山东省潍坊市高密市重点中学2022年中考数学模拟预测题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．2017年，小榄镇GDP总量约31600000000元，数据31600000000科学记数法表示为（　　）

A．0.316×1010 B．0.316×1011 C．3.16×1010 D．3.16×1011

2．射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为 ，，，，则四人中成绩最稳定的是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

3．如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）

A． B． C． D．

4．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是(     )

A．14°    B．15°    C．16°    D．17°

5．如果（，均为非零向量），那么下列结论错误的是（　　）

A．// B．-2=0 C．= D．

6．将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（　　）

A． B． C． D．

7．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是(   )

A． B． C． D．

8．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，点P为△ABC外一点，CP=，BP=3，AP的最大值是（　　）

A．+3 B．4 C．5 D．3

9．不等式组的解在数轴上表示为（  ）

A． B． C． D．

10．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　）

A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如果将“概率”的英文单词 probability中的11个字母分别写在11张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母b的概率是________．

12．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是____________________

13．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__________．

14．如图，已知AB∥CD，若，则=_____．

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=12，若以点A为圆心， AC为半径的弧交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径的弧交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积为__（保留根号和π）

16．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=         °．

17．已知a+＝2，求a2+＝_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）计算：

19．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且BD∥OC，连接AC．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

20．（8分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．

21．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知．

求楼间距AB；

若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？参考数据：，，，，，

22．（10分）计算：解不等式组，并写出它的所有整数解．

23．（12分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．求出y与x的函数关系式；当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

24．（14分）如图，分别与相切于点，点在上，且，，垂足为．

求证：；若的半径，，求的长

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】

31600000000＝3.16×1．故选：C．

【点睛】

本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示.

2、D

【解析】
根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．

【详解】

∵0.45＜0.51＜0.62，

∴丁成绩最稳定，

故选D．

【点睛】

此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．

3、D

【解析】
根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．

【详解】

∵四边形ABCD是菱形，

∴CO=AC=3，BO=BD=，AO⊥BO，

∴．

∴．

又∵，

∴BC·AE=24，

即．

故选D．

点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．

4、C

【解析】
依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°．

【详解】

如图，

∵∠ABC=60°，∠2=44°，

∴∠EBC=16°，

∵BE∥CD，

∴∠1=∠EBC=16°，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

5、B

【解析】

试题解析：向量最后的差应该还是向量. 故错误.

故选B.

6、A

【解析】

分析：面动成体．由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转．

详解：A、上面小下面大，侧面是曲面，故本选项正确；

B、上面大下面小，侧面是曲面，故本选项错误；

C、是一个圆台，故本选项错误；

D、下面小上面大侧面是曲面，故本选项错误；

故选A．

点睛：本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转．

7、D

【解析】
根据分式有意义的条件即可求出答案．

【详解】

解：由分式有意义的条件可知：，

，

故选：．

【点睛】

本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.

8、C

【解析】
过点C作,且CQ=CP,连接AQ,PQ,证明≌根据全等三角形的性质，得到 根据等腰直角三角形的性质求出PQ的长度，进而根据,即可解决问题.

【详解】

过点C作,且CQ=CP,连接AQ,PQ,

在和中

≌

AP的最大值是5.

故选：C.

【点睛】

考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，作出辅助线是解题的关键.

9、C

【解析】
先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．

【详解】

解：由不等式①，得3x＞5-2，解得x＞1，

由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2，

∴数轴表示的正确方法为C．

故选C．

【点睛】

考核知识点：解不等式组.

10、D

【解析】
根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=-（a+1），当b=a+1时，-1是方程x2+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．

【详解】

∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，

∴，

∴b=a+1或b=-（a+1）．

当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x2+bx+a=0的根；

当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．

∵a+1≠0，

∴a+1≠-（a+1），

∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．

故选D．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】

分析：让英文单词probability中字母b的个数除以字母的总个数即为所求的概率．

详解：∵英文单词probability中，一共有11个字母，其中字母b有2个，∴任取一张，那么取到字母b的概率为．

    故答案为．

点睛：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．

12、m<4且m≠2

【解析】

解方程得x=4-m，由已知可得x>0且x-2≠0，则有4-m >0且4-m-2≠0，解得：m<4且m≠2.

13、4

【解析】
首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．

【详解】

在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，

∴AB=2，BO=

①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，

②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°

∵∠ABO=30°

∴∠BAO=60°

∴∠OQD=90°﹣60°=30°

∴AQ=2AC,

又∵CQ=,

∴AQ=2

∴OQ=2﹣1=1,则点Q运动的路程为QO=1，

③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，

④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，

∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4

故答案为4.

考点：解直角三角形

14、

【解析】

【分析】利用相似三角形的性质即可解决问题；

【详解】∵AB∥CD，

∴△AOB∽△COD，

∴，

故答案为．

【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

15、15π−18.

【解析】
根据扇形的面积公式：S=分别计算出S扇形ACE，S扇形BCD，并且求出三角形ABC的面积，最后由S阴影部分=S扇形ACE+S扇形BCD-S△ABC即可得到答案．

【详解】

S阴影部分=S扇形ACE+S扇形BCD-S△ABC，

∵S扇形ACE==12π，

S扇形BCD==3π，

S△ABC=×6×6=18，

∴S阴影部分=12π+3π−18=15π−18.

故答案为15π−18.

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形的面积公式.

16、1．

【解析】
连接OD，根据圆的切线定理和等腰三角形的性质可得出答案.

【详解】

连接OD，

则∠ODC=90°，∠COD=70°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠A=∠COD=35°，

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=1°，

故答案为1．

考点：切线的性质．

17、1

【解析】

试题分析：∵==4，∴=4-1=1．故答案为1．

考点：完全平方公式．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、-1

【解析】
先化简二次根式、计算负整数指数幂、分母有理化、去绝对值符号，再合并同类二次根式即可得．

【详解】

原式=1﹣4﹣+1﹣=﹣1．

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、分母有理化、负整数指数幂的意义、绝对值的意义是解答本题的关键.

19、（1）证明见解析；（2）；

【解析】
（1）连接OD，先根据切线的性质得到∠CDO=90°，再根据平行线的性质得到∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，又因为OB=OD，所以∠OBD=∠ODB，即∠AOC=∠COD，再根据全等三角形的判定与性质得到∠CAO=∠CDO=90°，根据切线的判定即可得证；

（2）因为AB=OC=4，OB=OD，Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形，从而得到

∠DOB=60°，即△BOD为等边三角形，再用扇形的面积减去△BOD的面积即可.

【详解】

（1）证明：连接OD，

∵CD与圆O相切，

∴OD⊥CD，

∴∠CDO=90°，

∵BD∥OC，

∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠AOC=∠COD，

在△AOC和△DOC中，

，

∴△AOC≌△EOC（SAS），

∴∠CAO=∠CDO=90°，则AC与圆O相切；

（2）∵AB=OC=4，OB=OD，

∴Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形，

∴∠DOC=∠COA=60°，

∴∠DOB=60°，

∴△BOD为等边三角形，

图中阴影部分的面积=扇形DOB的面积﹣△DOB的面积,

=．

【点睛】

本题主要考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，扇形的面积公式等，难度中等，属于综合题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.

20、（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）1.

【解析】

试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；

（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．

试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．

证明如下：

连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．

（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=1．

考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．

21、（1）的长为50m；（2）冬至日20层包括20层以下会受到挡光的影响，春分日6层包括6层以下会受到挡光的影响．

【解析】
如图，作于M，于则，设想办法构建方程即可解决问题．

求出AC，AD，分两种情形解决问题即可．

【详解】

解：如图，作于M，于则，设．

在中，，

在中，，

，

，

，

的长为50m．

由可知：，

，，

，，

冬至日20层包括20层以下会受到挡光的影响，春分日6层包括6层以下会受到挡光的影响．

【点睛】

考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

22、（1）；（1）0，1，1.

【解析】
（1）本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果

（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后再找出整数解即可

【详解】

解：（1）原式＝1﹣1× ，

＝7﹣．

（1） ，

解不等式①得：x≤1，

解不等式②得：x＞﹣1，

∴不等式组的解集是：﹣1＜x≤1．

故不等式组的整数解是：0，1，1．

【点睛】

此题考查零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值，一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键

23、（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．

【解析】
（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.

(2)列一元二次方程求解.

(3)总利润=单件利润销售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.

【详解】

(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.

把(22，36)与(24，32)代入，得

解得

∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）.

(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得

(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.

解得x1＝25，x2＝35(舍去)．

答：每本纪念册的销售单价是25元．

(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.

∵售价不低于20元且不高于28元，

当x＜30时，y随x的增大而增大，

∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．

答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．

24、（1）见解析（2）5

【解析】
解：（1）证明：如图，连接，则．

∵，

∴．

∵，

∴四边形是平行四边形．

∴．

（2）连接，则．

∵，，，

∴，．

∴．

∴．

设，则．

在中，有．

∴．即．