通用版高考数学(理数)一轮复习第2讲《命题及其关系》学案(含详解)

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题

(1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断　　　　的陈述句叫作命题.其中　　　　　的语句叫作真命题,　　　　　的语句叫作假命题. 

(2)四种命题及其相互关系

图1-2-1

特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.

2.充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p⇒q,则p是q的　　　　条件. 

(2)如果q⇒p,则p是q的　　　　条件. 

(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的　　　　条件. 

常用结论

1.充要条件的两个结论:

(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;

(2)若p是q的充分不必要条件,则?q是?p的充分不必要条件.

2.充分、必要条件与集合的关系

题组一　常识题

1.[教材改编] 对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四边形的内角和是360°.其中是命题的是　　　　.(填序号) 

2.[教材改编] 有下面4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a属于N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解集可表示为{1,1}.其中真命题的个数为　　　　. 

3.[教材改编] 命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是　　　　　　　　　　　　　　　　. 

4.[教材改编] “点P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的　　　　　　　条件. 

题组二　常错题

◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.

5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是　　　　　　　　　　　　　　　　. 

6.已知命题“对任意a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是　　　　　　　　　　　　　　　　. 

7.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　. 

8.条件p:x>a,条件q:x≥2.

①若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是　　　　; 

②若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是　　　　. 

9.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的　　　　　　条件. 

探究点一　四种命题及其相互关系

例1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是 (　　)

A.逆命题为“周期函数不是单调函数”

B.否命题为“单调函数是周期函数”

C.逆否命题为“周期函数是单调函数”

D.以上都不正确

(2)给出以下四个命题:

①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;

②“全等三角形的面积相等”的否命题;

③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;

④若ab是正整数,则a,b都是正整数.

其中为真命题的是　　　　.(写出所有真命题的序号) 

[总结反思] (1)求一个命题的其他三种命题时,需注意:

①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”的形式;

②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.

(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.

(3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命题的真假.

变式题 (1)已知命题p:正数a的平方不等于0,命题q:若a不是正数,则它的平方等于0,则q是p的(　　)

A.逆命题 B.否命题

C.逆否命题 D.否定

(2)以下关于命题的说法正确的是　　　　.(填写所有正确说法的序号) 

①“若log2(a+1)>1,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题;

②命题“若a≠0,则a(b+1)≠0”的否命题是“若a=0,则a(b+1)=0”;

③命题“若x,y都是偶数,则(x+1)(y+1)是偶数”的逆命题为真命题;

④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.

探究点二　充分、必要条件的判定

例2 (1)[2018·北京卷] 设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 (　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[总结反思] 充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题.

变式题 (1)[2018·深圳一模] 已知数列{an}是等比数列,则“a2>a1”是“数列{an}为递增数列”的              (　　)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

(2)“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的 (　　)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

探究点三　充分、必要条件的应用

例3 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是 (　　)

A.0<a≤1 B.a<1

C.a≤1 D.0<a≤1或a<0

[总结反思] 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间端点值.

变式题 (1)下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是 (　　)

A.a-1>b B.a+1>b

C.|a|>|b| D.a3>b3

(2)[2018·衡阳4月调研] 已知p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),q:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为　　　　. 

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

考试说明 1.理解命题的概念;

2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.真假　判断为真　判断为假

2.(1)充分　(2)必要　(3)充要

对点演练

1.④　[解析] ①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题.

2.0　[解析] ①为假命题,集合N中最小的数是0;②为假命题,如a=不满足;③为假命题,如a=0,b=1,则a+b=1,比2小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性.

3.若整数a不是奇数,则a能被2整除　[解析] 以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结论得出逆否命题.

4.既不充分也不必要　[解析] 取x=,y=,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故为既不充分也不必要条件.

5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0　[解析] “若p,则q”的逆否命题为“若?q,则?p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.

6.对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0　[解析] “对任意a,b∈R”是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0的否定分别为ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0”.

7.[-3,0]　[解析] 由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.

当a=0时,-3≤0恒成立;

当a≠0时,得解得-3≤a<0.

故-3≤a≤0.

8.①a≥2　②a<2　[解析] ①因为p是q的充分不必要条件,所以{x|x>a}⫋{x|x≥2},则a的取值范围是a≥2.

②因为p是q的必要不充分条件,所以{x|x≥2}⫋{x|x>a},则a的取值范围是a<2.

9.充分不必要　[解析] 依题意有p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/ p,∴q⇒/ p.故p是q的充分不必要条件.

【课堂考点探究】

例1　[思路点拨] (1)根据四种命题的构成判断即可.(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题,再判断真假;对于③,可直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假;对于④,直接判断.

(1)D　(2)①③　[解析] (1)根据四种命题的构成可知,选项A,B,C均不正确.故选D.

(2)①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然为真命题;②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,而不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-2,故④为假命题.所以答案是①③.

变式题　(1)B　(2)①②④　[解析] (1)“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数,则它的平方不等于0”,其否命题为“若a不是正数,则它的平方等于0”,所以选B.

(2)①正确,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=logax在其定义域内是增函数.②正确,由命题的否命题的定义知,该说法正确.③不正确,原命题的逆命题为“若(x+1)(y+1)是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如(3+1)×(4+1)=20为偶数,但x=3,y=4.④正确,两者互为逆否命题,因此两命题等价.

例2　[思路点拨] (1)将已知等式两边同时平方,可得出向量a,b的关系,从而得出结论;(2)通过研究单调性,求出函数存在零点的充要条件为a≤-1,从而得出结论.

(1)C　(2)B　[解析] (1)将|a-3b|=|3a+b|两边平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b均为单位向量,∴a·b=0,即a⊥b.反之,由a⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故为充分必要条件.

(2)因为f'(x)=>0,所以若函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点,则f(e)≤0,即a≤-1,因此“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的必要不充分条件,故选B.

变式题　(1)B　(2)A　[解析] (1)当a1=-1,a2=2,公比q=-2时,虽然有a1<a2,但是数列{an}不是递增数列,所以充分性不成立;反之,当数列{an}是递增数列时,必有a1<a2,因此必要性成立.故选B.

(2)由sin 2α-cos 2α=1得sin=,所以2α-=2kπ+,k∈Z或2α-=2kπ+,k∈Z,即α=kπ+,k∈Z或α=kπ+,k∈Z,所以“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的充分而不必要条件,故选A.

例3　[思路点拨] 直接法,分情况讨论;特例法,结合选项取特殊值验证.

C　[解析] 方法一(直接法):当a=0时,x=-,符合题意.

当a≠0时,若方程的两根为一正一负,则⇒⇒a<0;

若方程的两根均为负,则⇒⇒0<a≤1.综上所述,所求充要条件是a≤1.

方法二(排除法):当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B.所以选C.

变式题　(1)B　(2)　[解析] (1)“a>b”不能推出“a-1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;

“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;

“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;

“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B.

(2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.

由方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,

可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即q:1<m<.

因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,

所以实数a的取值范围是.

【备选理由】 例1考查对命题真假的判断,是一个开放式命题,答案不唯一,有利于学生发散思维;例2强化了充分、必要条件的判断方法和余弦定理、基本不等式的应用;例3主要考查了充要条件的判断;例4是以简单不等式的方式考查充分、必要条件的应用.

例1　[配合例1使用] [2018·北京通州区三模] 能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a2>ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为　　　　. 

[答案] 1,0,-1(此题答案不唯一)

[解析] 当a=1,b=0,c=-1时,满足a>b>c,不满足a2>ab>c2,∴命题是假命题.

故答案可以为1,0,-1.

例2　[配合例2使用] [2018·武汉4月调研] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知条件p:a≤,条件q:A≤,那么p是q成立的              (　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[解析] A　由条件p:a≤,知cos A=≥=≥=,当且仅当b=c=a时取等号,

又A∈(0,π),∴0<A≤,

∴A≤,即q成立.

取A=,C=,B=,满足条件q,但是a>.

∴p是q成立的充分而不必要条件.

故选A.

例3　[配合例2使用] [2018·莆田六中三模] 在等比数列{an}中,a2=-2,则“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的              (　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[解析] C　因为a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4a12=1,

因此=1,又因为a2=-2<0,所以a8<0,即a8=-1.

从而“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的充要条件,故选C.

例4　[配合例3使用] [2018·南昌模拟] 在实数范围内,使得不等式>1成立的一个充分而不必要条件是              (　　)

A.x>0 B.x<1

C.0<x<1 D.0<x<

[解析] D　∵>1,∴<0,∴0<x<1.∵⫋(0,1),∴0<x<为不等式>1成立的一个充分而不必要条件,故选D.