专题3.2 立方根【知识讲解+专项练习】（含解析）-【 课堂】2021-2022学年八年级数学上册 知识讲练一本全（湘教版）

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专题3.2 立方根（知识讲解） 【学习目标】⒈了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.⒉了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.⒊体会一个数的立方根的惟一性.【知识梳理】(1)正方体的体积等于棱长的立方；(2)一个正数的立方是正数，一个负数的立方是负数．注意：(1)能准确找到等于给定数的立方的一个数；(2)一个正数的立方根是正数；0的立方根是0；一个负数的立方根是负数，注意不能丢掉负号．【典型例题】【类型一】求一个数的立方根【例1】求下列各数的立方根．（1）；     （2）；        （3）．【解析】根据立方根的计算方法可以解答本题．解：（1）；   （2）；（3）．【变式训练1】的立方根是（        ） A.士 B. C. D.【答案】C【变式训练2】的立方根是________； 的平方根是________. 【答案】,【变式训练3】已知正数的两个平方根是和，则正数的立方根是________. 【答案】【类型二】立方根与平方根的综合问题【例2】已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．【解析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，从而解出x，y，最后代入x2＋y2，求其算术平方根即可．解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6.∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入解得y＝8.∵x2＋y2＝68＋82＝100，∴x2＋y2的算术平方根为10.【变式训练1】已知正数工的两个平方根分别是和，则的立方根为（        ） A. B. C. D.【答案】A【变式训练2】已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是，则的值为________． 【答案】【解析】∵   正数的两个平方根分别是和，∴   ，解得：，∵   的立方根是，∴   ，∴   ．【变式训练3】已知的立方根是，的算术平方根是，求的平方根． 解：∵   的立方根是，∴   ，解得.∵    的算术平方根是，∴   ，解得，∴   .∵   的平方根是，∴   的平方根是.【类型三】计算【例3】计算：；     .解：原式 . 原式 . 【变式训练】计算：；  .解：原式.原式.【类型四】求的值【例4】求下列各式中的值：  ；         .【解析】由题意得到，开平方即可；  由题意得到，开立方即可；解： ,    则，∴   .，∴   ，   ，∴   ，   解得.【变式训练】求下列各式中的：  ；                     . 解：，    ，         .  ，    ， ，       . 【类型五】立方根的实际应用【例5】一个正方体的体积是，现将它锯成块同样大小的正方体小木块．  （1）求每个小正方体的棱长．（2）现有一张面积为长方形木板，已知长方形的长是宽的倍，若把以上小正方体排放在这张长方形木板上，且只排放一层，最多可以放几个小正方体？请说明理由．【解析】（1）要先根据正方体的体积即可求出每个小正方体的棱长；（2）设长方形宽为，可得＝，再根据算术平方根的定义解答即可．解：（1），      所以立方体棱长为；        最多可放个．92设长方形宽为，可得：＝，   ＝，∵   ，∴   ＝，    ，横排可放个，竖排只能放个，＝个．   所以最多可放个． 【变式训练】如图，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，体积为．（1）求出这个魔方的棱长．（2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．【解析】（1）立方体的体积等于棱长的次方，开立方即可得出棱长；（2）根据魔方的棱长为，所以小立方体的棱长为，阴影部分由个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．解:（1）．（2）∵   魔方的棱长为，    ∴   小立方体的棱长为，∴   阴影部分面积为：＝，边长为：．