当趋近于时，趋近于，，，，当趋近于时，趋近于，

所以，函数的图像大致如图，

所以，当时，，故B错误，此时成立；

当时，，所以，故可能等于，C正确；

当

当时，，显然，故D正确；

综上，，A正确.

故选：ACD

三、填空题

13．当时，幂函数为减函数，则_________．

【答案】2

【分析】利用幂函数定义即可得到结果.

【详解】函数为幂函数，则，解得或，

又因为函数在上单调递减，

可得，可得，

故答案为：2

14．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则_________．

【答案】3

【分析】根据函数和互为反函数，关于对称，求出AB的中点坐标，即可得到结果.

【详解】函数和互为反函数，则函数和关于对称，

将与联立求得交点为，

由直线分别与函数和的图象交于点为，，，，

则点，和，的中点坐标为，

则，即，

故答案为：3

15．若，，则_________．

【答案】-0.8

【分析】根据三角恒等变换化简可得原式，然后利用齐次式即得.

【详解】因为，，

∴，

∴

.

故答案为：.

四、双空题

16．记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”.

（1）以下函数与存在“点”的是___________

①函数与；

②函数与；

③函数与.

（2）已知：，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为___________.

【答案】     ②    

【分析】第一空根据是否有解即可判断；第二空由得到，构造函数，利用导数研究函数的图象与性质即可求出结果.

【详解】①因为函数与，所以，，由题意得，无解，故不存在“点”；

②函数与，所以，，由题意得，解得，故为函数与的一个“点”；

③函数与，所以，，由题意得，无解，故不存在“点”；

函数与，则与，由题意得，则，令，则，令，则，所以时，则，故单调递增；时，则，故单调递减；所以在处取得极小值，也是最小值，，且时，，所以实数的取值范围为,

故答案为：②；

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

五、解答题

17．命题：实数满足不等式；命题：实数满足不等式其中．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】或.

【分析】求出，的等价命题，然后利用是的充分不必要条件，列不等式组求解即得.

【详解】因为，

所以，

解得，即；

可化为，

当时，所以，即，

当时，所以，即，

因为是的充分不必要条件，

所以当时，，则，

所以，

当时，，则，

所以，

综上，实数的取值范围为或.

18．已知函数．

(1)若函数在处的极值为10，求实数，的值；

(2)若函数在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题可得，进而即得；

（2）由题可知存在使得，然后利用参变分离，构造函数利用导数求函数的最值即得.

【详解】(1)因为，

∴，，

又函数在处的极值为10，

∴，

解得或，

当时，，

函数单调递增，无极值，故不合题意，

当时，，

由，可得或，由，可得，

所以函数在处有极值，

所以；

(2)由题可知，

∴，

∴存在使得，

即在区间内成立，

令，，则，

所以函数，单调递减，

∴，

∴，即实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

19．已知定义在上的函数满足，且，．

(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；

(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据可得，进而可得函数，根据函数的单调性可得，分离参数求最值即可；

（2）由题可得，进而得，然后参变分离，求函数的最值即得.

【详解】(1)由题意知，，

即，

所以，

故，

∴，

因为函数为增函数，函数在其定义域上单调递增，

所以单调递增，又 为增函数，

所以函数在R上单调递增，

所以不等式恒成立等价于，

即恒成立，

设，则，，当且仅当，即时取等号，

所以，

故实数a的取值范围是；

(2)因为对任意的，存在，使得，

所以在上的最小值不小于在上的最小值，

因为在上单调递增，

所以当时，，

∴，即存在，使成立，

令，

因为在上单调递增，在上单调递增，

∴在上单调递增，

∴，

∴，

所以实数m的取值范围是.

【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

20．已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，_________，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．

①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称且；

②函数的图象的一条对称轴为直线且．

(1)求函数的解析式；

(2)若，函数存在两个不同零点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简函数表达式，由最小正周期先求出．

选①：利用函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称求得的可能取值为，再由验证出得到；

选②：由函数的一条对称轴，求出的可能取值为，再由验证出得到；

（2）函数存在两个不同零点等价于直线与函数的图象有两个不同交点.

【详解】(1)

又函数的最小正周期为，，

选①，将函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称，

所得函数为，

由于函数的图象关于轴对称，

可得，解得，

，所以，的可能取值为、，

若，则，，符合题意，

若，则，，不符合题意，

所以，；

选②，因为函数的一条对称轴，则，

解得，，所以，的可能取值为、，

若，则，则，符合题意，

若，则，则，不符合题意，

所以，；

(2)令，此时函数存在两个不同零点等价于直线与函数的图象有两个不同交点.

当时，函数取到最大值.

∴，即，

∴.

21．已知函数．

(1)若时，，求实数的取值范围；

(2)设，若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）利用参变分离得，转换为二次函数求最值即可求函数最值，即得；

（2）将原方程转换为，利用整体换元，结合二次函数的实根分布即可求解.

【详解】(1)因为，即，

令，记，

∴，

∴，

即 的取值范围是；

(2)由，得，

即，且，

令，则方程化为．

又方程有三个不同的实数解，由的图象可知，

有两个根，，且或，

记，

则 或，

解得或，

综上所述，的取值范围是．

22．已知函数．

(1)求函数的最值；

(2)若恒成立，求实数的取值范围；

(3)求证：．

【答案】(1)的最小值为：，无最大值.

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，令，整理得，构造函数，由可知恒成立，从而确定函数的单调性，极值，即可解出函数的最值.

（2）由题意整理可得，设函数，利用导数求得函数的最小值，即可求解.

（3）设，利用导数求得函数的单调性与最值，得到在上恒成立.令 可得在上恒成立，即可求解.

【详解】(1)函数的定义域为.

，

令 即

记

，恒成立，即 在 是递增函数.

即恒成立

解得

在 上单调递减，在上单调递增.

，故无最大值.

的最小值为：，无最大值.

(2) 恒成立.

即恒成立.

在 恒成立

即在 恒成立

令

令，即

整理得：

令

在 恒成立

在上单调递增.

，

使得即

当时，当时，

当时，当时，

在上单调递减，在上单调递增，

构造函数，因为在上单调递增，

所以，即

因此，实数的取值范围是.

(3)设

，在上恒成立.

在上单调递增且

在上恒成立.

在上恒成立.（其中，）.

即

则

故

【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略:

（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值 范围;

（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

（3）根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.