第9讲 三角形的概念、性质及内角和（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

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模块一：三角形的有关概念
知识精讲
知识点1：三角形的概念
（1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
（2）三角形的边、角：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，每两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角．
（3） 三角形的表示方法：三角形用符号“”表示，三角形ABC可记作“ABC”或“BCA”或“ACB”．
（4）三角形的外角：三角形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，一个三角形的每个顶点上各有两个外角，这两个外角是对顶角．
注意：三角形的外角必须是由“内角的一边与另一边的反向延长线” 所组成．
知识点2：三角形中的主要线段
（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线；
（2）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线；
（3）三角形的高：从三角形的三个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；
（4）一个三角形有三条角平分线，三条中线，三条高．
注意：①三角形的角平分线、中线、高各有三条，并且各自交于一点；
②三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而高线可以在内部（锐角三角形），可以在外部（钝角三角形），也可以在三角形的边上（直角三角形）；
③三角形的角平分线、中线、高线都是线段．
知识点3：三角形三条线段之间的关系
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
知识点4：三角形的分类
按角分：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；
按边分：不等边三角形和等腰三角形．
例题解析
例1．（2020·上海市建平中学七年级期末）如果一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2020·上海市第十中学七年级月考）三角形三条高的交点一定在（ ）
A．三角形的内部B．三角形的外部
C．顶点上D．以上三种情况都有可能
例3．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）下列对于三角形的高、中线、角平分线的说法中正确的是（ ）
A．都是线段B．都是直线C．都是射线D．以上都不对
例4．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）下列对于三角形一边上的高的说法中正确的是（ ）
A．必在三角形内部B．必在三角形外部
C．必与三角形的一边重合D．以上三种情况都有可能
例5．（2020·上海外国语大学闵行外国语中学七年级期末）在不等边△ABC中，如果AB=4，BC=6，AC的长为偶数，那么AC=_______．
例6．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）三角形的三边长为4，9，x，求x的取值范围．
例7.三角形的三边为3、1-2a、8，求a的取值范围．
例8.已知一个三角形中两条边长分别为a、b，且a>b，求这个三角形周长L的取值范围．
例9.设a、b、c是△ABC三边，化简的值．
例10.等腰三角形中两边为3厘米，4厘米，求该三角形的周长．
例11.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形底边的长．
例12.不等边三角形的最长边为9，最短边为4，若第三边长为整数，求第三边的长．
例13.不等边三角形ABC的两边高分别为4和12，若第三条高的长也是整数，求第三边高的长度．
例14.已知一个三角形的周长为12，求这个三角形的最长边的取值范围．
例15.等腰三角形的周长为8，各边长为整数，求该等腰三角形的腰长．
例16.周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
例17.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上．
（1）证明：AB+AE＞DB+DE；
（2）证明：AB+AC＞DB+DC；
（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大?证明你的结论；
（4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大?证明你的结论．
模块二：三角形的角的关系
知识精讲
三角形角与角的关系：
三角形内角和定理：三角形的内角和等于
三角形的外角性质：
三角形的外角和等于
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性．
例题解析
例1．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形（ ）
A．是钝角三角形B．是锐角三角形
C．是直角三角形D．属于哪一类不能确定．
例2．（2019·上海七年级月考）下列说法中错误的是( )
A．三角形的三个内角中，最多有一个钝角
B．三角形的三个内角中，至少有两个锐角
C．直角三角形中有两个锐角互余
D．三角形中两个内角和必大于90°
例3．（2019·上海七年级单元测试）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）
A．360ºB．250ºC．180ºD．140º
例4．（2022·上海浦东新区·七年级期末）如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么___度．
例5．（2020·上海松江区·七年级期末）如图，在△ABC中，两个内角∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D，若∠B＝70°，则∠D＝_____度．
例6．（2020·上海市第十中学七年级月考）在△ABC 中，已知，∠A：∠B：∠C = 1：2：3，△ABC 的形状是____________________
例7．（2020·上海市建平中学七年级期末）将一副三角板如图所示放置（其中含角的三角板的一条较短直角边与另一块三角 板的斜边放置在一直线上），那么图中 _____度．
例8（1）一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的和，那么这个三角形一定是_________；
（2）任意一个三角形至少有________个锐角．
例9．（2020·上海外国语大学闵行外国语中学七年级期末）根据要求画图（不要求写画法）
（1）画△ABC，使，，；
（2）在△ABC中，画出边BC上的高．
例10.（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）如图，在中，是边上的点，已知，，，试求与的度数．
例11．（2020·上海闵行区·七年级期末）如图，已知在△ABC中，∠B＝80°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝3∠A，求：∠A的度数．
例12.△ABC中，∠A-∠B=2∠B-∠C=20°，求∠A、∠B和∠C．
例13.在△ABC中∠ABC：∠C：∠BAC=1:2:5，BD⊥AC于D，求∠ABD的度数．
例14.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有5∠A=2∠B，若∠B的最大值是m°，最小值是n°，求m+n的值．
例15.如图，在三角形ABC中，∠B=∠C，ED⊥BC于D，DF⊥AC于F，∠AED=148°，求∠EDF的度数．
例16.已知点D是△ABC内一点，试说明．
例17.在△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A