专题50 圆锥曲线的最值-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题50 圆锥曲线的最值

【方法点拨】

综合运用函数知识、向量、基本不等式等求解圆锥曲线中的最值问题.

【典型题示例】

例1   已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为          ．

【答案】

【分析】直接设点P的坐标，转化为的二次函数即可解决.

【解析】设点P的坐标

则

当且仅当，即当点P的坐标时，取得最小值为.

例2     已知点M（0，4），点P在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值是（    ）.

1.      B.     C.4      D.6

【答案】C

【分析】因为，故，再使用定义将转化为到准线的距离，设出点坐标，使用基本不等式求解.

【解析】因为，故

设，则

所以

设，则

当且仅当，等号成立

所以的最小值是4.

例3  已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【分析】先求出点到圆心的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案

【解析】设点，则，得，

圆的圆心，半径为，

则，

令，对称轴为，

所以当时，取得最小值，

所以最小值为，

所以的最小值为，

故选：D.

例4    已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，的内切圆半径为

A.  B. 2 C. 1 D.

【答案】A

【分析】本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系．设P到准线的距离为PQ，根据抛物线的性质可知从而当最小，即AP与抛物线相切时，的值最小．求出抛物线过A点的切线方程得出P点坐标，代入面积公式得出面积．

【解析】抛物线的准线方程为．

设P到准线的距离为，则．

．

当PA与抛物线相切时，最小，即取得最小值．

设过A点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程得，

，解得．

即，解得，把代入得．

或．

．

所以，设的内切圆半径为r

所以，所以．

故选A．  

例5   已知A、B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围是__________

【答案】

【分析】本题的关键是将所求转化为一个向量，这里设=（想一想，这里为什么将系数确定为4，而非其它数？其主要目的在于利用三点共线，使点在线段上，这是遇到两向量和、差的模的常用的策略，其目的仍是化繁为简、合二为一），从而由化简得，进一步可求得故E点的轨迹为圆，最终转化成两圆上的点间的距离问题即可求解．

【解析】设=，则=，取AB中点为D，再取BD中点为E，

则由，得，，

所以，即E点的轨迹方程为．

．

由于P点在圆上，

所以，

所以，

即，

所以

故答案为．

【巩固训练】

1.面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，

若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为         ．

2.抛物线的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设点，当取得最小值时，则

A. AB的斜率为 ；             B.

C. 外接圆的面积为；       D. 内切圆的面积为

3.已知，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围为________．

4.过抛物线  焦点的直线l与抛物线交于 A ，B两点，与圆      交于C，D两点，若有三条直线满足，则r的取值范围为          ．

【答案或提示】

1.【答案】－1或

【提示】设点，转化为函数解决.

2.【答案】BCD

【分析】由题意利用抛物线的定义可得，当取得最小值时，AB与抛物线相切，再联立直线与抛物线方程，由此可得，，的值，即可分析各选项．

【解析】由题意，过点A作准线的垂线，垂足为C，点B即为抛物线的准线与x轴的交点，由抛物线的定义可得，

当取得最小值时，即取得最小值，也即取得最小值，此时AB与抛物线相切，

设AB的方程为，则

消去y可得，

则，

解得，不妨设，代入中解得点A的坐标为，

可得为等腰直角三角形，

，，

设外接圆的半径为R，由直角三角形的性质可知，，

所以外接圆的面积为，

设内切圆的半径为r，则，

解得，

当，结果仍有，

的内切圆的面积为．

故选BCD．

3.【答案】

【分析】由双曲线的定义得，又的最小值为8，则，再利用基本不等式即可得，其中时等号成立，再设，则由双曲线第二定义，，又，，又因为，即可求解离心率的取值范围．

【解析】因为，

所以

其中时等号成立．

又设，则由第二定义，得．

要使式中等号成立，则必须2a，所以，

又因为，所以．

4.【答案】

【分析】求得抛物线的焦点，讨论直线l的斜率不存在，可得A，B，C，D，满足题意；当直线的斜率存在，设直线l方程，，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，讨论当四点顺序为A、C、D、B时，当四点顺序为A、C、B、D时，考虑是否存在与直线对称的直线，即可得到所求范围．

【解析】抛物线焦点为，

当直线轴时，直线l：与抛物线交于、，

与圆交于，，满足．

当直线l不与x轴垂直时，设直线l方程，，

联立方程组，化简得，

由韦达定理，由抛物线得定义，过焦点F的线段，

当四点顺序为A、C、D、B时，，

的中点为焦点，这样的不与x轴垂直的直线不存在；

当四点顺序为A、C、B、D时，

，

，

又，

，即，

当时存在互为相反数的两斜率k，即存在关于对称的两条直线．

综上，当时有三条满足条件的直线．

故答案为．