陕西省西安交通大附中重点达标名校2022年中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（　　）

A．主视图不变，左视图不变

B．左视图改变，俯视图改变

C．主视图改变，俯视图改变

D．俯视图不变，左视图改变

2．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（）

A． B． C． D．

3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则它的面积是（　　）

A．6cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm2

5．如图，BC平分∠ABE，AB∥CD，E是CD上一点，若∠C=35°，则∠BED的度数为（　　）

A．70° B．65° C．62° D．60°

6．如图1，在等边△ABC中，D是BC的中点，P为AB 边上的一个动点，设AP=x，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则△ABC的面积为（   ）

A．4 B． C．12 D．

7．二次函数的对称轴是  

A．直线 B．直线 C．y轴 D．x轴

8．如图，在中，，，，点在以斜边为直径的半圆上，点是的三等分点，当点沿着半圆，从点运动到点时，点运动的路径长为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

9．若正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m等于（　　）

A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4

10．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　

A．5 B．6 C．7 D．8

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．直线y＝﹣x+1分别交x轴，y轴于A、B两点，则△AOB的面积等于___．

12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是________．

13．关于x的方程（m﹣5）x2﹣3x﹣1=0有两个实数根，则m满足_____．

14．分解因式：ax2－a=______．

15．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是__km/h．

16．分解因式：x2y﹣xy2=_____．

17．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图1，的余切值为2，，点D是线段上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，联结，并延长，交射线于点P．

（1）点D在运动时，下列的线段和角中，________是始终保持不变的量（填序号）；

①；②；③；④；⑤；⑥；

（2）设正方形的边长为x，线段的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果与相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．

19．（5分）计算：（π﹣3.14）0﹣2﹣|﹣3|．

20．（8分）解分式方程：

- =

21．（10分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x是不等式组的整数解

22．（10分）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AB，求证：四边形 ABCD 是正方形

23．（12分）（5分）计算：．

24．（14分）如图，在Rt△ABC的顶点A、B在x轴上，点C在y轴上正半轴上，且

A(－1，0)，B(4，0)，∠ACB＝90°.

(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式；

(2)设抛物线的对称轴l与BC边交于点D，若P是对称轴l上的点，且满足以P、C、D为顶点的三角形与△AOC相似，求P点的坐标；

(3)在对称轴l和抛物线上是否分别存在点M、N，使得以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图1                          备用图

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】
分别得到将正方体①移走前后的三视图，依此即可作出判断．

【详解】

将正方体①移走前的主视图为：第一层有一个正方形，第二层有四个正方形，正方体①移走后的主视图为：第一层有一个正方形，第二层有四个正方形，没有改变。

将正方体①移走前的左视图为：第一层有一个正方形，第二层有两个正方形，正方体①移走后的左视图为：第一层有一个正方形，第二层有两个正方形，没有发生改变。

将正方体①移走前的俯视图为：第一层有四个正方形，第二层有两个正方形，正方体①移走后的俯视图为：第一层有四个正方形，第二层有两个正方形，发生改变。

故选A.

【点睛】

考查了三视图，从几何体的正面，左面，上面看到的平面图形中正方形的列数以及每列正方形的个数是解决本题的关键.

2、A

【解析】
根据应用题的题目条件建立方程即可.

【详解】

解：由题可得：

即：

故答案是：A.

【点睛】

本题主要考察一元二次方程的应用题，正确理解题意是解题的关键.

3、A

【解析】
根据轴对称图形的概念判断即可．

【详解】

A、是轴对称图形；

B、不是轴对称图形；

C、不是轴对称图形；

D、不是轴对称图形．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

4、C

【解析】
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．

【详解】

根据对角线的长可以求得菱形的面积，

根据S=ab=×6cm×8cm=14cm1．

故选：C．

【点睛】

考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键.

5、A

【解析】
由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，即可求得∠ABE的度数，继而求得答案．

【详解】

∵AB∥CD,∠C=35°，

∴∠ABC=∠C=35°，

∵BC平分∠ABE，

∴∠ABE=2∠ABC=70°，

∵AB∥CD，

∴∠BED=∠ABE=70°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质进行解答.

6、D

【解析】

分析：

由图1、图2结合题意可知，当DP⊥AB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小=，这样如图3，过点P作PD⊥AB于点P，连接AD，结合△ABC是等边三角形和点D是BC边的中点进行分析解答即可.

详解：

由题意可知：当DP⊥AB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小=，如图3，过点P作PD⊥AB于点P，连接AD，

∵△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，

∴∠ABC=60°，AD⊥BC，

∵DP⊥AB于点P，此时DP=，

∴BD=，

∴BC=2BD=4，

∴AB=4，

∴AD=AB·sin∠B=4×sin60°=，

∴S△ABC=AD·BC=.

故选D.

点睛：“读懂题意，知道当DP⊥AB于点P时，DP最短=”是解答本题的关键.

7、C

【解析】
根据顶点式y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h，找出h即可得出答案．

【详解】

解：二次函数y=x2的对称轴为y轴．
故选:C ．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题关键是顶点式y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h，顶点坐标为（h，k）．

8、A

【解析】
根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M的轨迹是以EF为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分两种情况讨论．

【详解】

当点D与B重合时，M与F重合，当点D与A重合时，M与E重合，连接BD，FM，AD，EM，

∵

∴

∵AB是直径

即

∴

∴点M的轨迹是以EF为直径的半圆，

∵

∴以EF为直径的圆的半径为1

∴点M运动的路径长为

当 时，同理可得点M运动的路径长为

故选：A．

【点睛】

本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键．

9、B

【解析】
利用待定系数法求出m，再结合函数的性质即可解决问题．

【详解】

解：∵y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），

∴m2＝4，

∴m＝±2，

∵y的值随x值的增大而减小，

∴m＜0，

∴m＝﹣2，

故选：B．

【点睛】

本题考查待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

10、B

【解析】
根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．

【详解】

解：∵半径OC垂直于弦AB，

∴AD=DB= AB=

在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，

解得，OA=4

∴OD=OC-CD=3，

∵AO=OE,AD=DB,

∴BE=2OD=6

故选B

【点睛】

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、.

【解析】
先求得直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求得△AOB的面积即可.

【详解】

∵直线y＝﹣x+1分别交x轴、y轴于A、B两点，

∴A、B点的坐标分别为（1，0）、（0，1），

S△AOB＝OA•OB＝×1×1＝，

故答案为．

【点睛】

本题考查了直线与坐标轴的交点坐标及三角形的面积公式，正确求得直线y＝﹣x+1与x轴、y轴的交点坐标是解决问题的关键.

12、

【解析】
在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】

∵在：等腰三角形、圆、矩形、菱形和直角梯形中属于中心对称图形的有：圆、矩形和菱形3种，

∴从这5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率为：.

故答案为.

13、m≥且m≠1．

【解析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且 然后求出两个不等式的公共部分即可．

【详解】

解：根据题意得m﹣1≠0且

解得且m≠1．

故答案为: 且m≠1．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

14、

【解析】
先提公因式，再套用平方差公式.

【详解】

ax2－a=a（x2-1）=

故答案为：

【点睛】

掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法.

15、3.6

【解析】

分析：根据题意，甲的速度为6km/h，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．

详解：由题意，甲速度为6km/h．当甲开始运动时相距36km，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇．

设乙的速度为xkm/h

4.5×6+2.5x=36

解得x=3.6

故答案为3.6

点睛：本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．

16、xy（x﹣y）

【解析】

原式=xy（x﹣y）．

故答案为xy（x﹣y）．

17、（0，0）

【解析】
根据坐标的平移规律解答即可．

【详解】

将点A（-3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，

那么平移后对应的点A′的坐标是（-3+3，2-2），即（0，0），

故答案为（0，0）．

【点睛】

此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）④⑤；（2）；（3）或.

【解析】
（1）作于M，交于N，如图，利用三角函数的定义得到，设，则，利用勾股定理得，解得，即，，设正方形的边长为x，则，，由于，则可判断为定值；再利用得到，则可判断为定值；在中，利用勾股定理和三角函数可判断在变化，在变化，在变化；

（2）易得四边形为矩形，则，证明，利用相似比可得到y与x的关系式；

（3）由于，与相似，且面积不相等，利用相似比得到，讨论：当点P在点F点右侧时，则，所以，当点P在点F点左侧时，则，所以，然后分别解方程即可得到正方形的边长．

【详解】

（1）如图，作于M，交于N，

在中，∵，

设，则，

∵，

∴，解得，

∴，，

设正方形的边长为x，

在中，∵，

∴，

∴，

在中，，

∴为定值；

∵，

∴，

∴为定值；

在中，，

而在变化，

∴在变化，在变化，

∴在变化，

所以和是始终保持不变的量；

故答案为：④⑤

（2）∵MN⊥AP，DEFG是正方形，

∴四边形为矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

即，

∴

（3）∵，与相似，且面积不相等，

∴，即，

∴，

当点P在点F点右侧时，AP=AF+PF==，

∴，

解得，

当点P在点F点左侧时，，

∴，

解得，

综上所述，正方形的边长为或．

【点睛】

本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．

19、﹣1．

【解析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【详解】

原式

=1﹣3+4﹣3，

=﹣1．

【点睛】

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

20、方程无解

【解析】
找出分式方程的最简公分母，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再代入最简公分母进行检验即可．

【详解】

解：方程的两边同乘（x＋1）（x−1），

得:,

，

∴此方程无解

【点睛】

本题主要考查了解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③验根.

21、x=3时，原式=

【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分得到最简结果,求出不等式组的解集,找出解集中的整数计算得出到x的值,代入计算即可求出值.

【详解】

解：原式=÷

=×

=，

解不等式组得，2＜x＜，

∵x取整数，

∴x=3，

当x=3时，原式=．

【点睛】

本题主要考查分式额化简求值及一元一次不等式组的整数解．

22、详见解析.

【解析】
四边形ABCD是正方形，利用已知条件先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明四边形ABCD是矩形，再根据对角线垂直的矩形是正方形即可证明四边形ABCD是正方形．

【详解】

证明：在四边形ABCD中，OA=OC,OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵OA=OB=OC=OD，

又∵AC=AO+OC,BD=OB+DO，

∴AC=BD，

∴平行四边形是矩形，

在△AOB中，，

∴△AOB是直角三角形，即AC⊥BD，

∴矩形ABCD是正方形.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及勾股定理的运用和勾股定理的逆定理的运用，题目的综合性很强．

23、．

【解析】

试题分析：利用负整数指数幂，零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值的定义解答．

试题解析：原式==．

考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．

24、见解析

【解析】

分析：(1)根据求出点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

(2)分两种情况进行讨论即可.

(3)存在. 假设直线l上存在点M，抛物线上存在点N，使得以A、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形.分当平行四边形是平行四边形时，当平行四边形AONM是平行四边形时，当四边形AMON为平行四边形时，三种情况进行讨论.

详解：(1)易证，得，

∴OC=2，∴C(0，2),

∵抛物线过点A(-1，0)，B(4，0)

因此可设抛物线的解析式为 

将C点(0，2)代入得:，即

∴抛物线的解析式为

 (2)如图2，

当时，则P1(，2),

当 时， 

∴OC∥l,

∴，

∴P2H＝·OC＝5，

∴P2 (，5)

因此P点的坐标为(，2)或(，5).

(3)存在.

假设直线l上存在点M，抛物线上存在点N，使得以A、O、M、N为顶点的四边形为平行四边形.

如图3，

当平行四边形是平行四边形时，M(，)，(,),

当平行四边形AONM是平行四边形时，M(，)，N(,),

如图4，当四边形AMON为平行四边形时，MN与OA互相平分，此时可设M(，m)，则

∵点N在抛物线上，

∴-m＝-·(-+1)( --4)=-,

∴m=,

此时M(，)， N(-,-).

综上所述，M(，)，N(,)或M(，)，N(,) 或 M(，)， N(-,-).

点睛：属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式等，注意分类讨论的思想方法在数学中的应用.