人教B版高考数学一轮总复习第7章第4节空间中的垂直关系学案

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第4节　空间中的垂直关系一、教材概念·结论·性质重现1．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．(2)判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⇒a∥b(1)线面垂直的判定定理的推论：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的常用性质：①若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内的任意直线；②垂直于同一条直线的两个平面平行．2．平面与平面垂直(1)定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.(2)判定定理与性质定理  文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．3．线面角与二面角(1)直线与平面所成的角(线面角)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°.若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°.直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.(2)二面角①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角．(1)线面角的取值范围是[0°，90°]，二面角的取值范围是[0°，180°]．(2)当线面角为90°时，线面垂直；当二面角为90°时，面面垂直．4．常用结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × )(2)若直线a⊥平面α，直线b∥平面α，则直线a与b垂直．( √ )(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.( √ )2．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列说法正确的是(　　)A．若l⊥β，则α⊥β　　　　 B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥mA　解析：因为l⊥β，l⊂α，所以α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．3．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．4　解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形．故图中共有4个直角三角形．4．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的______心．(1)外　(2)垂　解析：(1)如图，因为PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC.在Rt△POA中，OA2＝PA2－PO2，同理OB2＝PB2－PO2，OC2＝PC2－PO2.又PA＝PB＝PC，故OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心．(2)由PA⊥PB，PA⊥PC可知PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC.又PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，所以AO⊥BC，同理BO⊥AC，CO⊥AB.故O是△ABC的垂心．5．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．7　解析：如图，由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．考点1　垂直关系的基本问题——基础性1．已知平面α和直线a，b，若a∥α，则“b⊥a”是“b⊥α”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B　解析：根据空间中直线与平面之间的位置关系，由a∥α，b⊥α，可得b⊥a.反之不成立，可能b与α相交或平行．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件．2．(多选题)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法正确的是(　　)A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βD．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥βABD　解析：对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正确；对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，所以存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β，故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，所以b⊂β或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确．3．如图，在三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a.其中正确的是________．(填序号)①②③④　解析：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；再根据SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；取AB的中点E，连接CE(图略)，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离，为a，故④正确．与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无须作图通过空间想象来判断．(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．考点2　空间角及其应用——综合性(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中．若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为________．30°　解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.因为C1D＝C1B，O为BD的中点，所以C1O⊥BD.因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1－BD－C的平面角．在Rt△C1CO中，C1C＝，CO＝AC＝，则C1O＝2，所以sin∠C1OC＝＝.由图可知，二面角C1­BD­C为锐二面角，所以∠C1OC＝30°.(2)(2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于点E，交AC于点F.①证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；②设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．①证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥BB1.又AA1∥BB1，所以MN∥AA1.在△ABC中，M为BC中点，则BC⊥AM.又因为侧面BB1C1C为矩形，所以BC⊥BB1.因为MN∥BB1，所以MN⊥BC.又MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面A1AMN，所以BC⊥平面A1AMN.又因为B1C1∥BC，且B1C1⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以B1C1∥平面ABC.又因为B1C1⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F∩平面ABC＝EF.所以B1C1∥EF，所以EF∥BC.又因为BC⊥平面A1AMN，所以EF⊥平面A1AMN.因为EF⊂平面EB1C1F，所以平面EB1C1F⊥平面A1AMN.②解：连接NP，因为AO∥平面EB1C1F，平面AONP∩平面EB1C1F＝NP，所以AO∥NP.根据三棱柱上下底面平行，平面A1NMA∩平面ABC＝AM，平面A1NMA∩平面A1B1C1＝A1N，所以ON∥AP，故四边形ONPA是平行四边形．设△ABC边长是6m(m>0)，可得ON＝AP，NP＝AO＝AB＝6m.因为O为△A1B1C1的中心，且△A1B1C1边长为6m，所以ON＝×6m×sin 60°＝m，故ON＝AP＝m.因为EF∥BC，所以＝，所以＝，解得EP＝m.在B1C1截取B1Q＝EP＝m，故QN＝2m.因为B1Q＝EP且B1Q∥EP，所以四边形B1QPE是平行四边形，所以B1E∥PQ.由①知B1C1⊥平面A1AMN，故∠QPN为B1E与平面A1AMN所成角，在Rt△QPN中，根据勾股定理可得PQ＝＝＝2m，所以sin∠QPN＝＝＝.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为.求线面角、二面角的常用方法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线、找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法，②垂面法．注意利用等腰三角形和等边三角形的性质．1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．20° B．40°  C．50° D．90°2．在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V－AB－C的大小为________．60°　解析：如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB.取AB的中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB.因为VH∩VO＝V，所以AB⊥平面VHO，所以AB⊥OH，所以∠VHO为二面角V－AB－C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝4，所以VH＝2.而OH＝BC＝1，所以∠VHO＝60°.故二面角V－AB－C的大小是60°.3．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．(1)证明：△PBC是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．(1)证明：因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，所以BC⊥AC.又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PBC是直角三角形．(2)解：如图，过点A作AH⊥PC于点H，连接BH.因为BC⊥平面PAC，AH⊂平面PAC，所以BC⊥AH.又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以AH⊥平面PBC.因为BH⊂平面PBC，所以AH⊥BH，所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角．因为PA⊥平面ABC，所以∠PCA即是PC与平面ABC所成的角．因为tan∠PCA＝＝，PA＝2，所以AC＝.所以在Rt△PAC中，AH＝＝，所以在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.考点3　线面垂直、面面垂直的判定与性质——应用性考向1　线面垂直的判定与性质如图，在四棱锥A－BCDE中，△ADE是边长为2的等边三角形，平面ADE⊥平面BCDE，底面BCDE是等腰梯形，DE∥BC，DE＝BC，BE＝DC＝2，BD＝2，M是边DE的中点，点N在BC上，且BN＝3.(1)证明：BD⊥平面AMN；(2)设BD∩MN＝G，求三棱锥A－BGN的体积．(1)证明：因为△ADE是等边三角形，M是DE的中点，所以AM⊥DE.又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，所以AM⊥平面BCDE.因为BD⊂平面BCDE，所以AM⊥BD.因为MD＝ME＝1，BN＝3，DE∥BC，DE＝BC，所以MDCN，所以四边形MNCD是平行四边形，所以MN∥CD.因为BD＝2，BC＝4，CD＝2，所以BD2＋CD2＝BC2，所以BD⊥CD，所以BD⊥MN.又AM∩MN＝M，所以BD⊥平面AMN.(2)解：由(1)知AM⊥平面BCDE，所以AM为三棱锥A－BGN的高．因为△ADE是边长为2的等边三角形，所以AM＝.易知GN＝CD＝.又由(1)知BD⊥MN，所以BG＝＝.所以S△BGN＝BG·NG＝××＝.所以VA－BGN＝S△BGN·AM＝××＝.解决线面垂直问题的关键点(1)证明直线和平面垂直的常用方法；①判定定理；②平行直线的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α)．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．考向2　面面垂直的判定与性质(2021·衡水中学模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2，PA＝AB＝BC＝1.(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．(1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝.因为PC＝2，BC＝1，PB＝，所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB.因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，又PB∩AB＝B，所以BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.(2)解：在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示．由(1)知BC⊥平面PAB.因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.又平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊥AB，所以PE⊥平面ABCD.因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，所以PE＝.因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝××(1＋2)×1×＝.解决面面垂直问题的关键点(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．1．(2021·石家庄模拟)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(　　)A．平面ABCDB．平面PBCC．平面PADD．平面PABC　解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.求证：(1)CD⊥平面PBD；(2)平面PBC⊥平面PCD.证明：(1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°.又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°.又∠DCB＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD.因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面PBD.(2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PDC.又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC.3．(2020·银川一模)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：平面MOC⊥平面VAB；(2)求三棱锥B－VAC的高．(1)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.因为OC⊂平面MOC, 所以平面MOC⊥平面VAB.(2)解：在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，所以AB＝2，OC＝1，所以等边三角形VAB的面积为S△VAB＝×22×sin 60°＝.又因为OC⊥平面VAB，所以OC⊥OM.在△AMC中，AM＝1，AC＝，MC＝，所以S△AMC＝×1×＝，所以S△VAC＝2S△MAC＝.由三棱锥B－VAC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，即S△VAC·h＝S△VAB·OC, 所以h＝＝，即三棱锥B－VAC的高为.