高考数学(理数)二轮复习专题3 第2讲《空间点、线、面位置关系》练习 (含答案详解)

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A卷

1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)

A．相交　 B．异面

C．平行　 D．不确定

【答案】C

【解析】l⊥AB，l⊥AC⇒l⊥α；m⊥BC，m⊥AC⇒m⊥α.故l∥m.

2．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是(　　)

A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，n∥α，则m∥n

D．若m∥α，m∥β，则α∥β

【答案】A

【解析】垂直于同一个平面的两条直线平行，A正确；α，β垂直于同一个平面γ，则α，β可能相交或平行，B错误；m，n平行于同一个平面，则m，n可能相交、平行或异面，C错误；α，β平行于同一条直线m，则α，β可能相交或平行，D错误．故选A．

3．(福建三明二模)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则以下四个命题中错误的是(　　)

A．直线A1C1与AD1为异面直线

B．A1C1∥平面ACD1

C．BD1⊥AC

 D．三棱锥D1－ADC的体积为

【答案】D

【解析】A中，直线A1C1⊂平面A1B1C1D1，BD1⊄平面A1B1C1D1，D1∉直线A1C1，由异面直线判定定理得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；B中，∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1，故B正确；C中，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1，∴AC⊥平面BDD1，∴BD1⊥AC，故C正确；D中，三棱锥D1－ADC的体积VD1－ADC＝××2×2×2＝，D错误．故选D．

4．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：

①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；

③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.

其中真命题的序号是(　　)

A．①② B．②③　

C．①④ D．②④

【答案】D

【解析】若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交或a与c异面，所以①是假命题；在空间中，平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题．故选D．

5．(福建泉州模拟)如图，在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是(　　)

A B

C D

【答案】B

【解析】如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，EFMNQG是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，且选项A，C，D中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项B中的直线BD1与平面EFG不垂直．故选B．

6．(北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.

【答案】若l⊥m，l⊥α，则m∥α(若m∥α，l⊥α，则l⊥m)

【解析】从三个论断中选两个作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种可能．其中①③⇒②，②③⇒①是正确的命题，①②⇒③是错误的命题，故可填“若l⊥m，l⊥α，则m∥α”或“若m∥α，l⊥α，则l⊥m”．

7．(湖北模拟)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

【答案】①②③④

【解析】由展开图可折得正方体如图所示，由正方体的对面平行易得①②正确，由面面平行的判定易得③④正确．

8．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．

【答案】

【解析】设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.又2×＝h，所以h＝，DE＝.在Rt△DB1E中，B1E＝＝.由面积相等，得× ＝x，得x＝，即线段B1F的长为.

9．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．

(1)求证：BF∥平面A1EC；

(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.

【证明】(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，OF.

在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ACC1A1为矩形，所以OA＝OC1.

又点F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF＝CC1.

因为点E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝CC1.

所以BE∥OF且BE＝OF.

所以四边形BEOF是平行四边形．所以BF∥OE.

又BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，

所以BF∥平面A1EC.

(2)因为AB＝CB，点F为AC的中点，

所以BF⊥AC.所以OE⊥AC.

又AA1⊥底面ABC，BF⊂底面ABC，所以AA1⊥BF.

由BF∥OE，得OE⊥AA1.

又AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，

所以OE⊥平面ACC1A1.

因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.

10．(湖南模拟)如图，直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，其中AB∥CD∥EF，AD＝AB＝CD＝1，且ED⊥平面ABCD，点G是CD的中点．

(1)求证：平面BCF∥平面AGE；

(2)求点C到平面AGE的距离．

【解析】(1)∵AB∥CD，AB＝CD，点G是CD的中点，

∴AB∥GC，AB＝GC.

∴四边形ABCG为平行四边形．∴BC∥AG.

又BC⊄平面AGE，AG⊂平面AGE，

∴BC∥平面AGE.

∵直角梯形ABCD与梯形EFCD全等，

∴AB＝EF.

又AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形．

∴BF∥AE.

又BF⊄平面AGE，AE⊂平面AGE，

∴BF∥平面AGE.

又BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，BC∩BF＝B，

∴平面BCF∥平面AGE.

(2)设点C到平面AGE的距离为d.

易知AE＝EG＝AG＝，CG＝1，

由VC－AGE＝VE－ACG，得S△AGE·d＝S△AGC·DE，

则××()2d＝××1×1×1，

解得d＝，即点C到平面AGE的距离为.

B卷

11．(新课标Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

【答案】B

【解析】连接BD，BE.由题意易知BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE.因为BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，所以直线BM，EN是相交直线．设DE＝a，则BD＝a，BE＝＝a，所以BM＝a，EN＝＝a，所以BM≠EN.故选B．

12．(浙江丽水模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的最小值为(　　)

A．　　 B．

C． D．

【答案】B

【解析】取BB1，B1C1的中点M，N，连接BC1，MN，AM，A1M，A1N，易得MN∥BC1∥EF，A1N∥AE，可证得平面A1MN∥平面AEF，则点P在线段MN上．由正方体的棱长为2，可得A1M＝A1N＝，MN＝，则当点P为线段MN的中点时，线段A1P的长度最小，最小值为＝.故选B．

13．把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝5，AD＝4，AE＝3，则△EBD在平面EBC上的射影的面积是________．

【答案】2

【解析】连接HC，过D作DM⊥HC，连接ME，MB.∵BC⊥平面HCD，DM⊂平面HCD，∴BC⊥DM.又BC∩HC＝C，∴DM⊥平面HCBE，即D在平面HCBE内的射影为M，∴△EBD在平面HCBE内的射影为△EBM.在长方体中，HC∥BE，∴△MBE的面积等于△CBE的面积，∴△EBD在平面EBC上的射影的面积为××4＝2.

14．(河北张家口模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝2AD，E为线段BC的中点．

(1)求证：平面PDE⊥平面PAD.

(2)在线段PB上是否存在点F，使得EF∥平面PCD？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．

(3)若Q是PC中点，AB＝1，DC＝，PA＝2，求三棱锥P－ABQ的体积．

【解析】(1)证明：∵AD∥BC，BC＝2AD，E是BC的中点，

∴AD∥BE，AD＝BE.

∴四边形ABED是平行四边形，则AB∥DE.

又∠BAD＝90°，∴∠ADE＝90°，故AD⊥DE.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE.

又AD∩PA＝A，∴DE⊥平面PAD.

又DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.

(2)取PB的中点F，连接EF.

∵E为线段BC的中点，

∴EF∥PC.

又EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，

∴EF∥平面PCD.

∴在线段PB上存在点F，使得EF∥平面PCD，点F为PB的中点．

(3)∵AD∥BC，∠BAD＝90°，∴BC⊥AB.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.

又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.

在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝1，DC＝，

可得DE＝AB＝1，CE＝1，BC＝2.

又Q是PC的中点，∴点Q到平面PAB的距离等于BC＝1.

∴VP－ABQ＝VQ－PAB＝S△PAB·BC＝××1×2×1＝.