黑龙江省哈尔滨市风华中学2022年中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）

A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1

2．已知，代数式的值为（    ）

A．－11 B．－1 C．1 D．11

3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　）

A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440

C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为（　　）

A．13 B．17 C．18 D．25

5．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5

6．如图，数轴上的四个点A，B，C，D对应的数为整数，且AB＝BC＝CD＝1，若|a|+|b|＝2，则原点的位置可能是（　　）

A．A或B B．B或C C．C或D D．D或A

7．如图，l1∥l2，AF：FB=3：5，BC：CD=3：2，则AE：EC=（　　）

A．5：2 B．4：3 C．2：1 D．3：2

8．在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H．∠CBE=∠BAD，有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△BEC=S△ADF．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）

A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3

10．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（　　）

A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=6

11．如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为(   )

A．2+ B．2+2 C．4 D．3

12．计算(－ab2)3÷(－ab)2的结果是(　　)

A．ab4    B．－ab4    C．ab3    D．－ab3

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是_____．

14．如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为______．

15．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．

16．如图，已知点A是一次函数y＝x(x≥0)图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y＝ (x＞0)的图象过点B，C，若△OAB的面积为5，则△ABC的面积是________．

17．已知线段c是线段a和b的比例中项，且a、b的长度分别为2cm和8cm，则c的长度为_____cm．

18．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则x2+y2＝_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，在Rt△ABC中，，点在边上，⊥，点为垂足，，∠DAB=450，tanB=.

(1)求的长；

(2)求的余弦值．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴于点P，二次函数y＝﹣x2+x+m的图象与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），且+＝17

（1）求二次函数的解析式和该二次函数图象的顶点的坐标．

（2）若二次函数y＝﹣x2+x+m的图象与一次函数y＝﹣x+2的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧），在x轴上是否存在点M，使得△MAB是以∠ABM为直角的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（6分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为_____．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线（x>0）交于点．

求a，k的值；已知直线过点且平行于直线，点P（m，n）（m>3）是直线上一动点，过点P分别作轴、轴的平行线，交双曲线（x>0）于点、，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域（不含边界）记为．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．

①当时，直接写出区域内的整点个数；②若区域内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围．

23．（8分）先化简，再求值：a（a﹣3b）+（a+b）2﹣a（a﹣b），其中a=1，b=﹣

24．（10分）如图，在中，,以边为直径作⊙交边于点,过点作于点，、的延长线交于点.

求证：是⊙的切线；若,且,求⊙的半径与线段的长.

25．（10分）计算：4sin30°+（1﹣）0﹣|﹣2|+（）﹣2

26．（12分）如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高14米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：1．

求:（1）背水坡AB的长度．

（1）坝底BC的长度．

27．（12分）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝1．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、D

【解析】

试题分析：∵代数式有意义，

∴，

解得x≥0且x≠1．

故选D．

考点：二次根式，分式有意义的条件．

2、D

【解析】
根据整式的运算法则，先利用已知求出a的值，再将a的值带入所要求解的代数式中即可得到此题答案.

【详解】

解：由题意可知：，

原式

故选：D．

【点睛】

此题考查整式的混合运算，解题的关键在于利用整式的运算法则进行化简求得代数式的值

3、A

【解析】
根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．

【详解】

解：由题意可得，

1000（1+x）2＝1000+440，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.

4、C

【解析】

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF为线段AB的垂直平分线，在Rt△ABC中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=AB，所以△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.

5、B

【解析】

试题分析：根据平行线分线段成比例可得，然后根据AC=1，CE=6，BD=3，可代入求解DF=1．2．

故选B

考点：平行线分线段成比例

6、B

【解析】
根据AB=BC=CD=1，|a|+|b|=2，分四种情况进行讨论判断即可．

【详解】

∵AB＝BC＝CD＝1，

∴当点A为原点时，|a|+|b|＞2，不合题意；

当点B为原点时，|a|+|b|＝2，符合题意；

当点C为原点时，|a|+|b|＝2，符合题意；

当点D为原点时，|a|+|b|＞2，不合题意；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了数轴以及绝对值，解题时注意：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

7、D

【解析】
依据平行线分线段成比例定理，即可得到AG=3x，BD=5x，CD=BD=2x，再根据平行线分线段成比例定理，即可得出AE与EC的比值．

【详解】

∵l1∥l2，

∴，

设AG=3x，BD=5x，

∵BC：CD=3：2，

∴CD=BD=2x，

∵AG∥CD，

∴．

故选D．

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

8、C

【解析】
根据题意和图形，可以判断各小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．

【详解】

∵在△ABC中，AD和BE是高，

∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，

∵点F是AB的中点，

∴FD=AB，FE=AB，

∴FD=FE，①正确；

∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC，

∵AD⊥BC，

∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，

在△AEH和△BEC中， ，

∴△AEH≌△BEC（ASA），

∴AH=BC=2CD，②正确；

∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，

∴△ABD∽△BCE，

∴，即BC•AD=AB•BE，

∵∠AEB=90°，AE=BE，

∴AB=BE

BC•AD=BE•BE，

∴BC•AD=AE2；③正确；

设AE=a，则AB=a，

∴CE=a﹣a，

∴=，

即 ，

∵AF=AB，

∴ ，

∴S△BEC≠S△ADF，故④错误，

故选：C．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

9、C

【解析】

【分析】根据角平分线的作图方法可判断图1，根据图2的作图痕迹可知D为BC中点，不是角平分线，图3中根据作图痕迹可通过判断三角形全等推导得出AD是角平分线.

【详解】图1中，根据作图痕迹可知AD是角平分线；

图2中，根据作图痕迹可知作的是BC的垂直平分线，则D为BC边的中点，因此AD不是角平分线；

图3：由作图方法可知AM=AE，AN=AF，∠BAC为公共角，∴△AMN≌△AEF，

∴∠3=∠4，

∵AM=AE，AN=AF，∴MF=EN，又∵∠MDF=∠EDN，∴△FDM≌△NDE，

∴DM=DE，

又∵AD是公共边，∴△ADM≌△ADE，

∴∠1=∠2，即AD平分∠BAC，

故选C.

【点睛】本题考查了尺规作图，三角形全等的判定与性质等，熟知角平分的尺规作图方法、全等三角形的判定与性质是解题的关键.

10、D

【解析】
本题应对原方程进行因式分解，得出（x-6）（x+1）=1，然后根据“两式相乘值为1，这两式中至少有一式值为1．”来解题．

【详解】

x2-5x-6=1

（x-6）（x+1）=1

x1=-1，x2=6

故选D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

11、B

【解析】

分析：根据线段垂直平分线的性质，把三角形的周长问题转化为线段和的问题解决即可.

详解：∵DE垂直平分AB，

∴BE=AE，

∴AE+CE=BC=2，

∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，

故选B．

点睛：本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

12、B

【解析】

根据积的乘方的运算法则，先分别计算积的乘方，然后再根据单项式除法法则进行计算即可得，

(-ab2)3÷(-ab)2

=-a3b6÷a2b2

=-ab4，

故选B.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、2:1

【解析】

先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：1，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：1．

故答案为2：1.

点睛：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．

14、1.5或3

【解析】

根据矩形的性质，利用勾股定理求得AC==5，由题意，可分△EFC是直角三角形的两种情况：

如图1，当∠EFC=90°时，由∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，可知点F在对角线AC上，且AE是∠BAC的平分线，所以可得BE=EF，然后再根据相似三角形的判定与性质，可知△ABC∽△EFC，即，代入数据可得，解得BE=1.5；

如图2，当∠FEC=90°，可知四边形ABEF是正方形，从而求出BE=AB=3.

故答案为1.5或3.

点睛：此题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，利用勾股定理列方程求解是常用的方法，本题难点在于分类讨论，做出图形更形象直观.

15、40

【解析】

如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，

故答案为：40.

16、

【解析】
如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．设AB=2a，则BE=AE=CE=a，再设A（x，x），则B（x，x+2a）、C（x+a，x+a），再由B、C在反比例函数的图象上可得x（x+2a）=（x+a）（x+a），解得x=3a，由△OAB的面积为5求得ax=5，即可得a2=，根据S△ABC=AB•CE即可求解.

【详解】

如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E．

∵AB⊥x轴，

∴CD⊥AB，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴BE=AE=CE，

设AB=2a，则BE=AE=CE=a，

设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a），

∵B、C在反比例函数的图象上，

∴x（x+2a）=（x+a）（x+a），

解得x=3a，

∵S△OAB=AB•DE=•2a•x=5，

∴ax=5，

∴3a2=5，

∴a2=，

∴S△ABC=AB•CE=•2a•a=a2=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．

17、1

【解析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段长度不能为负．

【详解】

根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．

所以c2＝2×8，

解得c＝±1（线段是正数，负值舍去），

故答案为1．

【点睛】

此题考查了比例线段.理解比例中项的概念，这里注意线段长度不能是负数．

18、17

【解析】
先利用完全平方公式展开，然后再求和.

【详解】

根据（x+y）2=25，x2+y2+2xy=25;（x﹣y）2=9, x2+y2-2xy=9,所以x2+y2=17.

【点睛】

(1)完全平方公式：.

(2)平方差公式：(a+b)(a-b)=.

(3)常用等价变形：

,

,

.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、 (1)3;(2)

【解析】

分析：（1）由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，在直角三角形DEB中，利用锐角三角函数定义求出DE与BE之比，设出DE与BE，由AB=7求出各自的值，确定出DE即可；

    （2）在直角三角形中，利用勾股定理求出AD与BD的长，根据tanB的值求出cosB的值，确定出BC的长，由BC﹣BD求出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．

详解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°．又∵∠DAB=41°，∴DE=AE．在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tanB==，设DE=3x，那么AE=3x，BE=4x．∵AB=7，∴3x+4x=7，解得：x=1，∴DE=3；

    （2）在Rt△ADE中，由勾股定理，得：AD=3，同理得：BD=1．在Rt△ABC中，由tanB=，可得：cosB=，∴BC=，∴CD=，∴cos∠CDA==，即∠CDA的余弦值为．

点睛：本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．

20、（1）y＝﹣x2+x+2＝（x﹣）2+，顶点坐标为（，）；（2）存在，点M（，0）．理由见解析．

【解析】
（1）由根与系数的关系，结合已知条件可得9+4m＝17，解方程求得m的值，即可得求得二次函数的解析式，再求得该二次函数图象的顶点的坐标即可；（2）存在，将抛物线表达式和一次函数y＝﹣x+2联立并解得x＝0或，即可得点A、B的坐标为（0，2）、（，），由此求得PB=， AP=2，过点B作BM⊥AB交x轴于点M，证得△APO∽△MPB，根据相似三角形的性质可得 ，代入数据即可求得MP＝，再求得OM＝，即可得点M的坐标为（，0）．

【详解】

（1）由题意得：x1+x2＝3，x1x2＝﹣2m，

x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝17，即：9+4m＝17，

解得：m＝2，

抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2＝（x﹣）2+，

顶点坐标为（，）；

（2）存在，理由：

将抛物线表达式和一次函数y＝﹣x+2联立并解得：x＝0或，

∴点A、B的坐标为（0，2）、（，），

一次函数y＝﹣x+2与x轴的交点P的坐标为（6，0），

∵点P的坐标为（6，0），B的坐标为（，），点B的坐标为（0，2）、

∴PB＝=，

AP==2

过点B作BM⊥AB交x轴于点M，

∵∠MBP＝∠AOP＝90°，∠MPB＝∠APO，

∴△APO∽△MPB，

∴ ，∴ ，

∴MP＝，

∴OM＝OP﹣MP＝6﹣＝，

∴点M（，0）．

【点睛】

本题是一道二次函数的综合题，一元二次方程根与系数的关系、直线与抛物线的较大坐标．相似三角形的判定与性质，题目较为综合，有一定的难度，解决第二问的关键是求得PB、AP的长，再利用相似三角形的性质解决问题．

21、11

【解析】
将x=2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．

【详解】

将x=2代入方程，得：1﹣1m+3m=0，

解得：m=1．

当m=1时，原方程为x2﹣8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，

解得：x1=2，x2=6，

∵2+2=1＜6，

∴此等腰三角形的三边为6、6、2，

∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=11．

【点睛】

考点：根与系数的关系；一元二次方程的解；等腰三角形的性质

22、（1），；（2）① 3，② .

【解析】
（1）将代入可求出a，将A点坐标代入可求出k；

（2）①根据题意画出函数图像，可直接写出区域内的整点个数；

②求出直线的表达式为，根据图像可得到两种极限情况，求出对应的m的取值范围即可.

【详解】

解：（1）将代入得a=4

将代入，得

（2）①区域内的整点个数是3

②∵直线是过点且平行于直线

∴直线的表达式为

当时，即线段PM上有整点

∴

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数图像的交点问题，正确理解整点的定义并画出函数图像，运用数形结合的思想是解题关键.

23、

【解析】
原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；

【详解】

解：原式=a2﹣3ab+a2+2ab+b2﹣a2+ab

=a2+b2，

当a=1、b=﹣时，

原式=12+（﹣）2

=1+

=．

【点睛】

考查了整式的加减-化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

24、（1）证明参见解析；（2）半径长为，=.

【解析】
（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，连结，则，所以，∵，∴.∴，∴∥.由得出，于是得出结论；（2）由得到，设，则.，，，由，解得值，进而求出圆的半径及AE长.

【详解】

解：（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结，∵，∴.∵，∴.∴，∴∥.∵，∴.∴是⊙的切线；（2）在和中，∵，∴. 设，则.∴，.∵，∴.∴，解得=，则3x=,AE=6×-=6,∴⊙的半径长为，=.

【点睛】

1.圆的切线的判定；2.锐角三角函数的应用.

25、1.

【解析】
按照实数的运算顺序进行运算即可.

【详解】

原式

=1．

【点睛】

本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及绝对值，熟练掌握各个知识点是解题的关键.

26、（1）背水坡的长度为米；（1）坝底的长度为116米.

【解析】
（1）分别过点、作，垂足分别为点、，结合题意求得AM，MN，在中，得BM，再利用勾股定理即可.

（1）在中，求得CN即可得到BC.

【详解】

（1）分别过点、作，垂足分别为点、，

根据题意，可知（米），（米）

在中∵,∴（米）,

∵,∴（米）.

答：背水坡的长度为米．

（1）在中，，

∴（米），

∴（米）

答：坝底的长度为116米.

【点睛】

本题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

27、a2+2a，2

【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a2＋2a−2＝2，即可解答本题.

【详解】

解：

＝

＝

＝a（a+2）

＝a2+2a，

∵a2+2a﹣2＝2，

∴a2+2a＝2，

∴原式＝2．

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．