角平分线性质在竞赛中大显身手(含答案)

角平分线性质在竞赛中大显身手

我们知道：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，这是角的平分线的重要性质．利用角的平分线性质可以省去一次全等三角形的证明过程，因此利用角的平分线性质说明问题方便快捷，而角的平分线性质去解决一些竞赛试题时更是大有可为．

例1  如图1，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的平分线，交点是G．PB、PC分别是∠MBC和∠NCB的平分线，交点是P．F、G在AN上，B、E在AM上，如果∠EGF=α，那么∠BPC与α的大小关系是(   )

A．∠BPC＞α　 B．∠BPC=α　 C．∠BPC＜α　 D．无法确定

分析：已知条件中出现了四条角平分线，为了能充分运用角平分线的性质，分别过点G和点P向角的两边引垂线，即可分别求出∠BPC与∠A、∠EGF与∠A的关系，从而使问题获解．

解：过点P作PH⊥BM于H，PK⊥CN于K，PQ⊥BC于Q，过点G作GD⊥EM于D，GJ⊥FN于J，GI⊥EF于I．

因为PB、PC分别是∠MBC和∠NCB的平分线，

所以PH=PQ=PK．

易证∠HPB=∠QPB，∠KPC=∠QPC，

故∠BPC=∠HPK．                                   图1

又∠AHP=∠AKP=90°，所以∠HPK=180°-∠A．

故∠BPC=(180°-∠A)=90°-∠A．

同理，∠EGF=90°-∠A．

所以∠BPC=∠EGF =α．答案选B．

反思：通过观察图1不难发现：点G是△AEF的两外角平分线的交点，点P是△ABC的两外角平分线的交点，因此通过本例我们不难得出这样一个结论：三角形两外角平分线的夹角与第三角的一半互为余角．

例2  如图2，△ABC中，∠ABC=110°，∠ACB=20°，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数．

分析：由∠ACB=20°和∠CBD=20°，得∠ADB=40°．考虑到CE是∠ACB的角平分线，可过点E作EN⊥CA，EP⊥CB，则EN=EP．若能证明DE是∠ADB的角平分线，过点E作EM⊥BD，则有EN=EP=EM，于是∠ADE可求．

解：作EN⊥CA于N，EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，

由∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°，

∠PBA=180°-100°=80°，得∠PBA=∠ABD，从而EP=EM．

而CE平分∠ACB，于是EN=EP，故EN=EM．                    图2

所以ED平分∠ADB，从而

∠ADE=∠ADB=(∠ACB+∠CBD)=( 20°+20°)=20°．

反思：通过观察图2不难发现：点E是△BCD的内角∠BCD的平分线、外角∠DBP的平分线和外角∠ADB的平分线交点，该点到△BCD三边的距离相等．实际上，到△BCD三边的距离相等的点一共有三条，其中一条在三角形内部(三角形三个内角平分线的交点)，另外三条在三角形外部(三角形其中一个内角与另外两个内角的外角平分线的交点)．这些结论可以利用角平分线的性质证明，同学们应该熟记这些结论，以帮助我们快速找到与角平分线有关问题的思路．