湖南省长沙市明德天心中学2022年中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．2017年新设了雄安新区，周边经济受到刺激综合实力大幅跃升，其中某地区生产总值预计可增长到305.5亿元其中305.5亿用科学记数法表示为（    ）

A．305.5×104    B．3.055×102    C．3.055×1010    D．3.055×1011

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，下列各式中正确的是（　　）

A．a=b•cosA B．c=a•sinA C．a•cotA=b D．a•tanA=b

3．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°

4．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（　　）

A．5 B．10 C．10 D．15

5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，则可列方程组为（    ）

A． B．

C． D．

6．若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（　　）

A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5

7．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　）

A．16 B．17 C．18 D．19

8．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）

A．40° B．45° C．50° D．55°

9．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且，则（　　）

A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些

C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些

10．潍坊市2018年政府工作报告中显示，潍坊社会经济平稳运行，地区生产总值增长8%左右，社会消费品零售总额增长12%左右，一般公共预算收入539.1亿元，7家企业入选国家“两化”融合贯标试点，潍柴集团收入突破2000亿元，荣获中国商标金奖．其中，数字2000亿元用科学记数法表示为（　　）元．（精确到百亿位）

A．2×1011    B．2×1012    C．2.0×1011    D．2.0×1010

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是_______.

12．已知关于x的方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=﹣1，则另一根为_____．

13．一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板固定不动，把含30°角的三角板绕直角顶点沿逆时针方向匀速旋转一周，第一秒旋转5°，第二秒旋转10°，第三秒旋转5°，第四秒旋转10°，…按此规律，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为_____．

14．计算：a6÷a3=_________．

15．分解因式：xy2﹣2xy+x＝_____．

16．为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了13份试卷成绩，结果如下：3个140分，4个135分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分．则这组数据的中位数为______分．

17．计算：

（1）（）2=_____；

（2） =_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图,矩形摆放在平面直角坐标系中,点在轴上,点在轴上,.

(1)求直线的表达式;

(2)若直线与矩形有公共点，求的取值范围;

(3)直线与矩形没有公共点，直接写出的取值范围.

19．（5分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：这项被调查的总人数是多少人？试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．

20．（8分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于点O，交BC于点E，AD∥BC，连接CD．

（1）求证：AO＝EO；

（2）若AE是△ABC的中线，则四边形AECD是什么特殊四边形？证明你的结论．

21．（10分）计算：

（1）﹣12018+|﹣2|+2cos30°；

（2）（a+1）2+（1﹣a）（a+1）；

22．（10分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞1．

（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；

（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．

23．（12分）无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．

（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；

（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？

24．（14分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1:，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

解：305.5亿=3.055×1．故选C．

2、C

【解析】

∵∠C=90°，

∴cosA=，sinA= ，tanA=，cotA=，

∴c·cosA=b，c·sinA=a，b·tanA=a，a·cotA=b，

∴只有选项C正确，

故选C.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义并且灵活运用是解题的关键.

3、C

【解析】
解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，

∴OM2+ON2=MN2，

∴∠MON=90°，

∵∠EOM=20°，

∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．

故选C．

【点睛】

本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键．

4、B

【解析】

作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示，

∵AE=CG，BE=BE′，

∴E′G′=AB=10，

∵GG′=AD=5，

∴E′G=，

∴C四边形EFGH=2E′G=10，

故选B．

【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，矩形的性质等，根据题意正确添加辅助线是解题的关键．

5、B

【解析】
设大马有匹，小马有匹，根据题意可得等量关系：大马数+小马数=100，大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程即可．

【详解】

解：设大马有匹，小马有匹，由题意得：

，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．

6、C

【解析】
根据函数图象知：一次函数过点（2，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b的关系式代入k（x﹣3）﹣b＞0中进行求解即可．

【详解】

解：∵一次函数y=kx﹣b经过点（2，0），

∴2k﹣b=0，b=2k．

函数值y随x的增大而减小，则k＜0；

解关于k（x﹣3）﹣b＞0，

移项得：kx＞3k+b，即kx＞1k；

两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜1．

故选C．

【点睛】

本题考查一次函数与一元一次不等式．

7、A

【解析】
一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.

8、D

【解析】

试题分析：如图，

连接OC，

∵AO∥DC，

∴∠ODC=∠AOD=70°，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD=70°，

∴∠COD=40°，

∴∠AOC=110°，

∴∠B=∠AOC=55°．

故选D．

考点：1、平行线的性质；2、圆周角定理；3等腰三角形的性质

9、B

【解析】

试题解析：方差越小，波动越小.

数据B的波动小一些.

故选B.

点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

10、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

2000亿元=2.0×1．
故选：C．

【点睛】

考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、2

【解析】
设MN=y，PC=x，根据正方形的性质和勾股定理列出y1关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．

【详解】

作MG⊥DC于G，如图所示：

设MN=y，PC=x，

根据题意得：GN=2，MG=|10-1x|，

在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN1=MG1+GN1，

即y1=21+（10-1x）1．

∵0＜x＜10，

∴当10-1x=0，即x=2时，y1最小值=12，

∴y最小值=2．即MN的最小值为2；

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键．

12、1

【解析】
设另一根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系得出-1•x2=-1，即可求出答案．

【详解】

设方程的另一个根为x2，

则-1×x2=-1，

解得：x2=1，

故答案为1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=-，x1x2=．

13、14s或38s．

【解析】

试题解析：分两种情况进行讨论:

如图：

旋转的度数为：

每两秒旋转

如图：

旋转的度数为：

每两秒旋转

故答案为14s或38s.

14、a1

【解析】
根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可

【详解】

a6÷a1=a6﹣1=a1．故答案是a1

【点睛】

同底数幂的除法运算性质

15、x（y-1）2

【解析】

分析：先提公因式x，再用完全平方公式把继续分解.

详解：

=x()

=x()2.

故答案为x()2.

点睛：本题考查了因式分解，有公因式先提公因式，然后再用公式法继续分解，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.

16、1

【解析】
∵13份试卷成绩，结果如下：3个140分，4个1分，2个130分，2个120分，1个100分，1个80分，

∴第7个数是1分，

∴中位数为1分，

故答案为1．

17、        

【解析】
（1）直接利用分式乘方运算法则计算得出答案；

（2）直接利用分式除法运算法则计算得出答案．

【详解】

（1）（）2=；

故答案为；

（2） ==．

故答案为．

【点睛】

此题主要考查了分式的乘除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）；（2）；（3）

【解析】
（1）由条件可求得A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线AC的表达式；

（2）结合图形，当直线平移到过C、A时与矩形有一个公共点，则可求得b的取值范围；

（3）由题意可知直线l过（0，10），结合图象可知当直线过B点时与矩形有一个公共点，结合图象可求得k的取值范围．

【详解】

解:

(1)

，

设直线表达式为,

，解得

直线表达式为;

(2) 直线可以看到是由直线平移得到,

当直线过时，直线与矩形有一个公共点,如图1，

当过点时,代入可得,解得.

当过点时,可得

直线与矩形有公共点时，的取值范围为;

(3) ,

直线过，且,

如图2，直线绕点旋转,当直线过点时,与矩形有一个公共点,逆时针旋转到与轴重合时与矩形有公共点,

当过点时,代入可得,解得

直线:与矩形没有公共点时的取值范围为

【点睛】

本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、直线的平移、旋转及数形结合思想等知识．在（1）中利用待定系数法是解题的关键，在（2）、（3）中确定出直线与矩形OABC有一个公共点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

19、（1）50；（2）108°；（3）．

【解析】

分析：（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．

本题解析：解：(1)调查的总人数是：19÷38%＝50(人)．C组的人数有50－15－19－4＝12(人)，补全条形图如图所示．

(2)画树状图如下．共有12种等可能的结果，恰好选中甲的结果有6种，∴P(恰好选中甲)＝．

点睛：本题考查了列表法与树状图、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

20、（1）详见解析；（2）平行四边形.

【解析】
（1）由“三线合一”定理即可得到结论；
（2）由AD∥BC，BD平分∠ABC，得到∠ADB=∠ABD，由等腰三角形的判定得到AD=AB，根据垂直平分线的性质有AB=BE，于是AD=BE，进而得到AD=EC，根据平行四边形的判定即可得到结论．

【详解】

证明：（1）∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，

∴AO=EO；

（2）平行四边形，

证明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AD=AB，

∵OA=OE，OB⊥AE，

∴AB=BE，

∴AD=BE，

∵BE=CE，

∴AD=EC，

∴四边形AECD是平行四边形．

【点睛】

考查等腰直角三角形的性质以及平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.

21、 (1)1;(2)2a+2

【解析】
（1）根据特殊角锐角三角函数值、绝对值的性质即可求出答案;

（2）先化简原式，然后将x的值代入原式即可求出答案．

【详解】

解:（1）原式=﹣1+2﹣+2×=1;

（2）原式=a2+2a+1+1﹣a2=2a+2.

【点睛】

本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

22、（1）m=1；（2）点P坐标为（﹣2m，1）或（6m，1）．

【解析】
（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解

析式为y=，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1==，y2==，然后根据y1﹣y2=4列出方程﹣=4，解方程即可求出m的值；

（2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程••PE=8，求出PE=4m，再由E（2m，1），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．

【详解】

解：（1）设反比例函数的解析式为y=，

∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），

∴k=﹣4×（﹣3）=12，

∴反比例函数的解析式为y=，

∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），

∴y1==，y2==，

∵y1﹣y2=4，

∴﹣=4，

∴m=1，

经检验，m=1是原方程的解,

故m的值是1；

（2）设BD与x轴交于点E,

∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，

∴D（2m，），BD=﹣=，

∵三角形PBD的面积是8，

∴BD•PE=8，

∴••PE=8，

∴PE=4m，

∵E（2m，1），点P在x轴上，

∴点P坐标为（﹣2m，1）或（6m，1）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．

23、（1）日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=﹣50x+850；（2）该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元．

【解析】
（1）设日均销售p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为：p=kx+b（k≠0），把（7，500），（12，250）代入，得到关于k，b的方程组，解方程组即可；（2）设销售单价应定为x元，根据题意得，（x-5）•p-250=1350，由（1）得到p=-50x+850，于是有（x-5）•（-50x+850）-250=1350，然后整理，解方程得到x1=9，x2=13，满足7≤x≤12的x的值为所求；

【详解】

（1）设日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=kx+b，

根据题意得，

解得k=﹣50，b=850，

所以日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=﹣50x+850；

（2）根据题意得一元二次方程  （x﹣5）（﹣50x+850）﹣250=1350，

解得x1=9，x2=13（不合题意，舍去），

∵销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，

∴x=13不合题意，

答：若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程及一次函数的应用，解题的关键是通过题目和图象弄清题意，并列出方程或一次函数，用数学知识解决生活中的实际问题．

24、2.7米

【解析】

解：作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G

在Rt△ADE中

∵tan∠ADE=,

∴DE="AE" ·tan∠ADE=15

∵山坡AB的坡度i=1：，AB=10

∴BG=5，AG=，

∴EF=BG=5，BF=AG+AE=+15

∵∠CBF=45°

∴CF=BF=+15

∴CD=CF+EF—DE=20—10≈20—10×1.732=2.68≈2.7

答：这块宣传牌CD的高度为2.7米．