通用版高考数学(文数)一轮复习第12单元《直线与圆》学案(含详解)

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第十二单元 直线与圆
教材复习课“直线与圆”相关基础知识一课过

直线的方程
[过双基]
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；
②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为；
③范围：直线l的倾斜角的取值范围是[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；
②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
2．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线

1．已知A(m，－2)，B(3,0)，若直线AB的斜率为2，则m的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．2
C．－1或2 D．－2
解析：选B　由直线AB的斜率k＝＝2，
解得m＝2.
2．若经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是(　　)
A．(5,8) B．(8，＋∞)
C. D.
解析：选D　由题意知>1，
即<0，∴5 3．过点C(2，－1)且与直线x＋y－3＝0垂直的直线是(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－3＝0 D．x－y－1＝0
解析：选C　设所求直线斜率为k，
∵直线x＋y－3＝0的斜率为－1，
且所求直线与直线x＋y－3＝0垂直，∴k＝1.
又∵直线过点C(2，－1)，
∴所求直线方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0.
4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
解析：选D　由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.
当y＝0时，x＝.
∴＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.
5．经过点(－4,1)，且倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的的直线方程为________．
解析：由题意可知，所求直线方程的倾斜角为45°，即斜率k＝1，故所求直线方程为y－1＝x＋4，即x－y＋5＝0.
答案：x－y＋5＝0
[清易错]
1．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．
2．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．
1．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．
解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，
解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
答案：x－5＝0或3x－4y＋25＝0
2．经过点A(1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
解析：当直线过原点时，方程为y＝x，即x－y＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，
把点(1,1)代入直线方程可得a＝2，
故直线方程为x＋y－2＝0.
综上可得所求的直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
答案：x－y＝0或x＋y－2＝0

圆的方程
[过双基]
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)
圆心：，
半径：
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪ B.
C．(－2,0) D.
解析：选D　由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，
解得－2 2．(天津模拟)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－，)
C．(－，) D.
解析：选C　因为(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则有(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－ 3．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D　圆的半径r＝＝，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
4．若圆C的圆心在x轴上，且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________________．
解析：设圆心坐标为C(a,0)，
∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝2，所以圆心为C(2,0)，
半径|CA|＝＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10

两条直线的位置关系
[过双基]
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．距离
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离
|P1P2|＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离
d＝
　
1．已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝(　　)
A．－7或－1 B．－7
C．7或1 D．－1
解析：选B　由题意可得a≠－5，所以＝≠，解得a＝－7(a＝－1舍去)．
2．圆x2＋y2－6x－2y＋3＝0的圆心到直线x＋ay－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－
C. D．2
解析：选B　圆x2＋y2－6x－2y＋3＝0可化为(x－3)2＋(y－1)2＝7，其圆心(3,1)到直线x＋ay－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.
3．已知直线l1：(m＋2)x－y＋5＝0与l2：(m＋3)x＋(18＋m)y＋2＝0垂直，则实数m的值为(　　)
A．2或4 B．1或4
C．1或2 D．－6或2
解析：选D　当m＝－18时，两条直线不垂直，舍去；
当m≠－18时，由l1⊥l2，
可得(m＋2)·＝－1，
化简得(m＋6)(m－2)＝0，解得m＝－6或2.
4．若两条平行直线4x＋3y－6＝0和4x＋3y＋a＝0之间的距离等于2，则实数a＝________.
解析：∵两条平行直线的方程为4x＋3y－6＝0和4x＋3y＋a＝0，
∴由平行线间的距离公式可得2＝，
即|－6－a|＝10，
解得a＝4或－16.
答案：4或－16
[清易错]
1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．
2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．
1．已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，直线l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　法一：(1)当直线l1的斜率不存在，即a＝2时，有l1：x－2＝0，l2：2y－1＝0，此时符合l1⊥l2.
(2)当直线l1的斜率存在，即a≠2时，直线l1的斜率k1＝－≠0，若l1⊥l2，则必有直线l2的斜率k2＝－，所以·＝－1，解得a＝－1.
综上所述，l1⊥l2⇔a＝－1或a＝2.
故“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
法二：l1⊥l2⇔1×(a－2)＋(a－2)×a＝0，
解得a＝－1或a＝2.
所以“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　因为＝≠，所以两直线平行．由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.


直线与圆的位置关系
[过双基]
直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)

相离
相切
相交
图形



量化
方程
观点
Δ0
Δ＝0
Δ0
几何
观点
d＞r
dr
d＜r
　
1．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．随a的变化而变化
解析：选B　因为直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆x2＋y2－2x－3＝0的内部，故直线与圆相交．
2．(大连模拟)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A. B．1
C. D.
解析：选D　因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ＝，所以弦长为.
3．已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，则圆心C的坐标为______；若直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k的值为________．
解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由＝1，解得k＝±，由切点在第四象限，可得k＝－.
答案：(3,0)　－

圆与圆的位置关系
[过双基]
圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d＝|O1O2|)

相离
外切
相交
内切
内含
图形





量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
　
1．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.
答案：±2或0
2．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
解析：由得x－y＋2＝0.
又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2.
答案：2

一、选择题
1．直线 x＋y－3＝0的倾斜角为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　∵直线x＋y－3＝0可化为y＝－x＋3，
∴直线的斜率为－，
设倾斜角为α，则tan α＝－，
又∵0≤α<π，
∴α＝.
2.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则必有(　　)
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
解析：选D　由图可知k1＜0，k2＞0，k3＞0，且k2＞k3，所以k1＜k3＜k2.
3．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选B　由得
即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
4．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(　　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选A　设过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点的直线方程为2x－y＋4＋λ(x－y＋5)＝0，
即(2＋λ)x－(1＋λ)y＋4＋5λ＝0，
∵该直线与直线x－2y＝0垂直，
∴k＝＝－2，解得λ＝－.
∴所求的直线方程为x－y＋4＋5×－＝0，
即2x＋y－8＝0.
5．已知直线l1：x＋2y＋t2＝0和直线l2：2x＋4y＋2t－3＝0，则当l1与l2间的距离最短时t的值为(　　)
A．1 B.
C. D．2
解析：选B　∵直线l2：2x＋4y＋2t－3＝0，
即x＋2y＋＝0.
∴l1∥l2，∴l1与l2间的距离d＝＝≥，当且仅当t＝时取等号．
∴当l1与l2间的距离最短时t的值为.
6．已知直线l1：(a＋3)x＋y－4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　∵直线l1：(a＋3)x＋y－4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，
∴a＋3＋a－1＝0，解得a＝－1，
∴直线l1：2x＋y－4＝0，
∴直线l1在x轴上的截距是2.
7．一条光线从A处射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0
解析：选B　由题意可得点A关于y轴的对称点A′在反射光线所在的直线上，
又点B(0,1)也在反射光线所在的直线上，
则两点式求得反射光线所在的直线方程为＝，即2x＋y－1＝0.
8．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)
A．(x－2)2＋2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D.2＋(y－1)2＝1
解析：选A　由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a>0)，又由圆与直线4x－3y＝0相切可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
二、填空题
9．已知直线l过点A(0,2)和B(－，3m2＋12m＋13)(m∈R)，则直线l的倾斜角的取值范围为________．
解析：设此直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，
则tan θ＝＝－(m＋2)2＋≤.
因为θ∈[0，π)，所以θ∈∪.
答案：∪
10．已知点A(－1，－2)，B(2,3)，若直线l：x＋y－c＝0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围为__________．

解析：如图，
把A(－1，－2)，B(2,3)分别代入直线l：x＋y－c＝0，得c的值分别为－3,5.
故若直线l：x＋y－c＝0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围为[－3,5]．
答案：[－3,5]
11．已知直线x＋y－3m＝0与2x－y＋2m－1＝0的交点在第四象限，则实数m的取值范围为________．
解析：联立
解得
∵两直线的交点在第四象限，
∴>0，且<0，
解得－1 ∴实数m的取值范围是.
答案：
12．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是______________．
解析：因为圆C与两坐标轴相切，且M是劣弧的中点，
所以直线CM是第二、四象限的角平分线，
所以斜率为－1，所以过M的切线的斜率为1.
因为圆心到原点的距离为，所以|OM|＝－1，
所以M，
所以切线方程为y－1＋＝x－＋1，
整理得x－y＋2－＝0.
答案：x－y＋2－＝0
三、解答题
13．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，
由两点式得BC的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，
则x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
由(2)知，点D的坐标为(0,2)．
由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
14．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|＝2，
设P(a,2a)，则＝2，
解得a＝2或a＝，
所以点P的坐标为(2,4)或.
(2)证明：设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，
即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.
由解得或
所以该圆必经过定点(0,4)和.
高考研究课(一)
直线方程命题4角度——求方程、判位置、定距离、用对称
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
直线方程
5年2考
多与圆、抛物线结合考查
两直线位置关系
未考查

点到直线的距离
5年3考
多与圆结合考查
对称问题
未考查



直线方程的求法
[典例]　(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程．
(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
[解]　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
[方法技巧]
求直线方程的2个注意点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．　　
[即时演练]
1．若直线l过点A(3,4)，且点B(－3,2)到直线l的距离最远，则直线l的方程为(　　)
A．3x－y－5＝0　　　　　 B．3x－y＋5＝0
C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0
解析：选D　当l⊥AB时满足条件．
∵kAB＝＝，则kl＝－3.
∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)，
即3x＋y－13＝0.
2．已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为____________．
解析：设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．
设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2·＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0


两直线的位置关系
[典例]　(1)若直线l1：(m＋3)x＋4y＋3m－5＝0与l2：2x＋(m＋5)y－8＝0平行，则m的值为(　　)
A．－7 B．－1或－7
C．－6 D．－6或－7
(2)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为(　　)
A. B．－
C．1 D．－
[解析]　(1)直线l1的斜率一定存在，因为l2：2x＋(m＋5)y－8＝0，
当m＝－5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．
当m≠－5时，由l1∥l2，得(m＋3)(m＋5)－2×4＝0，
解得m＝－1或－7.
当m＝－1时，两直线重合，故不满足条件；经检验，m＝－7满足条件，故选A.
(2)由已知得tan α＝2，则cos＝sin 2α＝＝＝.
[答案]　(1)A　(2)A
[方法技巧]
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
[提醒]　在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．
[即时演练]
1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选A　依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由点(1,0)在所求直线上，得1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0.
2．若直线l经过点P(1,2)，且垂直于直线2x＋y－1＝0，则直线l的方程是______________．
解析：设垂直于直线2x＋y－1＝0的直线l的方程为x－2y＋c＝0，
∵直线l经过点P(1,2)，
∴1－4＋c＝0，解得c＝3，
∴直线l的方程是x－2y＋3＝0.
答案：x－2y＋3＝0

距离问题
[典例]　(1)过直线x－y＋1＝0与 x＋y－＝0的交点，且与原点的距离等于1的直线有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
(2)直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．
[解析]　(1)解方程组得
由于2＋2＝1，则所求直线只有1条．
[答案]　B
(2)当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2，点A到直线l的距离为d1＝1，点B到直线l的距离为d2＝3，不符合题意，故直线l的斜率必存在．
∵直线l过点P(2，－5)，
∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)．
即kx－y－2k－5＝0.
∴点A(3，－2)到直线l的距离
d1＝＝，
点B(－1,6)到直线l的距离
d2＝＝.
∵d1∶d2＝1∶2，
∴＝，
∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17.
∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.
　[方法技巧]
求解距离问题的注意点
解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．　
[即时演练]
1．已知点A(a,2)到直线l：x－y＋3＝0距离为，则a等于(　　)
A．1 B．±1
C．－3 D．1或－3
解析：选D　∵点A(a,2)到直线l：x－y＋3＝0距离为，
∴＝，
∴a＋1＝±2.
解得a＝1或－3.
2．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为__________．
解析：当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，
∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
答案：x＝－1或x＋3y－5＝0


对称问题　　　　
　　对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型．
常见的命题角度有：
(1)点关于点对称；
(2)点关于线对称；
(3)线关于线对称；
(4)对称问题的应用．
角度一：点关于点对称
1．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为(　　)
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：选B　依题意a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(－2y，y)，由得A(4,8)，B(－4,2)，所以|AB|＝＝10.
[方法技巧]
点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
　　
角度二：点关于线的对称问题
2．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是
解得故m＋n＝
[方法技巧]
解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．　　
角度三：线关于线对称问题
3．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(2)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解：(1)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点为M′(a，b)，则
解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，则
由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(2)在直线l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上．易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
[方法技巧]
若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上．　　
角度四：对称问题的应用
4．已知有条光线从点A(－2,1)出发射向x轴上的B点，经过x轴反射后射向y轴上的C点，再经过y轴反射后到达点D(－2，7)．
(1)求直线BC的方程；
(2)求光线从A点到达D点所经过的路程．

解：作出草图，如图所示，
(1)∵A(－2,1),
∴点A关于x轴的对称点A′(－2，－1),
∵D(－2,7),
∴点D关于y轴的对称点D′(2,7).
由对称性可得，A′，D′所在直线方程即为BC所在直线方程，
由两点式得直线BC的方程为＝，
整理得2x－y＋3＝0.
(2)由图可得，光线从A点到达D点所经过的路程即为
|A′D′|＝＝4.
[方法技巧]
解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．　　

1．(2013·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
解析：选C　法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.
设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知＝，即＝，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选C项．
法二：由|AF|＝3|BF|可知＝3，易知F(1,0)，设B(x0，y0)，则从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)．因为点A，B都在抛物线上，
所以解得x0＝，y0＝±，
所以kl＝＝±.
2．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
解析：选B　由消去x，得y＝，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点，结合图形知××＝，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜.考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－，故选B.

一、选择题
1．如果AB＞0，BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过的象限是(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C　由AB＞0，BC＜0，可得直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－＜0，直线在y轴上的截距－＞0, 故直线不经过第三象限．
2．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
解析：选B　直线xsin α＋y＋2＝0的斜率为k＝－sin α，
∵－1≤sin α≤1, ∴－1≤k≤1,
∴直线倾斜角的取值范围是∪.
3．已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则|PM|的最小值为(　　)
A. B．1
C．2 D．3
解析：选B　|PM|的最小值即点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，又＝1，故|PM|的最小值为1.
4．(郑州质量预测)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　∵ax＋y＋1＝0与(a＋2)x－3y－2＝0垂直，
∴a(a＋2)－3＝0，解得a＝1或a＝－3.
∴“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件．
5．已知点A(1，－2)，B(m,2)，若线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析：选C　∵A(1，－2)和B(m,2)的中点在直线x＋2y－2＝0上，
∴＋2×0－2＝0，
∴m＝3.
6．已知直线l过点P(1,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，则当△AOB的面积取得最小值时，直线l的方程为(　　)
A．2x＋y－4＝0 B．x－2y＋3＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋1＝0
解析：选A　由题可知，直线l的斜率k存在，且k<0，则直线l的方程为y－2＝k(x－1)．
∴A，B(0,2－k)，
∴S△OAB＝(2－k)＝≥＝4，当且仅当k＝－2时取等号．
∴直线l的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.
7．(豫南九校质量考评)若直线x＋ay－2＝0与以A(3,1)，B(1,2)为端点的线段没有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C.
D．(－∞，－1)∪
解析：选D　直线x＋ay－2＝0过定点C(2,0)，直线CB的斜率kCB＝－2，直线CA的斜率kCA＝1，所以由题意可得a≠0且－2<－<1，解得a<－1或a>.
8．已知P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　)
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
解析：选D　因为P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，所以Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.
若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，
则Ax＋By＋C＋k＝0.
因为直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等，
但在y轴上的截距不相等，
故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行．
因为Ax0＋By0＋C＝k，且k≠0，
所以Ax0＋By0＋C＋k≠0，
所以直线Ax＋By＋C＋k＝0不过点P，故选D.
二、填空题
9．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
解析：由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.
答案：－或－
10．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________________．
解析：由平行关系设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0,
令x＝0，可得y＝－；令y＝0，可得x＝－，
∴－－＝6，解得c＝－，
∴所求直线方程为2x＋3y－＝0,
化为一般式可得10x＋15y－36＝0.
答案：10x＋15y－36＝0
11．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．
解析：直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，∴直线l1与l2的距离为＝.
答案：
12．在平面直角坐标系中，已知点P(－2,2)，对于任意不全为零的实数a，b，直线l：a(x－1)＋b(y＋2)＝0，若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围是____________．
解析：由题意，直线过定点Q(1，－2)，PQ⊥l时，d取得最大值＝5,
直线l过点P时，d取得最小值0,
所以d的取值范围[0,5]．
答案：[0,5]
三、解答题
13．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)．
(1)求方程表示一条直线的条件；
(2)当m为何值时，方程表示的直线与x轴垂直；
(3)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m的值．
解：(1)由解得m＝－1，
∵方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋5－2m＝0(m∈R)表示直线，
∴m2－2m－3,2m2＋m－1不同时为0，∴m≠－1.
故方程表示一条直线的条件为m≠－1.
(2)∵方程表示的直线与x轴垂直，
∴解得m＝.
(3)当5－2m＝0，即m＝时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0；
当m≠时，由＝，解得m＝－2.
故实数m的值为或－2.
14．已知直线m：2x－y－3＝0与直线n：x＋y－3＝0的交点为P.
(1)若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；
(2)若直线l1过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程．
解：(1)由得即交点P(2,1)．
由直线l与A，B的距离相等可知，l∥AB或l过AB的中点．
①由l∥AB，得kl＝kAB＝＝－，
所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0，
②由l过AB的中点得l的方程为x＝2，
故x＋2y－4＝0或x＝2为所求．
(2)法一：由题可知，直线l1的斜率k存在，且k＜0.
则直线l1的方程为y＝k(x－2)＋1＝kx－2k＋1.
令x＝0，得y＝1－2k＞0，
令y＝0，得x＝>0，
∴S△ABO＝×(1－2k)×＝4，解得k＝－，
故直线l1的方程为y＝－x＋2，即x＋2y－4＝0.
法二：由题可知，直线l1的横、纵截距a，b存在，且a＞0，b＞0，则l1：＋＝1.
又l1过点(2,1)，△ABO的面积为4，
∴解得
故直线l1的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.

1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)(点P与点A，B不重合)，则△PAB的面积最大值是(　　)
A．2 B．5
C. D.
解析：选C　由题意可知，动直线x＋my＝0过定点A(0,0)．
动直线mx－y－m＋3＝0⇒m(x－1)＋3－y＝0，
因此直线过定点B(1,3)．
当m＝0时，两条直线分别为x＝0，y＝3，交点P(0,3)，
S△PAB＝×1×3＝.
当m≠0时，两条直线的斜率分别为－，m，
则－·m＝－1，因此两条直线相互垂直．
当|PA|＝|PB|时，△PAB的面积取得最大值．
由|PA|＝|AB|＝＝，
解得|PA|＝.
∴S△PAB＝|PA|2＝.
综上可得，△PAB的面积最大值是.
2．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
解析：选C　设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得，即(4，－2)．
∴直线BC所在方程为y－1＝(x－3)，
即3x＋y－10＝0.
联立解得可得C(2,4)．
3．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
解析：设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．
∵kAC＝＝2，
∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①
又∵kBD＝＝－1，
∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②
由①②得∴即M(2,4)．
答案：(2,4)
高考研究课(二)
圆的方程命题3角度——求方程、算最值、定轨迹
[全国卷5年命题分析]

考点
考查频度
考查角度
圆的方程
5年4考
求圆的方程及先求圆的方程再考查应用
与圆有关的最值问题
5年1考
求范围
与圆有关的轨迹问题
未考查



圆的方程　　　　
圆的方程的求法，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
[典例]　求经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程．
[解]　法一：用“几何法”解题
由题意知kAB＝2，AB的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)，
∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．
则解得∴C(2,1)，
∴r＝|CA|＝＝.
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法二：用“代数法”解题
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法三：用“代数法”解题
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得
∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
[方法技巧]
求圆的方程的方法
(1)方程选择原则
若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程．
(2)求圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程的主要方法是代数法，大致步骤如下：
①根据题意，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
③解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．　　
[即时演练]
根据下列条件，求圆的方程．
(1)已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
解：(1)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为.
由题意可得解得
所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0.
法二：因为A(0，－6)，B(1，－5)，
所以线段AB的中点D的坐标为，
直线AB的斜率kAB＝＝1，
因此线段AB的垂直平分线的方程是
y＋＝－，即x＋y＋5＝0.
则圆心C的坐标是方程组的解，
解得所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径长r＝|AC|＝＝5，
所以圆的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)法一：如图，设圆心坐标为(x0，－4x0)，依题意得＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

与圆有关的最值问题　　　　
　　与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．
常见的命题角度有：
(1)斜率型最值问题；
(2)截距型最值问题；
(3)距离型最值问题；
(4)距离和(差)的最值问题；
(5)三角形的面积的最值问题．
角度一：斜率型最值问题
1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，
此时＝，
解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
角度二：截距型最值问题
2．在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．

解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
角度三：距离型最值问题
3．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(　　)
A．6　　　　　　　　　　 B．25
C．26 D．36
解析：选D　(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方，又点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d＝＝5，
则点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.
角度四：距离和(差)的最值问题
4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5－4　　　　　　　　B.－1
C．6－2 D.
解析：选A　圆心C1(2,3)，C2(3,4)，作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2与x轴交于点P，此时|PM|＋|PN|取得最小值，为|C1′C2|－1－3＝5－4.

角度五：三角形的面积的最值问题
5．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)
A．2，(4－) B.(4＋)，(4－)
C.，4－ D.(＋2)，(－2)
解析：选B　直线AB的方程为＋＝1，
即2x－y＋2＝0，
圆心(1,0)到直线AB的距离d＝＝，则点P到直线AB的距离最大值为＋1，最小值为－1，
又|AB|＝，则(S△PAB)max＝××＝(4＋)，(S△PAB)min＝××＝(4－)，故选B.
[方法技巧]
求解与圆有关的最值问题的2大规律
(1)借助几何性质求最值
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用基本不等式法、参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．　　


与圆有关的轨迹问题
[典例]　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[方法技巧]
求与圆有关的轨迹问题的4种常用方法
直接法
直接根据题目提供的条件列出方程
定义法
根据圆、直线等定义列方程
几何法
利用圆的几何性质列方程
代入法
找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等
[即时演练]
1．(唐山调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4.化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
2．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程为(　　)
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：选D　设P(x，y)，则由题意知，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)、半径为1，∵PA是圆的切线，且|PA|＝1，∴|PC|＝，即(x－1)2＋y2＝2，∴点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.
3．已知圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.
(1)求证：a取不为1的实数时，圆过定点；
(2)求圆心的轨迹方程．
解：(1)证明：将方程x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，整理得x2＋y2－4y＋2－a(2x－2y)＝0(a≠1，且a∈R)．
令解得
所以a取不为1的实数时，圆过定点(1,1)．
(2)由题意知圆心坐标为(a,2－a)，且a≠1，又设圆心坐标为(x，y)，则有消去参数a，得x＋y－2＝0(x≠1)，即为所求圆心的轨迹方程．

1．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)
A．2　　　B．8　　　　C．4　　　　D．10
解析：选C　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，
∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4.
2．(全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝，因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，
解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
答案：4π
3．(2013·全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)．由已知得＝.
又P点在双曲线y2－x2＝1上，
从而得
由得
此时，圆P的半径r＝.
由得
此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.

一、选择题
1．原点位于圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(a>1)的(　　)
A．圆内　　　　　　　　 B．圆上
C．圆外 D．均有可能
解析：选C　把原点坐标代入圆的方程得(a－1)2>0(a>1)，所以点在圆外，故选C.
2．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：选D　由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝.又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y＝－x 和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
3．(广州测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解析：选A　∵圆心(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
4．一束光线从点(－1,1)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径长度是(　　)
A．4 B．5
C．3 D．2
解析：选A　由题意可得圆心C(2,3)，半径为r＝1,
点A关于x轴的对称点为
A′(－1，－1),
求得|A′C|＝5,
故要求的最短路径的长为
|A′C|－r＝5－1＝4.
5．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是(　　)
A. B．1
C. D.
解析：选C　因为圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线3x＋4y－2＝0的距离d＝＝，所以点N到点M的距离|MN|的最小值为－1＝.
6．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是(　　)
A．(4,6) B．[4,6]
C．[4,6) D．(4,6]
解析：选A　易求圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离为5.令 r＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r取值范围在(4,6)之间符合题意．
7．已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为(　　)
A．x2＋2＝
B．x2＋2＝
C.2＋y2＝
D.2＋y2＝
解析：选C　设圆的方程为(x±a)2＋y2＝r2(a>0)，圆C与y轴交于点A(0,1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝∠ACB＝×120°＝60°，则tan 60°＝＝＝，所以a＝|OC|＝，即圆心坐标为，r2＝|AC|2＝12＋2＝.所以圆的方程为2＋y2＝.
8．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圆C 上存在点P，使得 ∠APB＝90°，则 m的最大值为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选B　根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝ ＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m 的最大值为6.

二、填空题
9．在平面直角坐标系内，若圆C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为____________．
解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
10．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.
解析：由题意知，圆的半径r＝ ＝ ≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝.
答案：
11．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心在直线ax－by＋1＝0上，则ab的取值范围是__________．
解析：把圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax－by＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，则ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－22＋≤，当b＝时，ab有最大值，故ab的取值范围为.
答案：
12．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上的动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为________．
解析：过O作OP垂直于直线x－2y＋5＝0，过P作圆O的切线PA，连接OA，易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝＝.
又|OA|＝1，所以|PA|＝＝2.
答案：2
三、解答题
13．(湖南六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C(a,0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍去)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4,0)时，能使x轴平分∠ANB.
14．在△OAB中，已知O(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，△OAB的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P是圆上一点．
(1)求点P到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离的最大值和最小值；
(2)若S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求S的最大值和最小值．
解：(1)由题意得圆心(2,2)到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离d＝＝＝5＞2，故点P到直线l的距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3.
(2)设点P的坐标为(x，y)，
则S＝x2＋y2＋(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2
＝3(x2＋y2－4x－4y)－4x＋100＝－4x＋88，
而(x－2)2≤4，所以－2≤x－2≤2，
即0≤x≤4，所以－16≤－4x≤0，所以72≤S≤88，
即当x＝0时，Smax＝88，当x＝4时，Smin＝72.

1．已知圆O：x2＋y2＝1，圆B：(x－3)2＋(y－4)2＝4，P是平面内一动点，过点P作圆O，圆B的切线，切点分别为D，E，若|PE|＝|PD|，则点P到坐标原点O的距离的最小值为__________．
解析：设P(x，y)，因为|PE|＝|PD|，|PD|2＋|OD|2＝|PO|2，|PE|2＋|BE|2＝|PB|2，
所以x2＋y2－1＝(x－3)2＋(y－4)2－4，
整理得：3x＋4y－11＝0,
点P到坐标原点O的距离的最小值就是点O到3x＋4y－11＝0的距离，
所以点P到坐标原点O的距离的最小值为＝.
答案：
2．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．
解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，
则解得则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.
令x＝cos θ，y＝sin θ，
所以·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
又min＝－1，
所以·的最小值为－4.
高考研究课(三)
直线、圆的位置关系命题3角度——判位置、求切线、解弦长
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
直线与圆的位置关系判断
未独立考查

切线问题
5年1考
求圆心到切线距离
弦长问题
5年3考
求弦长


直线与圆的位置关系判断　　　　　
直线与圆的位置关系判断的方法要灵活选择，可用几何法、代数法，也可利用点与圆的位置关系得出判断.
[典例]　(西安一模)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　 B．相交
C．相离 D．不确定
[解析]　法一：用“几何法”解题
x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝＝.再根据r2－d2＝9－＝，而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r2＞d2，即d＜r，故直线与圆相交．
法二：用“点与圆的位置关系”解题
由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由解得x＝－1，y＝－1，即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．
[答案]　B
[方法技巧]
判断直线与圆的位置关系的2大策略
(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．
(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．　　
[即时演练]
1．过点A(，1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[0， ]
C．[0,1] D．[－， ]
解析：选B　设直线l的方程为y－1＝k(x－)，则圆心到直线l的距离d＝，因为直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，所以d≤1，即≤1，解得0≤k≤.
2．直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
解析：选D　将圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为＝＜2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心，故选D.

切线、弦长问题
[典例]　(1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
(2)过原点且与直线x－y＋1＝0平行的直线l被圆x2＋(y－)2＝7所截得的弦长为________．
[解析]　(1)圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为点(－1,2)，半径为.因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离d＝＝＝＝.所以当a＝2时，d取最小值＝3，此时切线长最小，为＝＝4.
(2)由题意可得l的方程为x－y＝0，
∵圆心(0，)到l的距离d＝＝1，
∴所求弦长l＝2＝2＝2.
[答案]　(1)C　(2)2
[方法技巧]
处理切线、弦长问题的策略
(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．　　
[即时演练]
1．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D．0

解析：选B　如图，圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0的圆心为C(1,1)，半径为1，两切点分别为A，B，连接AC，PC，则|CP|＝，|AC|＝1，sin θ＝，所以cos∠APB＝cos 2θ＝1－2sin2θ＝.
2．已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．3 B．6
C．4 D．2
解析：选D　由题意可知圆是以(2，－1)为圆心，为半径的圆，点E在圆内，显然当弦AC为直径时最长且为2，BD与AC垂直时其长最短为2，所以四边形ABCD的面积为S＝×2×2＝2.
3．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．求：
(1)过点A的圆的切线方程；
(2)O是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.
解：(1)圆C化为标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1，
所以圆心C(2,3)，半径r＝1.
当切线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，此时圆心与直线的距离为1，等于圆的半径，故x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0.
由＝1，得k＝，
故所求方程为3x－4y＋11＝0，
因此所求的切线方程为x＝3和3x－4y＋11＝0.
(2)直线OA的方程为5x－3y＝0，圆心C到直线OA的距离为＝，
而OA＝＝，
故S△AOC＝××＝.

圆与圆的位置关系
[典例]　(1)若两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m，c均为实数，则m＋c＝__________.
(2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.
[解析]　(1)根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，－1)的中点在直线x－y＋c＝0上，并且过两点的直线与x－y＋c＝0垂直，故有∴m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3.
(2)两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝，又a＞0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝＝1，解得a＝1.
[答案]　(1)3　(2)1
[方法技巧]
求解两圆位置关系问题的2种方法
(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．　　
[即时演练]
1．若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条

解析：选C　如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．
2．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0 B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0 D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
解析：选A　设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
即x2＋y2＋x＋y－＝0，
其圆心坐标为.
又圆心在直线x－y－4＝0上，
所以－＋－4＝0，
解得λ＝－7，
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.

1．(全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－
C. D．2
解析：选A　因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.
2．(全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
解析：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.
由|AB|＝2，得2＋()2＝12，
解得m＝－.又直线l 的斜率为－m＝，
所以直线l的倾斜角α＝.

画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.
答案：4
3．(全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，
可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2 ＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
4．(全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.
由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，
圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)知y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.
5．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，
所以<1，解得 所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，
x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，
所以|MN|＝2.

一、选择题
1．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切　　　　　　　　 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B　由题知圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，半径之和为3，故两圆相交．
2．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A　因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，
所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为，
因为直线l与圆C相切．
所以＝，解得k＝±1，
因为k＜0，所以k＝－1，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0.
圆心D(2,0)到直线l的距离
d＝＝＜，
所以直线l与圆D相交．
3．过点(－2,0)且倾斜角为的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M，N两点，则线段MN的长为(　　)
A．2 B．3
C．2 D．6
解析：选C　由题意知，直线l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0,0)到直线l的距离d＝，则弦长|MN|＝2＝2.
4．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)
A．4 B．3
C．2 D.
解析：选C　圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，则此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k＞0，所以k＝2.
5．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．9
解析：选D　圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以 ＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立，所以＋的最小值为9.
6．过点(－2,3)的直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时直线l的方程为(　　)
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．2x＋y＋1＝0
解析：选A　由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.
7．已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，则当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　　)
A．150° B．135°
C．120° D．105°
解析：选A　由y＝，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的上半圆，如图所示．
S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB，当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值．
此时，|OC|＝1，则∠OPC＝30°，故直线l的倾斜角为150°.
8．(揭阳一模)已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且|＋|≥||，则k的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．[，2)
C．[，＋∞) D．[，2)
解析：选B　由已知得圆心到直线的距离小于半径，即＜2，又k＞0，故0＜k＜2.①

如图，作平行四边形OACB，连接OC交AB于M，由|＋|≥| |得| |≥||，
即∠MBO≥，因为|OB|＝2，
所以|OM|≥1，故≥1，k≥ .②
综合①②得，≤k＜2.
二、填空题
9．已知圆C：x2＋y2＝4，过点A(2,3)作圆C的切线，切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为______________．
解析：由题意知，圆心C(0,0)，以CA为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－3)＝0，即x2＋y2－2x－3y＝0，与圆C：x2＋y2＝4相减得2x＋3y－4＝0，所以直线PQ的方程为2x＋3y－4＝0.
答案：2x＋3y－4＝0
10．(昆明两区七校调研)已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2＝，则直线l的斜率k＝________.
解析：依题意得，点A是线段PB的中点，则|PA|＝|AB|＝2，所以|PC|＝3.过圆心C(3,5)作y轴的垂线，垂足为C1，则|CC1|＝3，|PC1|＝＝6.记直线l的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝＝2，即k＝±2.
答案：2或－2
11．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是____________．
解析：由题意知，当∠ACB最小时，圆心C(3,4)到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为＝1，所以直线l的斜率为－1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
12．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
解析：设P(x，y)，则·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20.
又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，

所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)．
又点P在圆x2＋y2＝50上，
由
解得x＝－5或x＝1，
结合图象，可得－5≤x≤1，
故点P的横坐标的取值范围是[－5，1]．
答案：[－5，1]
三、解答题
13.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．
解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，
可设圆心的坐标为(m,2)(m＞0)，
则圆C的半径为m，
又|MN|＝3，
所以m2＝22＋2＝，
解得m＝，
所以圆C的方程为2＋2＝.
(2)证明：由(1)知M(1,0)，N(4,0)，
当直线AB的斜率为0时，
易知kAN＝kBN＝0，
即kAN＋kBN＝0.
当直线AB的斜率不为0时，
设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，
整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
则kAN＋kBN＝＋
＝＋
＝
＝＝0.
综上可知，kAN＋kBN为定值．
14.(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，
从而7－y0＝5＋y0，
解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.

(2)因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，
所以①
因为点Q在圆M上，
所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②
将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，
从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，
所以5－5≤ ≤5＋5，
解得2－2≤t≤2＋2.
因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2 ]．

1．已知点P在圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，点Q在直线y＝kx上，若|PQ|的最小值为2－1，则k＝(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．2
解析：选B　把圆的方程化为标准方程为
(x－2)2＋(y－2)2＝1,
∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝1.
∵圆心到直线y＝kx的距离d＝，
|PQ|的最小值为2－1，
∴d－r＝－1＝2－1，即＝2，
整理得k2＋2k＋1＝0，即(k＋1)2＝0, 则k＝－1.
2．已知直线l：x－my＋1－m＝0(m∈R)，圆C：x2＋y2＋4x－2y－4＝0.
(1)证明：对任意m∈R，直线l与圆C恒有两个公共点；
(2)过圆心C作CM⊥l于点M，当m变化时，求点M的轨迹Γ的方程；
(3)直线l：x－my＋1－m＝0与点M的轨迹Γ交于点M，N，与圆C交于点A，B，是否存在m的值，使得＝？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：法一：圆心C的坐标为(－2,1)，半径为3，
圆心C到直线l距离d＝＝，
∴d2－9＝－9＝＝＜0，
∴d2＜9，即d＜3，
∴直线l与圆C恒有两个公共点．
法二：将圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0化成标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝9.
由x－my＋1－m＝0，可得x＋1－m(y＋1)＝0.
由解x＝－1，y＝－1，
所以直线l过定点(－1，－1)．
因为定点(－1，－1)在圆C内，
所以直线l与圆C恒有两个公共点．
(2)设定点P(－1，－1)，CP的中点为D，
由于∠CMP＝90°，
∴|DM|＝|CP|，
∴点M的轨迹Γ是以D为圆心，|CP|为直径的圆．
又CP的中点D的坐标为，|CP|＝.
∴点M的轨迹Γ的方程为2＋y2＝，
(3)假设存在m的值，使得＝.
如图所示，点N即为定点P(－1，－1)，因为＝，故＝，即＝，

又|MB|2＝9－d2，|MN|2＝5－d2，
其中d＝＝为C到直线l的距离．
所以9－d2＝4(5－d2)，化简得m2＋12m－8＝0.
解得m＝－6±2.
所以存在m，使得＝，且m＝－6±2.