2023重庆市缙云教育联盟高三上学期9月质量检测试题数学含解析

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2022.09
高三数学答案及评分标准
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
1．B2．B3．C4．C5．A
6．C
【详解】因为与互为反函数，故图像关于对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于两点，且两条切线交点为，
如图，
设，则，即，解得或-3（舍去），
故，易求得曲线的斜率为2的切线方程为，
故曲线的斜率为2的切线方程为，
的斜率为2的切线方程为，故曲线的斜率为2的切线方程为，
所以，则，则.故A，B，D错误.
故选：C.
7．A
【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.
故选：A.
8．C
【详解】设，则（不恒为零），
故在上为增函数，故，所以，故在上恒成立，
所以，但为上为增函数，故即，
所以C成立，D错误.取，考虑的解，
若，则，矛盾，故即，此时，故B错误.
取，考虑，若，则，矛盾，
故，此时，此时，故A错误，
故选：C.
9．BCD10．ABD
11．ACD
【详解】
，A对
令，则，，则，B错；令，其中，
，即∴
由可得
，即，∴∴，C对；
令，，，，即，即
∵，∴或或，令，，，，
∴的根都在，∴，，
，D对
故选：ACD.
12．AD
【详解】解：在正方体中，，平面，平面，
所以，又，平面，所以平面，
又，所以点在平面上（包括边界），
又，平面，平面，所以平面，
同理可得平面，，平面，所以平面平面，
因为平面，平面，所以平面，
又平面平面，所以，即位于正方体的表面，故A正确；
对于B，设到平面的距离为，则
显然当和（不包括点）时不一样，则三棱锥的体积不一样，故B错误；
如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，
所以，，，所以，，即，，，平面，所以平面，
若平面，则，显然在平面上（包括边界）不存在点，使得，故C错误；因为设，，，所以，即，
又，所以，，，
设所以，的夹角为，则，
当时，，当时，因为，所以，
所以，所以，因为，所以，综上可得，故D正确；
13． 6314．4
15． （答案不唯一）
【详解】解：，
设，所以，令，解得，故答案为：
16． ，，
【详解】依题意，点，直线：，而点P在边上，则直线的斜率或OP在y轴上，设点，由点到直线的距离为4，得，即或，
又点A关于的对称点为，则，即，
当时，或，若，有，点与A的中点在直线上，此时直线斜率，符合题意，则，
若，有，点与A的中点在直线上，此时直线斜率，不符合题意， 当时，或，若，有，点与A的中点在直线上，此时直线斜率，符合题意，则，若，有，点与A的中点在直线上，此时直线斜率，符合题意，则，所以点的坐标可能为，，.故答案为：，，
17．
（1）解：
，……4分
所以的周期；…………………………………………………………………………5分
（2）解：将函数的图象向右平移个单位，可得，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，
所以，…………………………………………………………………………8分
因为，所以，
所以，所以，所以，
所以在上的值域为.………………………………………………………………10分
18．
(1)
平均数等于，………………………………………………1分
前3组频率和，加上第4组得，
所以75百分位数：；………………………………………………………………3分
(2)
由题可知“预期合格”的概率，从全市所有高二学生中随机抽取3名学生，设本学期这3名学生中达到“预期合格”的人数为，则服从二项分布，
的分布列为：
………………………………………………………………………………………………………………6分
.……………………………………………………………………………………9分
(3)由频率分布直方图可以看出，前3组数据比后3组数据更集中一些，所以，而这两组数据相比整体数据都要集中一些，所以.………………………………………………………………12分
19．
（1）
如图，建立平面直角坐标系，由题意得，，则抛物线．……………………4分
（2）
如图，设抛物线C的焦点为F，则，…………………………………………………………6分
∵城镇P位于点O的北偏东30°处，，∴，……………………………………8分
根据抛物线的定义知，公路总长．………………10分
当与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为．…………12分
20．
(1)设，．
（1）记l的倾斜角为，OP的倾斜角为，则．
由得，则……………………………………3分
所以，于是．故．……………………4分
所以，
当且仅当，即时，取到“=” ．
所以的最大值为．……………………………………………………………………6分
(2)易知，．由题意知，，
所以直线AN的方程为，……………………………………………………8分
直线BM的方程为．…………………………………………………………9分
令，
解之得…………………………………………10分
…………………………12分
所以点D恒在定直线上．
21．
（1）
连接，C为圆O的直径AB所对弧的中点，……………………………………………2分
所以△为等腰直角三角形，即，
又在圆上，故△为等腰直角三角形，
所以且，又是母线且，则，
故且，则为平行四边形，…………………………………………4分
所以，而面，面，
故平面.…………………………………………………………………………………6分
（2）由题设及（1）知：、、两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系，
过作，则为的中点，再过作，连接，
由圆，即圆，圆，则，又，则，
故二面角的平面角为，而，
所以.……………………………………………………………………8分
……………………………………………………9分
则，，，，
所以，，，……………………………………10分
若为面的一个法向量，则，令，则，
，故与平面所成角的正弦值.……………………12分
22．
（1）解：当时，，
，…………………………………………………………2分
当时，，，所以，即在上单调递增，………………4分
当时，，，所以，即在上单调递减，………………5分
则的单调递增区间为，单调递减区间为.…………………………………………6分
（2）解：因为，
则，………………………………………………7分
①当时，即时，因为，，，
所以，因此函数在区间上单调递增，
所以，不等式在区间上无解；……………………9分
②当时，即时，当时，，，
因此，所以函数在区间上单调递减，
，不等式在区间上有解．……………………11分
综上，实数的取值范围是．…………………………………………………………………12分
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512