2022-2023学年湘教版九年级数学上学期期末复习培优练习（湖南邵阳中考真题）

这是一份2022-2023学年湘教版九年级数学上学期期末复习培优练习（湖南邵阳中考真题），共24页。试卷主要包含了在抛物线上等内容，欢迎下载使用。
九年级数学上学期期末复习培优综合练习 -湘教版九年级中考数学真题汇编（湖南邵阳）
一．根的判别式（共1小题）
1．（2021•邵阳）在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
二．根与系数的关系（共1小题）
2．（2020•邵阳）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
三．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）
3．（2022•邵阳）如图是反比例函数y＝的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（　　）

A．1 B． C．2 D．
4．（2020•邵阳）如图，已知点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，△OAB的面积是2．则k的值是　 　．

四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
5．（2021•邵阳）已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
五．二次函数综合题（共3小题）
6．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．

（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
7．（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．
（1）求抛物线C的对称轴．
（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

8．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．

六．圆周角定理（共1小题）
9．（2021•邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
七．三角形的外接圆与外心（共1小题）
10．（2022•邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（　　）

A． B． C． D．
八．切线的性质（共1小题）
11．（2022•邵阳）如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，点A为切点，且AB＝AC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求圆弧的长．

九．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2020•邵阳）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，求⊙O的半径．

一十．相似三角形的判定（共1小题）
13．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 　 　，使△ADE∽△ABC．

一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
14．（2020•邵阳）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设，施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，200m，550m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．

一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
15．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）

一十三．简单几何体的三视图（共2小题）
16．（2022•邵阳）下列四个图形中，圆柱体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
17．（2020•邵阳）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（　　）
A． B．
C． D．
一十四．列表法与树状图法（共2小题）
18．（2022•邵阳）假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
19．（2021•邵阳）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是 　 　．

一十五．利用频率估计概率（共1小题）
20．（2020•邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　）

A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2

九年级数学上学期期末复习培优综合练习 -湘教版九年级中考数学真题汇编（湖南邵阳）
参考答案与试题解析
一．根的判别式（共1小题）
1．（2021•邵阳）在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【解答】解：∵直线y＝﹣x+m不经过第一象限，
∴m≤0，
当m＝0时，方程mx2+x+1＝0是一次方程，有一个根，
当m＜0时，
∵关于x的方程mx2+x+1＝0，
∴Δ＝12﹣4m＞0，
∴关于x的方程mx2+x+1＝0有两个不相等的实数根，
故选：D．
二．根与系数的关系（共1小题）
2．（2020•邵阳）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，
由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．
故选：A．
三．反比例函数系数k的几何意义（共2小题）
3．（2022•邵阳）如图是反比例函数y＝的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（　　）

A．1 B． C．2 D．
【解答】解：∵A（x，y），
∴OB＝x，AB＝y，
∵A为反比例函数y＝图象上一点，
∴xy＝1，
∴S△ABO＝AB•OB＝xy＝1＝，
故选：B．
4．（2020•邵阳）如图，已知点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，△OAB的面积是2．则k的值是　4　．

【解答】解：设点A的坐标为（xA，yA），AB⊥y轴，
由题意可知：，
∴yA•xA＝4，
又点A在反比例函数图象上，
故有k＝xA•yA＝4．
故答案为：4．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
5．（2021•邵阳）已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1　＞　y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝3＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵A（1，y1），B（2，y2），
∴点A、B都在第一象限，
又1＜2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
五．二次函数综合题（共3小题）
6．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．

（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
【解答】解：在直线y＝2x+2中，
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝AO＝1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝OB＝2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，

点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
7．（2021•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．
（1）求抛物线C的对称轴．
（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．
①求抛物线C1的解析式．
②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点（1，1）和（4，1）的纵坐标相同，
故上述两点关于抛物线对称轴对称，
故抛物线的对称轴为直线x＝（1+4）＝；

（2）①由题意得：，解得，
故原抛物线的表达式为y＝﹣x2+5x﹣3；
由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+2）2+5（x+2）﹣3﹣1＝﹣x2+x+2；

②存在，理由：
令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝2，
故点B、A的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0），点C（0，2）；
∵tan∠BCO＝，
同理可得：tan∠CBO＝2，
当以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似时，
则tan∠DOE＝2或，
设点D的坐标为（m，﹣m2+m+2），
则tan∠DOE＝＝＝2或，
解得：m＝﹣2（舍去）或1或（舍去）或，
故m＝1或．
8．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．

【解答】解：（1）将C（8，0），B（0，6）代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；

（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，

∵C（8，0），B（0，6），
∴OC＝8，OB＝6．
∴BC＝10．
∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，
∴△BOC∽△CED．
∴．
∴CE＝3，DE＝4．
∴OE＝OC+CE＝11．
∴D（11，4）．

（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t，
当△BON∽△CDM，则，即不成立，舍去；
当△BON∽△MDC，则，即，解得：；
若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t．
当△BON∽△MCD，则，即，
∴．
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t．
∴，
解得t1＝（舍去），t2＝．
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16
∴，无解；
当△BON∽△DCM，则，即，
∴ON＝30﹣6t；
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t，
∴30﹣6t＝16﹣4t，
解得t＝7（舍去）；
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16，
∴30﹣6t＝4t﹣16，
解得．
综上所示：当时，△BON∽△MDC；t＝时，△BON∽△MCD；时，△BON∽△DCM；

（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，

∵点D（11，4），
∴点F（11，﹣4）．
由得对称轴为x＝5，
∴点Q（5，4）．
∴，．
∴．
故A'Q+QN+DN的最小值为．
六．圆周角定理（共1小题）
9．（2021•邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．
七．三角形的外接圆与外心（共1小题）
10．（2022•邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC，

∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBE＝30°，
又∵OE⊥BC，
∴BE＝BC＝AB＝，
在Rt△OBE中，cos30°＝，
∴，
解得：OB＝，
故选：C．
八．切线的性质（共1小题）
11．（2022•邵阳）如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，点A为切点，且AB＝AC．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求圆弧的长．

【解答】解：（1）连接OA，

∵AB是⊙O的切线，点A为切点，
∴∠BAO＝90°，
又∵AB＝AC，OA＝OC，
∴∠B＝∠ACB＝∠OAC，
设∠ACB＝x°，则在△ABC中，
x°+x°+x°+90°＝180°，
解得：x＝30，
∴∠ACB的度数为30°；
（2）∵∠ACB＝∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝120°，
∴＝2π．
九．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2020•邵阳）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：如图：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AB＝AC，
∴∠OBA＝∠C，
∴∠OAB＝∠C，
∵∠CAD＝∠C，
∴∠OAB＝∠CAD，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠OAC＝∠BAD﹣∠OAB+∠CAD＝90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可知AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，∠AOD＝2∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠AOC+∠C＝2∠B+∠C＝3∠C＝90°，
∴∠B＝∠C＝30°，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝，
∴OB＝，
∴⊙O的半径为．

一十．相似三角形的判定（共1小题）
13．（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 　∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）　，使△ADE∽△ABC．

【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）．
一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
14．（2020•邵阳）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设，施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，200m，550m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．

【解答】解：根据题意知，四边形AA1B1O和四边形BB1C1B2均为矩形，
∴OB1＝AA1＝62m，B2C1＝BB1＝200m，
∴BO＝BB1﹣OB1＝200﹣62＝138m，CB2＝CC1﹣B2C1＝550﹣200＝350m，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝138m，
∴AB＝2BO＝2×138＝276m；
在Rt△CBB2中，∠CB2B＝90°，∠CBB2＝45°，CB2＝350m，
∴BC＝CB2＝350，
∴AB+BC＝（276+350）m，
即管道AB和BC的总长度为：（276+350）m．

一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
15．（2022•邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：≈1.414，≈1.732）

【解答】解：安全，理由如下：
过点C作CD垂直AB，

由题意可得，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝30×1＝30km，
在Rt△CBD中，设CD＝BD＝xkm，则AD＝（x+30）km，
在Rt△ACD中，tan30°＝，
∴，
∴，
解得：x＝15+15≈40.98＞40，
所以，这艘轮船继续向正东方向航行是安全的．
一十三．简单几何体的三视图（共2小题）
16．（2022•邵阳）下列四个图形中，圆柱体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：从圆柱体的上面看到是视图是圆，
则圆柱体的俯视图是圆，
故选：D．
17．（2020•邵阳）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；
C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
一十四．列表法与树状图法（共2小题）
18．（2022•邵阳）假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中出现（正，正）的结果有1种，
∴出现（正，正）的概率为，
故选：D．
19．（2021•邵阳）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是 　　．

【解答】解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有6种路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴它遇到食物的概率是：
＝．
故答案为：．
一十五．利用频率估计概率（共1小题）
20．（2020•邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（　　）

A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2
【解答】解：假设不规则图案面积为xm2，
由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得x＝7．
故选：B．