山西省定襄县重点名校2022年中考数学全真模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A、B的坐标分别为（，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为（　　）

A． B． C． D．

2．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（     ）元．

A． B． C． D．

3．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．55°

4．如图，，则的度数为（  ）

A．115° B．110° C．105° D．65°

5．下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）

A．水涨船高    B．守株待兔    C．水中捞月    D．缘木求鱼

6．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＜o D．a÷b＞0

7．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（   ）

A．化为 B．化为

C．化为 D．化为

8．已知A样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2，则A，B两个样本的下列统计量对应相同的是（ ）

A．平均数 B．标准差 C．中位数 D．众数

9．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（　　）

A．a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．a＜﹣1 D．﹣2＜a≤﹣1

10．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（ ）

A．（3 ，1） B．（3 ，2） C．（2 ，3） D．（1 ，3）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．若，则＝_____．

12．如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为         ．

13．直线y=x与双曲线y=在第一象限的交点为（a，1），则k=_____．

14．若从 -3，-1，0，1，3这五个数中随机抽取一个数记为a，再从剩下的四个数中任意抽取一个数记为b，恰好使关于x，y的二元一次方程组有整数解，且点(a，b)落在双曲线上的概率是_________.

15．已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC2=BC·AB，则AC的长___________cm．

16．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°_____cos50°．

17．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请你写出一个满足条件的值__________．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）． 若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店每天的利润．若每份套餐售价不超过10元．

①试写出与的函数关系式；

②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？若不能，请说明理由．

19．（5分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（1）问题探究：

如图1，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知l1∥l1，l1与l1之间的距离为1．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l1上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l1于点D．求CD的值．

20．（8分）在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是；如果往盒中再放进 10 颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为．求 x 和 y 的值．

21．（10分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．

22．（10分）先化简，再求代数式（）÷的值，其中a=2sin45°+tan45°．

23．（12分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．

24．（14分）某学校为了解学生的课余活动情况，抽样调查了部分学生，将所得数据处理后，制成折线统计图（部分）和扇形统计图（部分）如图：

（1）在这次研究中，一共调查了　   　学生，并请补全折线统计图；

（2）该校共有2200名学生，估计该校爱好阅读和爱好体育的学生一共有多少人？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
连接OO′，作O′H⊥OA于H．只要证明△OO′A是等边三角形即可解决问题.

【详解】

连接OO′，作O′H⊥OA于H，

在Rt△AOB中，∵tan∠BAO==，

∴∠BAO=30°，

由翻折可知，∠BAO′=30°，

∴∠OAO′=60°，

∵AO=AO′，

∴△AOO′是等边三角形，

∵O′H⊥OA，

∴OH=，

∴OH′=OH=，

∴O′（，），
故选B．

【点睛】

本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是发现特殊三角形，利用特殊三角形解决问题．

2、B

【解析】
设商品进价为x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价-进价建立方程求出其解即可．

【详解】

解：设商品的进价为x元，售价为每件0.8×200元，由题意得

0.8×200=x+40

解得：x=120

答：商品进价为120元．

故选：B．

【点睛】

此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．

3、C

【解析】
根据平行线的性质即可得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．

【详解】

解：∵直线m∥n，

∴∠3＝∠1＝25°，

又∵三角板中，∠ABC＝60°，

∴∠2＝60°﹣25°＝35°，

故选C．

【点睛】

本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

4、A

【解析】
根据对顶角相等求出∠CFB＝65°，然后根据CD∥EB，判断出∠B＝115°．

【详解】

∵∠AFD＝65°，

∴∠CFB＝65°，

∵CD∥EB，

∴∠B＝180°−65°＝115°，

故选：A．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，知道“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．

5、B

【解析】试题解析：水涨船高是必然事件，A不正确；

守株待兔是随机事件，B正确；

水中捞月是不可能事件，C不正确

缘木求鱼是不可能事件，D不正确；

故选B．

考点：随机事件.

6、C

【解析】
利用数轴先判断出a、b的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可．

【详解】

解：由a、b在数轴上的位置可知：a＜1，b＞1，且|a|＞|b|，

∴a+b＜1，ab＜1，a﹣b＜1，a÷b＜1．

故选：C．

7、B

【解析】
配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

【详解】

解：、，，，，故选项正确．

、，，，，故选项错误．

、，，，，，故选项正确．

、，，，，．故选项正确．

故选：．

【点睛】

此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

8、B

【解析】

试题分析：根据样本A，B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义即可得到结论：

设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yi=xi+2，

则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差2，只有标准差没有发生变化.

故选B.

考点：统计量的选择．

9、B

【解析】
根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出字母a的取值范围.

【详解】

解：∵x的不等式组恰有3个整数解，

∴整数解为1，0，-1，

∴-2≤a＜-1.

故选B.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.

10、D

【解析】
解决本题抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′．

【详解】

由图知A点的坐标为（-3，1），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（1，3）．

故选D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】

=.

12、15π．

【解析】

试题分析：∵OB=BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：×6π×5=15π．故答案为15π．

考点：圆锥的计算．

13、1

【解析】

分析：首先根据正比例函数得出a的值，然后将交点坐标代入反比例函数解析式得出k的值．

详解：将(a，1)代入正比例函数可得：a=1，  ∴交点坐标为(1，1)，

∴k=1×1=1．

点睛：本题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式，属于基础题型．根据正比例函数得出交点坐标是解题的关键．

14、

【解析】

分析：根据题意可以写出所有的可能性，然后将所有的可能性代入方程组和双曲线，找出符号要求的可能性，从而可以解答本题．

详解：从﹣3，﹣1，0，1，3这五个数中随机抽取一个数记为a，再从剩下的四个数中任意抽取一个数记为b，则（a，b）的所有可能性是：

    （﹣3，﹣1）、（﹣3，0）、（﹣3，1）、（﹣3，3）、

    （﹣1，﹣3）、（﹣1，0）、（﹣1，1）、（﹣1，3）、

    （0，﹣3）、（0，﹣1）、（0，1）、（0，3）、

    （1，﹣3）、（1，﹣1）、（1，0）、（1，3）、

    （3，﹣3）、（3，﹣1）、（3，0）、（3，1），将上面所有的可能性分别代入关于x，y的二元一次方程组有整数解，且点（a，b）落在双曲线上的是：（﹣3，1），（﹣1，3），（3，﹣1），故恰好使关于x，y的二元一次方程组有整数解，且点（a，b）落在双曲线上的概率是：．故答案为．

点睛：本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性．

15、

【解析】
设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB列方程求解即可.

【详解】

解：设AC=x，则BC=2-x，根据AC2=BC·AB可得x2=2(2-x),

解得：x=或（舍去）.

故答案为.

【点睛】

本题考查了黄金分割的应用，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比.

16、＞

【解析】

试题解析：∵cos50°=sin40°，sin50°＞sin40°，

∴sin50°＞cos50°．

故答案为＞．

点睛：当角度在0°～90°间变化时，

①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．

17、1

【解析】
先根据根的判别式求出c的取值范围，然后在范围内随便取一个值即可．

【详解】

解得

所以可以取

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根个数的关系是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）①y=400x﹣1．（5＜x≤10）；②9元或10元；（2）能， 11元.

【解析】
(1)、根据利润=(售价－进价)×数量－固定支出列出函数表达式；(2)、根据题意得出不等式，从而得出答案；(2)、根据题意得出函数关系式，然后将y=1560代入函数解析式，从而求出x的值得出答案．

【详解】

解：（1）①y=400（x﹣5）﹣2．（5＜x≤10）， 

②依题意得：400（x﹣5）﹣2≥800，  解得：x≥8.5，

∵5＜x≤10，且每份套餐的售价x（元）取整数， ∴每份套餐的售价应不低于9元．      

（2）依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，

y=（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣2，  

当y=1560时， （x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣2=1560，

解得：x1=11，x2=14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1=11，即x2=14不符合题意．

故该套餐售价应定为11元．

【点睛】

本题主要考查的是一次函数和二次函数的实际应用问题，属于中等难度的题型．理解题意，列出关系式是解决这个问题的关键．

19、（1）△ABC是“等高底”三角形；（1）；（3）CD的值为，1，1．

【解析】
（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得：根据“等高底”三角形的概念即可判断.

（1）点B是的重心，得到设 则

根据勾股定理可得即可求出它们的比值.

（3）分两种情况进行讨论:①当时和②当时.

【详解】

（1）△ABC是“等高底”三角形；

理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，

∵∠ACB=30°，AC=6，

∴

∴AD=BC=3，

即△ABC是“等高底”三角形；

（1）如图1，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，

∴

∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是 ，

∴∠ADC=90°，

∵点B是的重心，

∴

设 则

由勾股定理得

∴

（3）①当时，

Ⅰ．如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l1，l1与l1之间的距离为1，.

∴

∴BE=1，即EC=4，

∴

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，

∴∠DCF=45°，

设

∵l1∥l1，

∴

∴ 即

∴

∴

Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到，

∴是等腰直角三角形，

∴

②当时，

Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，

∴

∴

Ⅱ．如图6，作于E，则

∴

∴

∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到时，点A'在直线l1上，

∴∥l1，即直线与l1无交点，

综上所述，CD的值为

【点睛】

属于新定义问题，考查对与等底高三角形概念的理解，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，掌握等底高三角形的性质是解题的关键.

20、x=15,y=1

【解析】
根据概率的求法：在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，共x+y颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是，有成立．化简可得y与x的函数关系式；
（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，在盒中有10+x+y颗棋子，则取得黑色棋子的概率变为，结合（1）的条件，可得，解可得x=15，y=1．

【详解】

依题意得，

，

化简得，，

解得， .，

检验当x=15,y=1时，，，

∴x=15,y=1是原方程的解，经检验，符合题意.

答：x=15,y=1.

【点睛】

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

21、证明见解析．

【解析】

试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题．

试题解析：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．

考点：平行四边形的判定与性质．

22、，．

【解析】
先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可．

【详解】

解：原式

当时

原式

【点睛】

考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键．

23、（1）；（2）.

【解析】
（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．

【详解】

解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，

∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是=；

（2）画树状图：

共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，

则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是．

24、（1）200名；折线图见解析；（2）1210人.

【解析】
（1）由“其他”的人数和所占百分数，求出全部调查人数；先由“体育”所占百分数和全部调查人数求出体育的人数，进一步求出阅读的人数，补全折线统计图；

（2）利用样本估计总体的方法计算即可解答．

【详解】

（1）调查学生总人数为40÷20%=200（人），体育人数为：200×30%=60（人），阅读人数为：200﹣（60+30+20+40）=200﹣150=50（人）．

补全折线统计图如下：

．

（2）2200×=1210（人）．

答：估计该校学生中爱好阅读和爱好体育的人数大约是1210人．

【点睛】

本题考查了统计知识的应用，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关，符合新课标的理念．