人教A版高考数学一轮总复习第3章第1节导数的概念与运算课时学案

第一节　导数的概念与运算

一、教材概念·结论·性质重现

1．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数

(1)定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|，即f ′(x0)＝ ＝ .

(2)几何意义：函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义，是在曲线y＝f (x)上点(x0，f (x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．

2．函数y＝f (x)的导函数

当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝ .

3．导数公式

4.导数的运算法则

若f ′(x)，g′(x)存在，则有：

(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)．

(2)[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)．

(3)＝(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)f ′(x0)与[f (x0)]′表示的意义相同． (×)

(2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)再求f ′(x0)． (×)

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． (√)

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (×)

(5)函数f (x)＝sin(－x)的导数是f ′(x)＝cos x． (×)

2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)

A．－9　　　B．－3　　　C．9　　　D．15

C　解析：因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.

3．已知函数f (x)＝x(2 020＋ln x)，若f ′(x0)＝2 021，则x0等于(　　)

A．e2  B．1  C．ln 2  D．e

B　解析：f ′(x)＝2 020＋ln x＋x×＝2 021＋ln x.

由f ′(x0)＝2 021，得2 021＋ln x0＝2 021，则ln x0＝0，解得x0＝1.

4．已知函数f (x)＝exln x，f ′(x)为f (x)的导函数，则f ′(1)的值为________．

e　解析：由题意得f ′(x)＝exln x＋ex·，则f ′(1)＝e.

5．若曲线y＝e－x在点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

(－ln 2,2)　解析：设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x.

所以曲线在点P处的切线斜率k＝－e＝－2.所以－x0＝ln 2.所以x0＝－ln 2.

所以y0＝eln 2＝2.所以点P的坐标为(－ln 2，2)．

考点1　导数的计算——基础性

1．(多选题)下列求导运算正确的是(　　)

A．(3x)′＝3xln 3

B．(x2ln x)′＝2xln x＋x

C．＝

D．(sin x·cos x)′＝cos 2x

ABD　解析：因为＝，所以C项错误．其余都正确．

2．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x)＝.若f ′(1)＝，则a＝________.

1　解析：f ′(x)＝，则f ′(1)＝＝，解得a＝1.

3．设函数f (x)的导数为f ′(x)，且f (x)＝f ′·sin x＋cos x，则f ′＝________.

－　解析：因为f (x)＝f ′sin x＋cos x，所以f ′(x)＝f ′cos x－sin x.

所以f ′＝f ′cos －sin ，即f ′＝－1.

所以f (x)＝－sin x＋cos x，

f ′(x)＝－cos x－sin x.

故f ′＝－cos －sin ＝－.

4．求下列函数的导数：

(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；(3)y＝.

解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.

(2)y′＝＝(ln x)′＋＝－.

(3)y′＝＝＝－.

考点2　导数的几何意义——综合性

考向1　求切线方程

(1)(2020·全国卷Ⅰ)函数f (x)＝x4－2x3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x－1　 B．y＝－2x＋1

C．y＝2x－3   D．y＝2x＋1

B　解析：因为f (x)＝x4－2x3，所以f ′(x)＝4x3－6x2，f (1)＝－1.所以f ′(1)＝－2.

因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，

即y＝－2x＋1.

(2)已知函数f (x)＝xln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f (x)相切，则直线l的方程为________．

x－y－1＝0　解析：点(0，－1)不在曲线f (x)＝xln x上，设切点坐标为(x0，y0)．

因为f ′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.

由

解得

所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.

考向2　求切点坐标

设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．

(1,1)　解析：因为函数y＝ex的导函数为y′＝ex，

所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.

设P(x0，y0)(x0>0)，

因为函数y＝的导函数为y′＝－，

所以曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率k2＝－.

由题意知k1k2＝－1，即1×＝－1，

解得x＝1.又x0>0，所以x0＝1.

因为点P在曲线y＝(x>0)上，

所以y0＝1.故点P的坐标为(1,1)．

考向3　求参数的值或取值范围

(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)

A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1

C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1

D　解析：因为y′＝aex＋ln x＋1，

所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2.

所以a＝e－1.所以切点坐标为(1,1)．

将(1,1)代入y＝2x＋b，得2＋b＝1，b＝－1.

故选D．

考向4　导数与函数图象的关系

已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)

B　解析：由y＝f ′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f (x)图象的切线的斜率先增大后减小．故选B．

1．设函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f (x)为奇函数，则曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x   B．y＝－x

C．y＝2x   D．y＝x

D　解析：因为函数f (x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax为奇函数，所以a－1＝0，则a＝1.所以f (x)＝x3＋x.所以f ′(x)＝3x2＋1.所以f ′(0)＝1.所以曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.

2．若函数f (x)＝ln x＋2x2－ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－6]

B．(－∞，－6]∪[2，＋∞)

C．[2，＋∞)

D．(－∞，－6)∪(2，＋∞)

C　解析：由题意知，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝＋4x－a＝2有解，即＋4x－2＝a.所以a＝＋4x－2≥2－2＝2.当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立．故选C．

3．设f (x)＝eax(a>0)，如图，过点A(a，0)且平行于y轴的直线与函数f (x)＝eax的图象的交点为P，过P作f (x)的切线交x轴于点B，则当△ABP的面积最小时，函数f (x)的解析式是(D)

A．f (x)＝e 

B．f (x)＝ex

C．f (x)＝e 

D．f (x)＝e