2022届青海省海东市高考一模数学（文）试题含解析

2022届青海省海东市高考一模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合补集的运算，即可求解.

【详解】由题意，不等式，即，

解得或，解得，所以.

故选：D.

2．复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的运算法则，化简求得，结合复数的概念，即可求解.

【详解】由题意，复数，

所以复数的虚部为.

故选：A.

3．（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二倍角公式和诱导公式化简，再求特殊角的三角函数值即可

【详解】

故选：C

4．某高校甲､乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（       ）

A．3，5 B．3，3 C．3.5，5 D．3.5，4

【答案】C

【分析】将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数.

【详解】由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为，乙成绩等级的众数为5.

故选：C.

5．若变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（       ）

A．5 B．8 C．12 D．18

【答案】D

【分析】根据约束条件画出不等式所表示的范围，再结合目标函数表示的含义即可

【详解】根据题意，可画出如下图：

如上图所示，所示的阴影部分为不等式所表示的范围，可知：

当直线平移到过点时，取得最大值，且最大值为18

故选：D

6．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数图象的变换，由逆向变换即可求解.

【详解】由已知的函数逆向变换，

第一步，向左平移个单位长度，得到的图象；

第二步，图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即的图象.

故.

故选：A

7．已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.

【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，

所以，圆锥的体积，解得，

所以该圆锥的侧面积为.

故选：B

8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（       ）

A．等腰非等边三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

【答案】B

【分析】由条件可得，由正弦定理结合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，从而可得出答案.

【详解】由，可得，所以，

所以.

在中，，故，

因为，所以，因为，所以，

故为直角三角形.

故选：B

9．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100血液中酒精含量在20~80之间为酒后驾车，80及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（       ）（参考数据：，）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】根据题意列出不等式，利用指对数幂的互化和对数的运算公式即可解出不等式.

【详解】设该驾驶员至少需经过x个小时才能驾驶汽车，则，所以，则，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车.

故选：C

10．已知实数a，b满足，，则（       ）

A．-2 B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】由已知构造函数，利用，，及函数的单调性、奇偶性即可得出结果.

【详解】构建函数，则为奇函数，且在上单调递增.

由，，

得，，所以.

故选：B.

11．已知F是双曲线的右焦点，过F且垂直于x轴的直线交E于A，B两点，若E的渐近线上恰好存在四个点，，，，使得，则E的离心率的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点，则必有，又当圆M经过原点时此时以AB为直径的圆M上与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足，从而得出答案.

【详解】由题意，由得，双曲线的渐近线方程为

所以，由，

可知，，，在以AB为直径的圆M上，圆的半径为

即以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有四个不同的交点

当圆M与渐近线相切时，圆心到渐近线的距离，

则必有，即，则双曲线E的离心率，所以

又当圆M经过原点时，，解得E的离心率为，

此时以AB为直径的圆M与双曲线E的渐近线有三个不同的交点，不满足条件.

所以E的离心率的取值范围是.

故选：D

12．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为（       ）

①，②，③，，④

A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④

【答案】C

【分析】根据题意可知其导函数上存在两点的导函数值乘积为；对每一个函数进行求导，逐个判断即可.

【详解】，所以，其导函数上存在两点的导函数值乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件；

，所以恒成立，不满足条件；

，，所以，其导函数上存在两点的导函数值乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件；

，所以，函数单调递增，且，，其导函数上存在两点的导函数值的乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件.

故选：C.

二、填空题

13．已知平面向量，满足，则与夹角的大小为___________.

【答案】

【分析】将等式两边平方，利用向量的数量积和夹角公式即可求解.

【详解】知平面向量，满足，则与夹角的大小

由两边平方得，

即，

因为，所以，

所以，

得.

故答案为：.

14．如图所示，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结.若从该奥林匹克标志的五个环圈中任取2个，则这2个环圈恰好相交的概率为___________.

【答案】

【分析】利用古典概型求概率.

【详解】从该奥林匹克标志的五个环圈中任取2个，共有10种情况，其中这2个环圈恰好相交的情况有4种，则所求的概率.

故答案为：.

15．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为___________.

【答案】12

【分析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案.

【详解】由得，

设，，

由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点，

，，，

所以，

所以该光线经过的路程为12.

故答案为：12.

16．已知为正方体表面上的一个动点，，是棱延长线上的一点，且，若，则动点运动轨迹的长为___________.

【答案】

【分析】由题意可知，且点的轨迹是以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，作出草图，根据弧长公式即可求出结果.

【详解】因为，是棱延长线上的一点，且，所以，

由勾股定理，可知，

因为，所以点的轨迹是以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如下如所示：

所以动点运动轨迹在平面上的交的弧线是以为圆心，为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为；在平面上的交的弧线是以为圆心，为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为；在平面上的交的弧线是以为圆心，为半径的圆弧，其中该圆弧所对圆心角为；

所以动点运动轨迹的长为.

故答案为：.

三、解答题

17．为加强环境保护，治理空气污染，某环境监测部门对某市空气质量状况进行调研，随机抽查了该市100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：）的数据，得到如下表格：

(1)分别估计该市一天的空气中PM2.5浓度在内和浓度在内的概率.

(2)根据以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为该市一天的空气中PM2.5浓度与浓度有关.

附：，其中..

【答案】(1)；

(2)列联表答案见解析，有95%的把握认为该市一天的空气中PM2.5浓度与浓度有关

【分析】（1）根据表格已知数据直接计算即可得出结果.

（2）根据已知表格完善列联表，计算,根据临界值表对比即可得出结论.

【详解】(1)由表可知，估计该市一天的空气中PM2.5浓度在内的概率为，

估计该市一天的空气中浓度在内的概率为.

(2)列联表如下：

由列联表得.

所以有95%的把握认为该市一天的空气中PM2.5浓度与浓度有关.

18．已知在数列中，，，且该数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)已知是数列的前n项和，且，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接由，可得数列为等差数列，进而利用等差数列求通项即可；

（2）由，展开直接求和即可.

【详解】(1)由题意得，

所以数列为等差数列，

又，，所以数列的公差为，

所以，即.

(2)由（1）知

，

则.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，，M为BC的中点，，.

(1)证明：；

(2)求点M到平面PAD的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在中，根据余弦定理求出，从而可证明；结合条件，根据线面垂直的判定定理即可证明平面PDM，从而可证明结论；

（2）根据等积法，即可求出点M到平面PAD的距离.

【详解】(1)在中，，，，由余弦定理可得，

所以，所以.

又因为，且，所以平面PDM，

而平面PDM，所以，又，所以.

(2)因为，，AB与DM相交，所以平面ABCD，

连接AM，因为面，面，所以，，

在中，由余弦定理，可得，又因为，所以.

如图，作，且交AD于点E，连接PE，

因为，，，所以平面PEM，

又因为平面PEM，所以，

易知，故，所以.

，所以.

设点M到平面PAD的距离为h，则，解得.

20．已知椭圆的焦距为4，点在G上.

(1)求椭圆G的方程；

(2)过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；

（2）设l的方程为，，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，根据得到，即得直线l的方程.

【详解】(1)解：椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，.

因为点在G上，所以，

所以，.

所以椭圆G的方程是.

(2)解：显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，

将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，

则，.

因为，所以，则，即，

由，得，.

所以，解得，即，

所以直线l的方程为.

21．已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围.

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增

(2)

【分析】（1）研究当时的导数的符号即可讨论得到的单调性；

（2）对原函数求导，对a的范围分类讨论即可得出答案.

【详解】(1)当时，，

令，则，所以在上单调递增.

又因为，所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

(2)，且.

①当时，由（1）可知当时，所以在上单调递增，则，符合题意.

②当时，，不符合题意，舍去.

③当时，令，则，

则，，当时，，所以在上单调递减，

当时，，不符合题意，舍去.

综上，a的取值范围为.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．

22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.

(1)说明曲线C是什么曲线，并写出曲线C的一个参数方程；

(2)设P为曲线C上的一个动点，P到x，y轴的距离分别为，，求的最大值.

【答案】(1)曲线C是焦点在y轴上的椭圆，参数方程为（为参数）

(2)5

【分析】（1）先化简极坐标方程，然后根据极坐标系方程转换为直角坐标系方程，即；

（2）利用椭圆的对称性，用椭圆的一个参数方表示出距离，然后求出最值即可

【详解】(1)由化简可得：

则可化为：

由代入上式后可得：

故曲线C是焦点在y轴上的椭圆

故曲线C的一个参数方程为：，（为参数）

(2)由（1），并结合椭圆的对称性，不妨设，

则有：，

故有：

可得：当时，取得最大值，且最大值为5

23．已知函数.

(1)求不等式的解集.

(2)若不等式的解集为M，且a，证明：.

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）分和两种情况进行讨论，分别求出的值，从而可求不等式的解集；

（2）根据作差法只需证明即可，结合a，，不等式即可得以证明.

【详解】(1)当时，，由，得，所以；

当时，，由，得，所以.

综上，不等式的解集为.

(2)易知或，

，

因为a，，所以，，所以，

所以.