2023届云南省大理市辖区高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题含答案

大理市2023届统一检测（数学）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1. 已知复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知向量满足，则向量与所成的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一．某洞窟浮雕共8层，它们构成一幅优美的图案各层浮雕数成等比数列，第二层浮雕数为6，第5层浮雕数为48，则第7层浮雕数为（    ）

A. 96 B. 128 C. 192 D. 384

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知分别为双曲线左、右顶点，点P为双曲线C上任意一点，记直线，直线的斜率分别为．若，则双曲线C的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交于点D，且，则的最小值为（    ）

A. 16 B. 18 C. 20 D. 14

8. 已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 若直线∥平面，直线，则与的位置关系可以是（    ）

A. 与相交 B.  C.  D. 与异面

10. 设函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 存在，使得函数奇函数

C. 函数的最大值为2 D. 存在，使得函数的图像关于点对称

11. 设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 的面积为（为坐标原点）

12. 设函数的定义域为R，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 函数的图象关于点对称

C.

D. 若，则有

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）．

14. 某校为落实“双减政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙三名同学拟参加篮球、足球、乒乓球三项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为__________．

15. 过点作曲线的切线，则切线方程是__________．

16. 如图，某位同学准备用边长为正方形纸片剪掉阴影部分四个全等的等腰三角形，然后将分别沿翻折，使得重合并记为点P，制成正四棱锥形状的礼品盒，则边长取值范围为________；该四棱锥体积最大时，边长为___________．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知数列前n项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列，求数列的前项和．

18. 从下面①②中选取一个作为条件，填在横线上，并解答问题．

①；②的面积为．

在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，满足__________．

（1）求角A的大小；

（2）若点D在，且，求．

19. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．

（1）求证：；

（2）若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．

20. 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．

（1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据

请用相关系数说明该组数据中与之间关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程．

（2）现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为，，，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围．

参考公式：

①线性相关系数，一般地，相关系数的绝对值在以上（含）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．

②对于一组数据，，…，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

21. 已知为椭圆C的左、右焦点，点为其上一点，且．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于坐标原点O的对称点R，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

22. 已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）设，当时，（是的导函数），求a的取值范围．

大理市2023届统一检测（数学）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1. 已知复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

2. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

3. 已知向量满足，则向量与所成的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

4. 河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一．某洞窟的浮雕共8层，它们构成一幅优美的图案各层浮雕数成等比数列，第二层浮雕数为6，第5层浮雕数为48，则第7层浮雕数为（    ）

A. 96 B. 128 C. 192 D. 384

【答案】C

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

6. 已知分别为双曲线的左、右顶点，点P为双曲线C上任意一点，记直线，直线的斜率分别为．若，则双曲线C的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】A

7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交于点D，且，则的最小值为（    ）

A. 16 B. 18 C. 20 D. 14

【答案】B

8. 已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 若直线∥平面，直线，则与的位置关系可以是（    ）

A. 与相交 B.  C.  D. 与异面

【答案】BCD

10. 设函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 存在，使得函数为奇函数

C. 函数最大值为2 D. 存在，使得函数的图像关于点对称

【答案】AC

11. 设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 的面积为（为坐标原点）

【答案】BC

12. 设函数的定义域为R，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 函数的图象关于点对称

C.

D. 若，则有

【答案】BCD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若的展开式中第5项为常数项，则该常数项为______（用数字表示）．

【答案】35

14. 某校为落实“双减政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙三名同学拟参加篮球、足球、乒乓球三项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为__________．

【答案】

15. 过点作曲线的切线，则切线方程是__________．

【答案】

16. 如图，某位同学准备用边长为正方形纸片剪掉阴影部分四个全等的等腰三角形，然后将分别沿翻折，使得重合并记为点P，制成正四棱锥形状的礼品盒，则边长取值范围为________；该四棱锥体积最大时，边长为___________．

【答案】    ①.     ②. 16

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知数列的前n项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列，求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据与的关系可得，进而得，由累加法即可求解；

（2）根据分组求和，由等差等比数列求和公式即可求解.

【小问1详解】

因为，所以，①

当时，，②

①-②得：，即，

所以，

所以，由，可得，

当时，，符合上式，

所以．

【小问2详解】

由题意得，

则

，

所以．

18. 从下面①②中选取一个作为条件，填在横线上，并解答问题．

①；②的面积为．

在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，满足__________．

（1）求角A的大小；

（2）若点D在，且，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1) 选择①，由余弦定理可求解；选择②，先由正弦定理，再由余弦定理可求解；

(2)解法1：由正弦定理可求解；解法2：过点C作垂直交的延长线于点E，可得与相似，从而得，再由余弦定理可求解.

【小问1详解】

选择①，由得，

即，

因为，所以．

选择②，由得，

即，

因为，所以．

【小问2详解】

解法1：设，中，由正弦定理得，所以，

在中，由正弦定理得，所以，

所以，即，即，

所以，即．

解法2：过点C作垂直交的延长线于点E，如图3．

∵，

∴，

又∵与相似，

∴，又在中，，

∴，∴，∴，

∴，∴，从而得．

19. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．

（1）求证：；

（2）若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据勾股定理逆定理，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；

（2）根据空间向量夹角公式进行求解即可.

【小问1详解】

在矩形中，，D为的中点，

所以，所以，

因为是正三角形，D为的中点，

所以，又因为是正三棱柱，所以平面，

而平面，所以，而平面，

所以平面，因为平面，所以，

因为平面，点P为线段上，

所以平面，而平面，所以；

【小问2详解】

如图以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，

则，设，

则，

所以，即，解得，

所以，

设为平面的法向量，则

令，则，所以，

取为平面的法向量，所以，

所以平面与平面的夹角的余弦值为．

20. 2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．

（1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据

请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程．

（2）现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为，，，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围．

参考公式：

①线性相关系数，一般地，相关系数的绝对值在以上（含）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．

②对于一组数据，，…，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

【答案】（1）相关系数，与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，回归直线方程；（2）．

【解析】

【分析】（1）根据表格中的数据，求得相关系数，得到与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，进而求得，即可求的回归直线的方程；

（2）通过甲大学的考试科目数，得到，设通过乙大学的考试科目数可能的取值为0，1，2，3，求得相应的概率，求得，根据考生更希望通过乙大学的笔试考试，列出不等式，即可求解．

【详解】（1）根据表格中的数据，可得，，

，，

，

可得相关系数，

故与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，

又由，可得．

综上回归直线方程．

（2）通过甲大学的考试科目数，则，

设通过乙大学的考试科目数为，则可能的取值为0，1，2，3，

则，

，

，

，

所以，

因为该考生更希望通过乙大学的笔试考试，所以，即，

又由，解得，

即为该考生更希望通过乙大学的笔试时的范围为．

【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：

1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；

2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；

3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；

4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.

21. 已知为椭圆C的左、右焦点，点为其上一点，且．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于坐标原点O的对称点R，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）存在，最大值为3．

【解析】

【分析】（1）由椭圆定义知,再代入点即可；

（2）设直线，再联立方程即可求解.

【小问1详解】

设椭圆的标准方程为，

则解之得：

所以椭圆的标准方程为．

【小问2详解】

如图所示，设直线，

则消去x整理得，

设的面积为S，

又，

则，

令，则，

又设，则，

∴在上为增函数，，∴，

所以，存在当时，即直线l的方程为的面积有最大值，其最大值为3．

22. 已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）设，当时，（是的导函数），求a的取值范围．

【答案】（1）的单调递增区间为，，单调递减区间为   

（2）．

【解析】

【分析】（1）求导，利用导数判断的单调区间；（2）根据题意将问题转化为，构建新函数，利用导数判断其单调性可得在上恒成立，利用参变分离结合函数最值分析求解.

【小问1详解】

当时，，

令，得或，

当或时，，当时，，

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为

【小问2详解】

∵，则，

即，即，

设，则可得

∵，则设，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，

则函数在上单调递增，则由，

得在上恒成立，即在上恒成立．

即在上恒成立，

设，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，

故．

【点睛】本题解题关键是根据指对同构化简整理，即将整理为，然后构建新函数结合导数与单调性分析理解.