(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习36《圆的方程》(含详解)

这是一份(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习36《圆的方程》(含详解)，共20页。试卷主要包含了圆的方程，点与圆的位置关系，必记结论等内容，欢迎下载使用。

考点36 圆的方程
（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
（2）能用圆的方程解决一些简单的问题.

一、圆的方程

圆的标准方程
圆的一般方程
定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径
方程


圆心


半径


区别与
联系
（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；
（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；
（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程
注：当D2+E2－4F = 0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0表示一个点；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0没有意义，不表示任何图形．
二、点与圆的位置关系

标准方程的形式
一般方程的形式
点（x0，y0）在圆上


点（x0，y0）在圆外


点（x0，y0）在圆内


三、必记结论
（1）圆的三个性质
①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
②圆心在任一弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（2）两个圆系方程
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．
①同心圆系方程：，其中a，b为定值，r是参数；
②半径相等的圆系方程：，其中r为定值，a，b为参数．

考向一 求圆的方程
1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．
2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．

典例1 求满足下列条件的圆的方程：
（1）经过点P(5，1)，圆心为点C(8，－3)；
（2）经过三点A(0，0)，B(1，1），C(4，2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由两点间的距离公式可知，圆的半径长为，
因此，圆的方程为.
（2）设所求圆的一般方程为，
将、、三点的坐标代入圆的方程，得，解得，
因此，所求圆的方程为.
【名师点睛】本题考查圆的方程的求解，根据已知条件的类型选择圆的标准方程和一般方程求解，一般而言，确定圆心坐标与半径，选择圆的标准方程较为合适，计算三角形的外接圆方程，利用圆的一般方程较好，考查计算能力，属于中等题.
（1）利用两点间的距离公式计算出圆的半径，再写出圆的标准式方程；
（2）设所求圆的一般方程为，将、、三点的坐标代入圆的方程，得三元一次方程组，求出、、的值，可得出所求圆的方程.

1．以为半径两端点的圆的方程是
A．
B．
C．或
D．或
考向二 与圆有关的对称问题
1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．
2．圆关于点对称：
（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
3．圆关于直线对称：
（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．

典例2 （1）已知圆C1：（x+1）2+（y－1）2 =1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1=0对称，则圆C2的方程为
A． B．
C． D．
（2）若圆（x+1）2+（y－3）2=9上相异两点P，Q关于直线kx+2y－4=0对称，则k的值为_________．
【答案】（1）B；（2）2．
【解析】（1）圆C1的圆心为（－1，1），半径长为1，设圆C2的圆心为（a，b），
由题意得且，解得a=2，b=－2，
所以圆C2的圆心为（2，－2），且半径长为1，故圆C2的方程为（x－2）2+（y+2）2=1．
（2）已知圆（x+1）2+（y－3）2=9的圆心为（－1，3），
由题设知，直线kx+2y－4=0过圆心，则k×（－1）+2×3－4=0，解得k=2．

2．已知圆（为实数）上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则
A． B．
C． D．
考向三 与圆有关的轨迹问题
1．求轨迹方程的步骤如下：
建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标．
写集合：写出满足复合条件P的点M的集合．
列式：用坐标表示，列出方程．
化简：化方程为最简形式．
证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
2．求与圆有关的轨迹方程的方法


典例3 已知中，，，求：
（1）直角顶点的轨迹方程；
（2）直角边的中点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设，则，，
，
，即，化简得：.
不共线，
.
故顶点的轨迹方程为：.
（2）设，，
由（1）知：……①
又，为线段的中点，
，，即，，
代入①式，得：.
故的轨迹方程为：.
【名师点睛】本题考查轨迹方程的求解问题，关键是能够根据直线的位置关系得到点满足的方程，或利用动点坐标表示出已知曲线上的点的坐标，代入已知曲线得到轨迹方程；易错点是忽略已知中的限制条件，未排除特殊点.
（1）设，求得和，根据垂直关系可知斜率乘积为，根据三个顶点不共线，可知，从而得到轨迹方程；
（2）设，，利用中点坐标公式用，表示出点坐标，代入（1）中轨迹方程整理可得结果.

3．已知点，圆：，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求的方程及的面积.
考向四 与圆有关的最值问题
对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．

典例4 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，设所求圆心为，且圆心在直线的左上方，则，且，解得（不符合，舍去），故所求圆的方程为，故选C.
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，计算能力，属于中档题.
典例5 已知点在圆上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）的最大值为，最小值为；（2）的最大值为，最小值为.
【解析】（1）设，则，t可视为直线的纵截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，解得或．
∴的最大值为，最小值为．
（2）可视为点与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即，解得或．
∴的最大值为，最小值为．
【名师点睛】1．与圆的几何性质有关的最值
（1）记O为圆心，圆外一点A到圆上距离最小为，最大为；
（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；
（3）记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为，最小距离为；
（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．
2．与圆的代数结构有关的最值
（1）形形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
（2）形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
（3）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

4．平面上两个点为A(－1，0)，B(1，0)，O为坐标原点，在圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0上取一点P，则|AP|2＋|BP|2的最小值为________．


1．若方程表示一个圆，则的取值范围是
A． B．
C． D．
2．若直线是圆的一条对称轴，则的值为
A．1 B．
C．2 D．
3．对于，直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程是
A． B．
C． D．
4．一个圆经过以下三个点，，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为
A． B．
C． D．
5．P为圆上任一点，则P与点的距离的最小值是
A．1 B．4
C．5 D．6
6．当圆的面积最大时，圆心坐标是
A． B．
C． D．
7．点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于
A． B．
C．1 D．3
8．过点的直线将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为
A． B．
C． D．
9．已知点，是圆：上任意一点，若线段的中点的轨迹方程为，则的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
10．已知圆，点，两点关于轴对称．若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是
A． B．
C． D．
11．在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是__________．
12．若实数x，y满足，则的最小值是________ .
13．已知在圆上，点关于轴的对称点为，点关于的对称点为，则的最小值为________________．
14．已知圆过点，．
求：（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线上的圆的方程．





15．在平面直角坐标系中，已知点，.
（1）在轴的正半轴上求一点，使得以为直径的圆过点，并求该圆的方程;
（2）在（1）的条件下，点在线段内，且平分，试求点的坐标.






16．已知圆，直线，．
（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；
（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.








17．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段的最小覆盖圆就是以为直径的圆；②锐角的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线：，，，，为曲线上不同的四点.
（1）求实数的值及的最小覆盖圆的方程；
（2）求四边形的最小覆盖圆的方程；
（3）求曲线的最小覆盖圆的方程.










变式拓展

1．【答案】C
【解析】由题意得：半径.
若为圆心，则所求圆的方程为：；
若为圆心，则所求圆的方程为：.
本题正确选项为C.
【名师点睛】本题考查圆的方程的求解，易错点是忽略两点可分别作为圆心，从而造成丢根，属于基础题.求解时，先利用两点间距离公式求得半径，分别在和为圆心的情况下写出圆的方程.
2．【答案】D
【解析】由题意可知：直线过圆心，
，解得：.
本题正确选项为D.
【名师点睛】本题考查圆的性质，关键是能够根据圆的对称性判断出直线过圆心，将圆心坐标代入直线解得结果.
3．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）圆的方程可化为，
所以圆心为，半径为4，
设，则，
由题意知，故，即，
由于点在圆的内部，
所以的轨迹方程是.
（2）由（1）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
由于，故在线段的垂直平分线上，
又在圆上，从而，
因为的斜率为3，所以的斜率为，
所以的方程为.
又，到的距离为，
所以的面积为.
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立，之间的关系；
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
（4）代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．
4．【答案】20
【解析】设点P的坐标为(x，y)，则|OP|＝，
∵A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|2＋|BP|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2.
要使|AP|2＋|BP|2取得最小值，需使|OP|2最小．
将圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝4.
∵点P为圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上的点，∴|OP|min＝|OC|－r(r为半径)．
由(x－3)2＋(y－4)2＝4知圆心C(3，4)，r＝2.
∴|OC|－r＝－2＝5－2＝3，即|OP|min＝3，
∴(|AP|2＋|BP|2)min＝2×32＋2＝20.
故答案为：20.
【名师点睛】和圆有关的题很多情况下是利用数形结合来解决的.在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.
考点冲关

1．【答案】C
【解析】表示一个圆，
所以 ，解得.
故选C.
【名师点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，属于基础题.求解时，先化为标准方程，根据半径必须大于零求解.
2．【答案】B
【解析】圆的方程可化为，可得圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，
可得，即的值为.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到的值.
3．【答案】A
【解析】由条件知，可以整理为故直线过定点，所求圆的方程为，化为一般方程为．
故选A．
4．【答案】D
【解析】设圆心坐标为，半径为，则圆的方程为，
将，，三点代入，得，解得，．
∴圆的标准方程为．
故选D．
【名师点睛】本题主要考查圆的标准方程，重点找出圆心及半径是关键，难度不大.根据题意设出圆心，利用圆心到三点的距离相等建立等式，从而求得标准方程.
5．【答案】B
【解析】因为在圆外，且圆心与的距离等于，又P为圆上任一点，所以P与点的距离的最小值等于圆心与的距离减去半径，因此最小值为.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查定点到圆上的动点的距离问题，结合圆的的性质以及点到直线距离公式即可求解，属于基础题型.求解时，先确定点在圆外，因此圆上的点到点的距离的最小值即等于圆心与的距离减去半径，进而可得出结果.
6．【答案】B
【解析】因为，所以，
因此圆面积为，时圆面积最大，此时圆心坐标为，故选B.
【名师点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本化简求解能力.求解时，先列圆面积解析式，再根据圆面积最大时k的值确定对应圆心坐标.
7．【答案】D
【解析】圆x2+y2+kx+2y−4=0的圆心坐标为，
因为点M，N在圆x2+y2+kx+2y−4=0上，且点M，N关于直线l：x−y+1=0对称，
所以直线l：x−y+1=0经过圆心，
所以．
所以圆的方程为：x2+y2+4x+2y−4=0，圆的半径为：
故选D．
【名师点睛】本题考查圆的对称性，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力．圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k，然后求出半径．
8．【答案】A
【解析】两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．
因为过点的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为，即方程为.
9．【答案】D
【解析】设，的中点为，则由中点坐标公式得.因为点在圆上，所以，即.将此方程与方程比较可得，解得.故选D.
10．【答案】C
【解析】由题得圆的方程为设由于，所以由于表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，此时最大，m也最大.
故选C.
11．【答案】
【解析】设三角形的外接圆方程是，由点,，在圆上可得，，解得，故三角形的外接圆方程为，故答案为.
【名师点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:
①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；
②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；
③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
12．【答案】
【解析】的几何意义是点（0，0）与圆上的点的距离的平方，
点（0，0）到圆心（−1，0）的距离为1，
则点（0，0）到圆上点的距离的最小值为1−r=1−=（r为圆的半径），
故的最小值为.
故答案为：.
【名师点睛】本题考查圆外点与圆上点的距离的最值问题，利用圆外点与圆心的距离加减圆半径即可得到最大和最小值.
13．【答案】
【解析】因为圆的方程为，所以，半径．
设点的坐标为，则由题可得，，
所以（为坐标原点），
又（当且仅当时取等号），
所以点在圆外，所以（当且仅当，，，三点共线时取等号），
所以，故的最小值为，故答案为.
【名师点睛】本题主要考查了对称关系以及两点间的距离，圆上一动点到圆外一点距离的最值问题，属于中档题.设出的坐标为，根据对称性得坐标，根据两点间距离公式可得，判断点在圆外，由即可得结果.
14．【答案】（1）x2＋（y－1）2＝10；（2）（x－3）2＋（y－2）2＝20．
【解析】（1）当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．
即AB中点（0,1）为圆心，半径．
则所求圆的方程为x2＋（y－1）2＝10．
（2） 解法1：
直线AB的斜率为k＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0．
由圆心在直线上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C（3,2）．
r＝|AC|＝．
∴所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝20．
解法2：待定系数法
设圆的方程为：（x－a）2＋（y－b）2＝r2．
则.
∴所求圆的方程为：（x－3）2＋（y－2）2＝20．
15．【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）依题意设，
以为直径的圆过点，
.
又，
，
.
∴该圆的圆心坐标为，半径，
故所求的坐标为，圆的方程为.
（2）设的坐标为，依题可得，直线的方程为：，
直线的方程为：.
因为平分，
所以点到直线和的距离相等.
，得，解得或.
，
，
的坐标为.
【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的知识，涉及的知识点有：在圆中，直径所对的圆周角为直角；向量垂直，数量积等于零；以某条线段为直径的圆的方程；角平分线的性质.根据题的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.
16．【答案】（1）见解析；（2）M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，为半径的圆．
【解析】（1）圆的圆心为，半径为，
所以圆心C到直线的距离．
所以直线与圆C相交，即直线与圆总有两个不同的交点；
或：直线的方程可化为，无论m怎么变化，直线过定点.
由于，所以点是圆C内一点，
故直线与圆总有两个不同的交点．
（2）设中点为，因为直线恒过定点，
当直线的斜率存在时， ，
又， ，
所以，化简得．
当直线的斜率不存在时，中点也满足上述方程．
所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，为半径的圆．
17．【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】（1）由题意得，.
由于为锐角三角形，外接圆就是的最小覆盖圆.
设外接圆方程为，
则， 解得.
所以的最小覆盖圆的方程为.
（2）因为的最小覆盖圆就是以为直径的圆，
所以的最小覆盖圆的方程为.
又因为，
所以点A，C都在圆内.
所以四边形的最小覆盖圆的方程为.
（3）由题意，曲线为中心对称图形.
设曲线上一点，则.
所以，且.
故，
所以当时，，
所以曲线的最小覆盖圆的方程为.
【名师点睛】本题以新定义为背景，考查圆的方程的求解，考查数形结合思想，考查等价转化思想，属于中档题.
（1）由题意，，利用三角形的外接圆即最小覆盖圆可得结果；
（2）的最小覆盖圆就是以为直径的圆，易知A，C均在圆内；
（3）由题意，曲线为中心对称图形.设，转求的最大值即可.