甘肃省兰州市四片区高中联考2022-2023学年高三数学（理）上学期第一次月考试题（Word版附解析）

2022-2023学年度第一学期九月考试卷

高三理科数学

一、选择题（共60分，每小题5分）

1 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出集合A，再求两集合的并集

【详解】解：由，得，，所以,

因为，

所以，

故选：A

2. 已知二次函数的图象如右图所示，则其导函数的图象大致形状是

（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：当时函数单调递增，所以，当时函数单调递减，所以，所以图像为B项

考点：函数导数与单调性

3. 王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的

A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件

【答案】D

【解析】

【详解】根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必是有志之士，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件，故选D.

4. 已知命题，则（    ）

A. 是假命题；

B. 是假命题；

C. 是真命题；

D. 是真命题；

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的性质可以判断命题的真假，再根据特称命题的否定为全称命题判断可得；

【详解】解：因为，所以，则，所以是假命题，

故选：B

【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定及真假判断，属于基础题.

5. 求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为(　　)

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【详解】在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间长度均为，故第i－1个区间为.

本题选择D选项.

6. 设，则在处的导数＝

A.  B. － C. 0 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】试题分析：

考点：函数导数的计算

7. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】A

【解析】

【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.

【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，

在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.

故选：A.

8. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【详解】D

试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．

解：，

∴y′（0）=a﹣1=2，

∴a=3．

故答案选D．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

9. 函数在定义域R内可导，，且.若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由导数得函数的单调性，由题意得对称性，利用对称性转化，再利用单调性比较函数值大小．

【详解】满足，则图象关于直线对称，

又，∴时，，是增函数，时，时，是减函数，

，又，，即．

故选：C．

10. 已知函数则关于x的方程解的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】时直接解方程，时，引入函数，利用导数确定零点个数，从而方程解的个数．

【详解】时，由得，，，

时，设，，

时，，递增，时，，递减，

，，在上无零点，

，

所以在也是在上有唯一零点．

综上，在上有一个解，

所以，方程解的个数是3．

故选：C．

11. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（    ）.

A. -50 B.  C. 2 D. 50

【答案】B

【解析】

【分析】由奇函数性质确定值，再由已知确定函数的周期性，然后由周期性、奇函数性质求值．

【详解】是奇函数，∴，，

，即，

，是周期函数，周期是5，

又是奇函数，

∴．

故选：B．

12. 已知有极大值和极小值，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求，由题意可得有两个不相等的实数根，结合二次函数的性质可得，解不等式即可求解.

【详解】由可得，

因为有极大值和极小值，

所以有两个不相等的实数根，

所以，即，

解得：或，

所以的取值范围为，

故选：D.

二、填空题（共20分，每小题5分）

13. 已知幂函数的图象过点，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据幂函数可得，将点代入解析式可得的值，即可求解.

【详解】因为函数是幂函数，所以，所以

因为幂函数的图象过点，

所以，所以，

所以，

故答案为：.

14. 函数的导数为_____________________；

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：

考点：函数导数

15. 已知函数是偶函数，则______.

【答案】1

【解析】

【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.

【详解】因为，故，

因为为偶函数，故，

时，整理得到，

故，

故答案为：1

16. 某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为_________________.

【答案】##8.5

【解析】

【分析】根据题意找出利润与定价的函数关系，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】设定价为元，利润为元，

由题意可知：，

故当时，最大，且最大值为1210.

故答案为:8.5

三、解答题

17. 求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线围成的图形的面积S.

【答案】详见解析

【解析】

【详解】由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线围成的图形如图,面积为，

所以面积为.

18. 已知函数．

（1）若的值域为R，求实数m的取值范围；

（2）若在内单调递增，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意能取内的一切值，故转化为函数的判别式大于等于0求解即可；

（2）根据复合函数的单调性可得在内单调递减且恒正，再根据二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

由的值域为R，可得能取内的一切值，

故函数的图象与x轴有公共点，

所以，解得或．

故实数m的取值范围为．

【小问2详解】

因为在内单调递增，

所以在内单调递减且恒正，

所以，解得．

故实数m的取值范围为．

19. 设是上的奇函数，，当时，.

（1）求的值；

（2）当时，求的图象与轴所围成图形的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由可得函数的周期为，然后利用周期性确定的值；

（2）根据函数的性质画出的图象，然后计算当时,的图象与轴围成的图象的面积.

【详解】（1）由得，

，

所以是以为周期的周期函数，

所以.

（2）由奇函数且，

得，

即.

故知函数的图象关于直线对称.

又当时，，且的图象关于原点成中心对称，则在上的图象如下图所示：

当时，的图象与轴围成的图形面积为，则.

【点睛】本题考查函数的周期性、对称性的运用，考查函数的图象及应用，难度一般.解答时，确定函数的周期、对称轴是关键.

20. 已知函数，曲线在点处切线方程为．

（1）求的值；

（2）讨论的单调性，并求的极大值．

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得，的值；（2）利用导数的正负，可得的单调性，从而可求的极大值．

试题解析：（1）．

由已知得，．

故，．

从而，．

（2）由（1）知，，

．

令得，或．

从而当时，；

当时，．

故在，上单调递增，在上单调递减．

当时，函数取得极大值，极大值为．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．

21. 已知函数（）．

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）求在区间上的最小值．

【答案】（1）;（2）答案见解析．

【解析】

【分析】（1）设切线的斜率为．利用导数求出斜率，切点坐标，然后求出切线方程;

（2）通过得．讨论与区间端点的关系，通过判断单调性得出最值.

【详解】．

（1）当时，．

∴，，

∴所求切线方程为，

即．

（2）令得．

①若，则．

当时，，则在上单调递增．

∴；

②若，则．

当时，，则在上单调递减．

∴；

③若，则．

，随的变化情况如表：

∴的减区间为，增区间为，

∴．

综上可知当时，；

当时，；

当时，．

22. 已知函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.

（1）若对任意实数x，≥m恒成立，求m的最大值；

（2）若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.

【答案】（1）－；（2）(－∞，2)∪

【解析】

【分析】（1）求出导函数，结合二次函数性质可得参数范围；

（2）由导函数确定函数的单调性，极值，由极小值大于0或极大值小于0得参数范围．

详解】（1）＝3x2－9x＋6＝，

由≥m恒成立，可得m≤－，

即m的最大值为－.

（2）＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，

由>0⇒x>2或x<1，由<0⇒1<x<2，

∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，

∴f(x)极大值＝f（1）＝－a，f(x)极小值＝f（2）＝2－a.

∵f(x)恰有一个零点，∴－a<0或2－a>0，

即a<2或a>，

所以a的取值范围为(－∞，2)∪.