高考数学(理数)二轮复习专题5 第1讲《等差数列与等比数列通项公式》练习 (含答案详解)

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A卷

1．(天津南开区三模)若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2 018＝(　　)

A．3　 B．1　　

C．－3　 D．4

【答案】B

2．设数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)

A．0　 B．37　　

C．100　 D．－37

【答案】C

3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　)

A．　　　　  B．－　　

C．　 D．－

【答案】C

4．(陕西西安模拟)公差不为零的等差数列{an}中，a7＝2a5，则数列{an}中与4a5的值相等的是(　　)

A．a8　 B．a9　　　

C．a10　 D．a11

【答案】D

【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a7＝2a5，∴a1＋6d＝2(a1＋4d)，则a1＝－2d.∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，则4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11.故选D．

5．(安徽合肥二模)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就，北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n层，设最底层长有c个，宽有d个，则共计有木桶个．假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为(　　)

A．1 260　 B．1 360　　

C．1 430　 D．1 530

【答案】B

【解析】根据题意可知a＝2，b＝1，n＝15，则c＝2＋14＝16，d＝1＋14＝15，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为＝1 360.

6．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.

【答案】－

【解析】由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列且公比为q5，故q5＝－，q＝－.

7．(湖南怀化一模)已知f(x)＝(x－4)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，则f(a5)的值为________．

【答案】3

【解析】∵f(x)＝(x－4)3＋x－1，∴f(x)－3＝(x－4)3＋x－4＝g(x－4)．令x－4＝t，可得g(t)＝t3＋t为奇函数且单调递增．{an}是公差不为0的等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，∴g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a9)＝0，∴g(a5)＝0，则f(a5)＝g(a5)＋3＝3.

8．(福建福州模拟)设等差数列{an}的公差d≠0，且a2＝－d.若ak是a6与ak＋6的等比中项，则k＝________.

【答案】9

【解析】∵ak是a6与ak＋6的等比中项，

∴a＝a6ak＋6.又等差数列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，

∴[a2＋(k－2)d]2＝(a2＋4d)[a2＋(k＋4)d]，化简得(k－3)2＝3(k＋3)，解得k＝9或k＝0(舍去)．

9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.

(1)求an；

(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.

【解析】(1)设{an}的公比为q，依题意得

解得因此an＝3n－1.

(2)因为bn＝log3an＝n－1，

所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.

10．(广西河池模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.

(1)求{an}的通项公式；

(2)判断{an}是否为等差数列．

【解析】(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，

∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1.

∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.

又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，

∴数列{an}的通项公式是an＝

(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，

但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，

∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．

B卷

11．(江西南昌模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，(a1＋a3)(a5＋a7)＝4a，则下列结论中正确的是(　　)

A．数列{an}是递增数列

B．数列{an}是递减数列

C．数列{an}是常数列

D．数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列

【答案】C

【解析】各项均为正数的等比数列{an}中，因为(a1＋a3)(a5＋a7)＝4a成立，即a1a5＋a1a7＋a3a5＋a3a7＝4a成立．利用等比数列的定义和性质化简可得a＋a＋a＋a＝4a，进一步化简得a＋a＝2a.设公比为q，则得aq4＋aq8＝2aq6，化简可得1＋q4＝2q2，即(q2－1)2＝0，所以q2＝1，故q＝1(由于各项均为正数的等比数列，故q＝－1舍去)．故此等比数列是常数列．故选C．

12．(辽宁沈阳一模)已知数列{an}的首项a1＝m，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn＋1＝3n2＋2n，若对任意n∈N*，an<an＋1恒成立，则m的取值范围是________．

【答案】

【解析】当n＝1时，2a1＋a2＝5.因为a1＝m，所以a2＝5－2m.当n≥2时，Sn－1＋Sn＝3(n－1)2＋2(n－1)，和已知两式相减得an＋an＋1＝6n－1①，即an－1＋an＝6n－7②，①－②得an＋1－an－1＝6(n≥3)，所以数列{an}的偶数项成等差数列，奇数项从第三项起是等差数列，a3＝6＋2m，a2k＝a2＋6(k－1)＝5－2m＋6k－6＝6k－2m－1，a2k＋1＝a3＋6(k－1)＝6＋2m＋6(k－1)＝6k＋2m.若对任意n∈N*，an<an＋1恒成立，即当n＝1时，a1<a2⇒m<.n＝2k＋1时，a2k＋1<a2k＋2⇒6k＋2m<6k－2m＋5⇒m<.当n＝2k时，a2k<a2k＋1，即6k－2m－1<6k＋2m，解得m>－，所以m的取值范围是.

13．(上海)给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn－an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．

(1)设{an}是首项为1，公比为的等比数列，bn＝an＋1＋1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；

(2)设数列{an}的前四项为a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M＝{x|x＝bi，i＝1,2,3,4}，求M中元素的个数m；

(3)已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．

【答案】【解析】(1)数列{bn}与{an}接近，理由如下：

∵{an}是首项为1，公比为的等比数列，

∴an＝，bn＝an＋1＋1＝＋1.

∴|bn－an|＝＝1－＜1，n∈N*.

∴数列{bn}与{an}接近．

(2)∵{bn}与{an}接近，∴an－1≤bn≤an＋1.

∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，∴b1∈[0,2]，b2∈[1,3]，b3∈[3,5]，b4∈[7,9]．

可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b3与b4不相等，

集合M＝{x|x＝bi，i＝1,2,3,4}，M中元素的个数m＝3或4.

(3)依题意，得an＝a1＋(n－1)d.

①若d＞0，取bn＝an，得bn＋1－bn＝an＋1－an＝d＞0，

则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中有200个正数，符合题意；

②若d＝0，取bn＝an－，则|bn－an|＝＝≤1，n∈N*，得bn＋1－bn＝－＞0，

则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中有200个正数，符合题意；

③若－2＜d＜0，可令b2n－1＝a2n－1－1，b2n＝a2n＋1，

则b2n－b2n－1＝a2n＋1－(a2n－1－1)＝2＋d＞0，

则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中至少有100个正数，符合题意；

④若d≤－2，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，

即an－1≤bn≤an＋1，an＋1－1≤bn＋1≤an＋1＋1，

得bn＋1－bn≤an＋1＋1－(an－1)＝2＋d≤0，

b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中无正数，不符合题意．

综上，d的取值范围是(－2，＋∞)．