黑龙江省富锦市第四中学2022年中考二模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　）

A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根

C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根

2．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ）

A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线

C．两点之间，线段最短 D．经过两点，有且仅有一条直线

3．甲、乙、丙三家超市为了促销同一种定价为m元的商品，甲超市连续两次降价20％；乙超市一次性降价40％；丙超市第一次降价30％，第二次降价10％，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是(     )

A．甲 B．乙 C．丙 D．都一样

4．下列运算正确的是（　　）

A．2a2+3a2=5a4 B．（﹣）﹣2=4

C．（a+b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2 D．8ab÷4ab=2ab

5．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）

A．函数图像经过点（2，2）； B．函数图像位于第一、三象限；

C．当时，函数值随着的增大而增大； D．当时，．

6．已知二次函数 图象上部分点的坐标对应值列表如下：

则该函数图象的对称轴是（   ）

A．x=-3 B．x=-2 C．x=-1 D．x=0

7．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）

A．±2 B． C．2 D．4

8．的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3

9．四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（  ）

A．﹣1    B．2    C．0    D．﹣3

10．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．

A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线

C．三条中线 D．三条高

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从地出发到地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达地.甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距地还有____________千米.

12．一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为- 1，则另一个根为            ．

13．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为____m.

14．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是“倍根方程”，那么m的值为_____．

15．当x ________ 时，分式 有意义．

16．如图，矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD则阴影部分的面积为____（结果保留π）

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）已知：如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O经过AB的中点C，与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．

（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并加以证明；

（2）若tanE=，⊙O的半径为3，求OA的长．

18．（8分）已知PA与⊙O相切于点A，B、C是⊙O上的两点

（1）如图①，PB与⊙O相切于点B，AC是⊙O的直径若∠BAC＝25°；求∠P的大小

（2）如图②，PB与⊙O相交于点D，且PD＝DB，若∠ACB＝90°，求∠P的大小

19．（8分）甲、乙、丙、丁四位同学进行乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛． 若确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，恰好选中乙同学的概率是   ．  若随机抽取两位同学，请用画树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

20．（8分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高．

21．（8分）桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同．把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．

（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；

（2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，才能使这个游戏对双方公平？

22．（10分）已知：如图.D是的边上一点，，交于点M，.

（1）求证：；

（2）若，试判断四边形的形状，并说明理由.

23．（12分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，

求证：△ABC≌△DEF．

24．列方程解应用题：

某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小丽家去年12月的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】
根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=-（a+1），当b=a+1时，-1是方程x2+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．

【详解】

∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，

∴，

∴b=a+1或b=-（a+1）．

当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x2+bx+a=0的根；

当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根．

∵a+1≠0，

∴a+1≠-（a+1），

∴1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．

故选D．

【点睛】

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

2、C

【解析】
用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，

∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，

∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，

故选C．

【点睛】

根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．

3、B

【解析】
根据各超市降价的百分比分别计算出此商品降价后的价格，再进行比较即可得出结论．

【详解】

解：降价后三家超市的售价是：

甲为（1-20%）2m=0.64m，

乙为（1-40%）m=0.6m，

丙为（1-30%）（1-10%）m=0.63m，

∵0.6m＜0.63m＜0.64m，

∴此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是乙．

故选：B．

【点睛】

此题考查了列代数式，解题的关键是根据题目中的数量关系列出代数式，并对代数式比较大小．

4、B

【解析】
根据合并同类项的法则、平方差公式、幂的乘方与积的乘方运算法则对各选项依次进行判断即可解答．

【详解】

A. 2a2+3a2=5a2，故本选项错误；

B. (−)-2=4，正确；

C. (a+b)(−a−b)=−a2−2ab−b2，故本选项错误；

D. 8ab÷4ab=2，故本选项错误.

故答案选B.

【点睛】

本题考查了合并同类项的法则、平方差公式、幂的乘方与积的乘方运算法则，解题的关键是熟练的掌握合并同类项的法则、平方差公式、幂的乘方与积的乘方运算法则.

5、C

【解析】
直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．

【详解】

A、关于反比例函数y=-，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误；

B、关于反比例函数y=-，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；

C、关于反比例函数y=-，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；

D、关于反比例函数y=-，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；

故选C．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．

6、C

【解析】
由当x=-2和x=0时，y的值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出对称轴．

【详解】

解：∵x=-2和x=0时，y的值相等，

∴二次函数的对称轴为，

故答案为：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出对称轴是解题的关键．

7、C

【解析】

二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根．

【分析】∵是二元一次方程组的解，∴，解得．

∴．即的算术平方根为1．故选C．

8、B

【解析】
直接利用立方根的定义化简得出答案．

【详解】

因为（-1）3=-1，

=﹣1．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．,

9、D

【解析】

解：∵－1＜－1＜0＜2，∴最小的是－1．故选D．

10、B

【解析】

试题分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．

解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．

故选B．

点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、90

【解析】

【分析】观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的距离为10千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B地，设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，根据等量关系甲车用了小时行驶了全程，乙车行驶的路程为60t1+50t2=240，列方程组求出t2，再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B地的路程.

【详解】甲车先行40分钟（），所行路程为30千米，

因此甲车的速度为（千米/时），

设乙车的初始速度为V乙，则有

，

解得：（千米/时），

因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时），

设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，则有

，解得：，

45×2=90（千米），

故答案为90.

【点评】 本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组进行求解是关键.

12、-1.

【解析】
因为一元二次方程的常数项是已知的，可直接利用两根之积的等式求解．

【详解】

∵一元二次方程x2+mx+1=0的一个根为-1，设另一根为x1，

由根与系数关系：-1•x1=1，

解得x1=-1．

故答案为-1.

13、3

【解析】

试题分析：如图，∵CD∥AB∥MN，

∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，

∴，

即，

解得：AB=3m，

答：路灯的高为3m．

考点：中心投影．

14、-1或-4

【解析】

分析：

设“倍根方程”的一个根为，则另一根为，由一元二次方程根与系数的关系可得，由此可列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.

详解：

由题意设“倍根方程”的一个根为，另一根为，则由一元二次方程根与系数的关系可得：

，

∴，

∴，

化简整理得：，解得 .

故答案为：-1或-4.

点睛：本题解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两根分别为，则.

15、x≠3

【解析】

由题意得

x-3≠0,

∴x≠3.

16、π．

【解析】
如图，连接OE，利用切线的性质得OD=3，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD-S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．

【详解】

连接OE，如图，

∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，

∴OD＝CD＝3，OE⊥BC，

∴四边形OECD为正方形，

∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝S正方形OECD﹣S扇形EOD＝32﹣，

∴阴影部分的面积，

故答案为π．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）AB与⊙O的位置关系是相切，证明见解析；（2）OA=1．

【解析】
（1）先判断AB与⊙O的位置关系，然后根据等腰三角形的性质即可解答本题；

（2）根据题三角形的相似可以求得BD的长，从而可以得到OA的长．

【详解】

解：（1）AB与⊙O的位置关系是相切，

证明：如图，连接OC．

∵OA=OB，C为AB的中点，

∴OC⊥AB．

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵ED是直径，

∴∠ECD=90°．

∴∠E+∠ODC=90°．

又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，

∴∠BCD=∠E．

又∵∠CBD=∠EBC，

∴△BCD∽△BEC．

∴.

∴BC2=BD•BE．

∵，

∴．

∴．

设BD=x，则BC=2x．

又BC2=BD•BE，

∴（2x）2=x（x+6）．

解得x1=0，x2=2．

∵BD=x＞0，

∴BD=2．

∴OA=OB=BD+OD=2+3=1．

【点睛】

本题考查直线和圆的位置关系、等腰三角形的性质、三角形的相似，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

18、（1）∠P=50°；（2）∠P＝45°.

【解析】
（1）连接OB，根据切线长定理得到PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）连接AB、AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据切线的性质得到AB⊥PA，根据等腰直角三角形的性质解答．

【详解】

解：（1）如图①，连接OB．

∵PA、PB与⊙O相切于A、B点，

∴PA＝PB，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°

∴∠PAB＝∠PBA，

∵∠BAC＝25°，

∴∠PBA＝∠PAB＝90°一∠BAC＝65°

∴∠P＝180°-∠PAB－∠PBA＝50°；

（2）如图②，连接AB、AD，

∵∠ACB＝90°，

∴AB是的直径，∠ADB＝90·

∵PD＝DB，

∴PA＝AB．

∵PA与⊙O相切于A点

∴AB⊥PA，

∴∠P＝∠ABP＝45°.

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．

19、 (1);(2)

【解析】
1）由题意可得共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，则可利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】

解:(1)∵甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛,确定甲打第一场,再从其余的三位同学中随机选取一位,∴恰好选到丙的概率是: ;

(2)画树状图得:

∵共有12种等可能的结果,恰好选中甲、乙两人的有2种情况,

∴恰好选中甲、乙两人的概率为:

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

20、树高为 5.5 米

【解析】
根据两角相等的两个三角形相似，可得 △DEF∽△DCB ，利用相似三角形的对边成比例，可得， 代入数据计算即得BC的长，由 AB＝AC+BC ，即可求出树高.

【详解】

∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，  

∴△DEF∽△DCB

∴  ，

∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，

∴，

∴CB＝4（m），

∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）

答：树高为 5.5 米.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．

21、（1）详见解析；（2）4分.

【解析】
（1）根据题意用列表法求出答案；

（2）算出甲乙获胜的概率，从而求出乙胜一次的得分.

【详解】

（1）列表如下：

由列表可得：P（数字之和为5）＝，

（2）因为P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，∴甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为：12÷3＝4分.

【点睛】

本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可.

22、（1）证明见解析；（2）四边形ADCN是矩形，理由见解析.

【解析】
（1）根据平行得出∠DAM＝∠NCM，根据ASA推出△AMD≌△CMN，得出AD＝CN，推出四边形ADCN是平行四边形即可；

（2）根据∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC求出∠MCD＝∠MDC，推出MD＝MC，求出MD＝MN＝MA＝MC，推出AC＝DN，根据矩形的判定得出即可．

【详解】

证明：（1）∵CN∥AB，

∴∠DAM＝∠NCM，

∵在△AMD和△CMN中，

∠DAM＝∠NCM

MA＝MC

∠DMA＝∠NMC，

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴AD＝CN，

又∵AD∥CN，

∴四边形ADCN是平行四边形，

∴CD＝AN；

（2）解：四边形ADCN是矩形，

理由如下：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，

∴∠MCD＝∠MDC，

∴MD＝MC，

由（1）知四边形ADCN是平行四边形，

∴MD＝MN＝MA＝MC，

∴AC＝DN，

∴四边形ADCN是矩形．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．

23、证明见解析

【解析】

试题分析：首先根据AF=DC，可推得AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；再根据已知AB=DE，BC=EF，根据全等三角形全等的判定定理SSS即可证明△ABC≌△DEF．

试题解析：∵AF=DC，

∴AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SSS） 

24、2.4元/米

【解析】
利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，进而得出等式即可．

【详解】

解：设去年用水的价格每立方米元，则今年用水价格为每立方米元

由题意列方程得：

解得

经检验，是原方程的解

(元/立方米)

答：今年居民用水的价格为每立方米元．

【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．