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高考专题五万有引力应用创新题组
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这是一份高考专题五万有引力应用创新题组，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
专题五 万有引力与航天
应用创新题组
(时间:60分钟 满分:110分)
一、单项选择题(每小题4分,共32分)
1.(2021湖北孝感2月调研,5)如图所示是“嫦娥三号”环月变轨的示意图。在Ⅰ圆轨道运行的“嫦娥三号”通过变轨后绕Ⅱ圆轨道运行,则下列说法中正确的是( )
A.“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的线速度大于在Ⅱ轨道的线速度
B.“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的角速度大于在Ⅱ轨道的角速度
C.“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的运行周期大于在Ⅱ轨道的运行周期
D.“嫦娥三号”由Ⅰ轨道通过加速才能变轨到Ⅱ轨道
答案 C “嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动,万有引力提供圆周运动的向心力,GMmr2=mv2r=mrω2=mr(2πT)2,由此可知,线速度v=GMr,Ⅰ轨道上半径大,线速度小,选项A错误;角速度ω=GMr3,Ⅰ轨道上半径大,角速度小,选项B错误;周期T=4π2r3GM,Ⅰ轨道上半径大,周期大,选项C正确;“嫦娥三号”由Ⅰ轨道通过减速做向心运动才能变轨到Ⅱ轨道,选项D错误。故选C项。
解题关键 利用向心力公式解题,从GMmr2=mv2r=mrω2=mr(2πT)2知,除了周期随着半径的增大而增大外,加速度、线速度、角速度都是随着半径的增大而减小的。
2.(2022届临澧一中月考二科技工程)2020年5月12日,我国快舟一号甲运载火箭以“一箭双星”方式成功将“行云二号”卫星发射升空,卫星进入预定轨道。如图所示,设地球半径为R,地球表面的重力加速度为g0,卫星在半径为R的近地圆形轨道Ⅰ上运动,到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道的远地点B时,再次点火进入轨道半径为4R的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动,设卫星质量保持不变。则( )
A.卫星在轨道Ⅲ的运行速率大于g0R
B.卫星在轨道Ⅰ上稳定飞行经过A处的加速度等于卫星在轨道Ⅱ上稳定飞行经过A的加速度
C.卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的周期之比为8∶1
D.卫星在轨道Ⅰ和Ⅱ上的机械能相等
答案 B 卫星在轨道Ⅰ上绕地球表面飞行,重力提供向心力,有mg0=mv02R,解得v0=g0R,由越高越慢的规律可知,卫星在轨道Ⅲ的运行速率小于g0R,A错误;根据牛顿第二定律有GMmr2=ma,解得a=GMr2,可知在同一点,r相同,则加速度相同,故B正确;由越高越慢的规律可知,卫星在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期,故C错误;由开普勒第三定律可知R3T12=(4R)3T32,解得T1∶T3=1∶8,C错误;卫星要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ,必须在A点点火加速,机械能增大,所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能,故D错误。
易错警示 在A点加速后由a=v2r得出,由于v增大,故a增大,这个错误推导问题出在哪呢?这就要知道公式GMmr2与mv2r中r的区别,前者是卫星到地心的距离,加速前后不变,后者是卫星的轨道半径,加速后r为椭圆轨道在该点的曲率半径,加速后变大。
3.(2022届湖南英才大联考科技工程)发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆形轨道1,然后经点火使其沿椭圆轨道2运行,最后再次点火将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点,轨道2、3相切于P点,则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,以下说法正确的是( )
A.卫星在轨道2上的运行周期大于它在轨道3上的运行周期
B.卫星在轨道1上的角速度小于它在轨道3上的角速度
C.卫星在圆轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过P点时的速度
D.卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度
答案 C 由开普勒第三定律知T2ω3,B错。由GMmr2=mv2r,得v=GMr,知卫星在圆轨道1上经过Q点时的速度v1Q大于它在圆轨道3上经过P点时的速度v3P,即v1Q>v3P,卫星由椭圆轨道2经过P点需点火加速才能进入圆轨道3,由此可知v2Pv3P>v2P,C对。不论是在椭圆轨道2上经过P点,还是在轨道3上经过P点,都满足GMmr2=ma,即卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度,D错。
4.(2022届雅礼中学联考自然现象)引力波的发现证实了爱因斯坦100年前的预测,弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”。双星的运动是产生引力波的来源之一,假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成,这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得a星的周期为T,a、b两颗星中心间距离为L,两颗星的轨道半径之差为Δr,且轨道半径大小关系满足ra>rb,则( )
A.a星做圆周运动的线速度大小为π(L+Δr)T
B.a、 b两颗星的质量之比为L+ΔrL-Δr
C.b星做圆周运动的周期为L-ΔrL+ΔrT
D.如果双星的总质量一定,双星间距变大,则它们的转动周期将变小
答案 A 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,则周期相等,所以b星的周期为T,故C错误;由题可知ra+rb=L,ra-rb=Δr,解得ra=L+Δr2,rb=L-Δr2,则a星的线速度大小为va=2πraT=π(L+Δr)T,A正确;双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,向心力大小相等,则有maω2ra=mbω2rb,解得质量之比为mamb=L-ΔrL+Δr,B错误;根据GmambL2=maraω2=mbrbω2,解得G(ma+mb)=ω2L3=4π2L3T2,如果双星的总质量一定,双星间距变大,则它们的转动周期将变大,D错误。
5.(2022届广东七校联考,4科技工程)2020年11月28日20时58分,“嫦娥五号”探测器经过约112小时奔月飞行,在距月面约400公里处成功实施3 000牛发动机点火,约17分钟后,发动机正常关机。根据实时遥测数据监视判断,“嫦娥五号”探测器近月制动正常,如图所示,由M点顺利进入环月椭圆轨道Ⅱ,绕月三圈后进行第二次近月变轨,进入环月圆轨道Ⅰ,下列关于“嫦娥五号”的说法正确的是( )
A.在轨道Ⅰ上的速度小于月球的第一宇宙速度
B.在轨道Ⅱ的运行周期小于在轨道Ⅰ的运行周期
C.在轨道Ⅰ上F点的机械能大于在轨道Ⅱ上N点的机械能
D.在轨道Ⅱ上M点的加速度小于在轨道Ⅰ上F点的加速度
答案 A 轨道Ⅰ的半径大于月球半径,根据人造卫星的线速度表达式,有v=GMr,所以探测器的速度小于月球的第一宇宙速度,A正确;根据人造卫星的周期表达式,有T=2πr3GM,根据图中信息,可知在轨道Ⅱ的运行周期大于在轨道Ⅰ的运行周期,B错误;从轨道Ⅱ进入环月圆轨道Ⅰ时,需要发动机制动,使探测器减速,故其机械能减小,即在轨道Ⅰ上F点的机械能小于在轨道Ⅱ上N点的机械能,C错误;根据加速度公式,有a=Fm=GMr2,可知加速度与到月球的距离有关,rM=rF,故在轨道Ⅱ上M点的加速度等于在轨道Ⅰ上F点的加速度,D错误。
6.(2021珠海模拟,3典型模型)如图,虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道,其中轨道Ⅰ为近地环绕圆轨道,轨道Ⅱ为椭圆轨道,轨道Ⅲ为脱离轨道,a、b、c三点分别位于三条轨道上,b点为轨道Ⅱ的远地点,b、c点到地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍,则( )
A.卫星在轨道Ⅱ的运行周期与轨道Ⅰ的相同
B.卫星经过a点的速率为经过b点的2倍
C.卫星在a点的加速度大小为在b点的4倍
D.质量相同的卫星在b点的机械能等于在c点的机械能
答案 C 由题可知轨道Ⅰ的半径与轨道Ⅱ的半长轴之比为R1R2=23,根据开普勒第三定律R13T12=R23T22,解得T2T1=3232,A错误;根据GMmr2=mv2r,如果卫星在过b点的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动,卫星经过a点的速率为在圆轨道上经过b点的2倍,而轨道Ⅱ是椭圆,因此卫星在轨道Ⅱ上b点的速度不等于圆轨道的速度,选项B错误;根据公式a=GMr2可知,卫星在a点的加速度大小为在b点的4倍,选项C正确;卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要点火加速,因此在同一点加速,动能增大,也就是机械能增大,而同一轨道机械能守恒,因此卫星在b点的机械能小于在c点的机械能,D错误。
7.(2021汕头金山中学期中,4典型模型)宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转,称之为双星系统。在浩瀚的银河系中,多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,如图所示。若AO>OB,则( )
A.星球A的质量一定大于B的质量
B.星球A的线速度一定小于B的线速度
C.双星间距离一定,双星的质量越大,其转动周期越大
D.双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大
答案 D 根据万有引力提供向心力m1ω2r1=m2ω2r2,因为r1>r2,所以有m1r2,根据v=rω知星球A的线速度一定大于B的线速度,B错误;根据万有引力提供向心力得Gm1m2L2=m1r14π2T2=m2r24π2T2,解得周期为T=2πL3G(m1+m2),由此可知双星的距离一定,质量越大,转动周期越小,C错误;总质量一定,双星之间的距离越大,转动周期就越大,D正确。
8.(2020泰安一中期中,8科技工程)按照我国整个月球探测活动的计划,在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科学探测任务后,第二步是“落月”工程,已在2013年以前完成。假设月球半径为R,月球表面的重力加速度为g0,飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动,到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道的近月点B时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。下列判断正确的是( )
A.飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v=g0R4
B.飞船在A点处点火变轨时,动能增大
C.飞船在A点点火后一直到B点过程中速度一直在减小
D.飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间T=2πRg0
答案 D 飞船在轨道Ⅰ上,GMm(4R)2=mv24R,在月球表面,GMmR2=mg0,解得:v=g0R2,故A错误;要从圆轨道实施变轨成椭圆轨道,应给飞船减速,减小所需的向心力,动能减小,故B错误;飞船在A点点火后,在轨道Ⅱ上做椭圆运动,在近月点B点的速度大于在远月点A点的速度,故从A点运动到B点过程中速度一直在增大,故C错误;飞船在轨道Ⅲ绕月球做匀速圆周运动,mg0=m4π2T2R,解得:T=2πRg0,故D正确。
二、多项选择题(每小题6分,共54分)
9.(2022届湛江10月联考,9科技工程)(多选)我国首个火星探测器“天问一号”于2020年7月23日在海南文昌航天发射中心成功发射,于2021年5月15日着陆火星。“天问一号”环绕火星变轨示意图如图所示,在轨道Ⅰ上运行时“天问一号”离火星表面的距离等于火星的半径。则下列说法正确的是( )
A.“天问一号”在轨道Ⅲ和轨道Ⅱ上运行时,通过P点时的加速度相同
B.“天问一号”在轨道Ⅱ上运行时,从P点运行到Q点的过程中机械能守恒
C.“天问一号”在轨道Ⅲ和轨道Ⅱ上运行时,其与火星中心的连线在任意相等时间内扫过的面积相等
D.“天问一号”在轨道Ⅰ上运行的线速度大小等于火星第一宇宙速度的四分之一
答案 AB “天问一号”在轨道Ⅲ和轨道Ⅱ上运行时,通过P点时受到的万有引力相同,所以加速度相同,A正确;“天问一号”在轨道Ⅱ上运行时,从P点运行到Q点的过程中只有万有引力做功,机械能守恒,B正确;开普勒第二定律是指同一行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等,“天问一号”在不同轨道上运行时得不出该结论,C错误;由公式GMr2=v2r可得v=GMr=GM2R,而第一宇宙速度v0=GMR,所以v=22v0,选项D错误。
10.(2022届长郡中学高三月考一科技工程)(多选)2021年2月10日19时52分,“天问一号”探测器实施近火“捕获”制动,成功被火星引力“捕获”实现变轨,2月15日,“天问一号”探测器实现了完美的“侧手翻”,将轨道调整为经过火星两极上空的环火星椭圆形轨道。“天问一号”运行的轨迹图如图所示,则下列说法正确的是( )
A.“天问一号”的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B.“天问一号”要实现近火“捕获”需要在“捕获”点进行减速
C.“天问一号”在“侧手翻”前瞬间的加速度等于“侧手翻”后瞬间的加速度
D.“天问一号”在经过火星两极上空的椭圆形轨道上运行时近火点的速度比远火点的速度小
答案 BC “天问一号”要脱离地球,其发射速度要大于第二宇宙速度,A错误;“天问一号”要实现近火“捕获”需要在“捕获”点进行减速,使其不因速度太大而做离心运动,故B正确;“天问一号”仅受火星万有引力作用,在“侧手翻”变轨前后瞬间火星对“天问一号”的万有引力相同,由牛顿第二定律可知加速度相同,C正确;“天问一号”在经过火星两极上空的椭圆形轨道上运行时,在近火点势能小,动能大,则速度比远火点的速度大,D错误。
11.(2022届长沙一中月考一科技工程)(多选)假设“嫦娥三号”登月轨迹如图所示,图中M点为环绕地球运行的近地点,N点为环绕月球运行的近月点。a为环绕月球运行的圆轨道,b为环绕月球运行的椭圆轨道,下列说法正确的是( )
A.“嫦娥三号”在环绕地球轨道上的运行速度大于11.2 km/s
B.“嫦娥三号”在M点进入地月转移轨道时应减速
C.“嫦娥三号”在圆轨道a上运行时的机械能小于在椭圆轨道b上的任意一点运行时的机械能
D.设“嫦娥三号”在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1,在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2,则a1=a2
答案 CD “嫦娥三号”在环绕地球轨道上没有脱离地球束缚,所以运行速度小于11.2 km/s,A错误;“嫦娥三号”在M点进入地月转移轨道时做离心运动,应该加速,B错误;“嫦娥三号”从轨道a进入轨道b需在N点加速,所以机械能增大,即在轨道b上的机械能大于在轨道a上的机械能,C正确;“嫦娥三号在圆轨道a上经过N点时和在椭圆轨道b上经过N点时所受到月球的引力大小相等,所以加速度也相等,D正确。
12.(2021长郡中学、师大附中、长沙一中联合体联考,10科技工程)(多选)发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆轨道1,然后经点火,使其沿椭圆轨道2运行,最后再次点火,将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点,轨道2、3相切于P点,如图所示,则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,以下说法正确的是( )
A.要将卫星由圆轨道1送入圆轨道3,需要在圆轨道1的Q点和椭圆轨道2的远地点P分别点火加速一次
B.由于卫星由圆轨道1送入圆轨道3点火加速两次,则卫星在圆轨道3上正常运行速度大于卫星在圆轨道1上正常运行速度
C.卫星在椭圆轨道2上的近地点Q点的速度一定大于7.9 km/s,而在远地点P的速度一定小于7.9 km/s
D.卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度大于它在圆轨道3上经过P点时的加速度
答案 AC 要将卫星由圆轨道1送入圆轨道3,需要在圆轨道1的Q点和椭圆轨道2的远地点P分别点火加速做离心运动,A正确;万有引力提供向心力,由GMmr2=mv2r,解得v=GMr,卫星在轨道3上的轨道半径大于在轨道1上的轨道半径,卫星在轨道3上的速度小于在轨道1上的速度,B错误;卫星在近地圆轨道1上的速度为7.9 km/s,卫星由轨道1在Q点加速变轨到轨道2上,卫星在椭圆轨道2上的Q点的速度大于7.9 km/s,卫星在圆轨道3上的速度小于7.9 km/s,卫星在椭圆轨道2上的P点加速变轨到圆轨道3,则卫星在椭圆轨道2上的远地点P的速度一定小于7.9 km/s,C正确;由GMmr2=ma,解得a=GMr2,则卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度等于它在圆轨道3上经过P点时的加速度,D错误。
13.(2021长沙一中月考八,7科技工程)(多选)如图所示,曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动的卫星的轨道示意图,其半径为R,曲线Ⅱ是一颗绕地球做椭圆运动的卫星的轨道示意图,O点为地球球心,AB为椭圆的长轴,两轨道和地心都在同一平面内。已知在两轨道上运动的卫星的周期相等,引力常量为G。地球质量为M,下列说法正确的是( )
A.椭圆轨道的长轴长度为R
B.卫星在Ⅰ轨道的加速度大小为a0,卫星在Ⅱ轨道A、B两点加速度大小分别为aA、aB,则aB
D.若OA=0.5R,则卫星在B点的速率vB>2GM3R
答案 BC 椭圆轨道的半长轴长度为R,A错误;根据a=Fm=GMr2,rB>R>rA,得aBv0>vB,C正确;若OA=0.5R,则OB=1.5R,vB
A.在P点由轨道Ⅰ进入Ⅱ需要点火加速
B.在P点由轨道Ⅰ进入Ⅱ需要点火减速
C.在轨道Ⅲ上从P点至Q点万有引力做正功
D.在轨道Ⅲ上运行与在轨道Ⅱ上运行周期相等
答案 BC “嫦娥五号”在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火减速,才能被月球捕获,绕月球运动,A错误,B正确;在轨道Ⅲ上由P点运行到Q点的过程中,万有引力对其做正功,C正确;根据开普勒第三定律k=a3T2,由于aⅡ>aⅢ,因此TⅡ>TⅢ,D错误。
15.(2022届惠州二调,9科技工程)(多选)2020年11月,我国在海南文昌航天发射场,用长征五号遥五运载火箭成功将“嫦娥五号”探测器送入预定轨道。嫦娥五号在进入环月圆轨道前要进行两次“刹车”。如图所示,第一次“刹车”是在P点让其进入环月大椭圆轨道,第二次是在P点让其进入环月轨道。下列说法正确的是( )
A.探测器在不同轨道上经过P点时所受万有引力相同
B.探测器在环月大椭圆轨道运动时的线速度大小不变
C.探测器在环月轨道上运行周期比在环月大椭圆轨道上运行周期小
D.探测器在环月轨道上运动的机械能比在环月大椭圆轨道上运动的大
答案 AC 根据万有引力表达式F=GMmr2可知,探测器在不同轨道上经过P点时所受万有引力相同,A正确;探测器在环月大椭圆轨道运动时的线速度大小是变化的,近月运行时速度大,远月运行时速度小,B错误;因为探测器在环月轨道上运行的轨道半径比在环月大椭圆轨道上运行的轨道半长轴小,根据开普勒第三定律r3T2=k可知,探测器在环月轨道上运行周期比在环月大椭圆轨道上运行周期小,C正确;探测器从环月大椭圆轨道进入环月轨道,做近心运动,故需点火减速,即发动机做负功,机械能减小,故在环月轨道上运动的机械能比在环月大椭圆轨道上运动的小,D错误。
16.(2020烟台期中,13科学探索)(多选)如图所示,一颗卫星刚开始在半长轴为a的椭圆轨道运动,其绕行周期为T,近地点Q与近地卫星圆轨道(未画出)相切,后来卫星在经过远地点P时通过变轨进入圆轨道A,已知地球半径为R,引力常量为G,则根据以上信息可知( )
A.卫星在圆轨道A的环绕周期为(2a-R)3a3T
B.地球的质量为4π2a3GT2
C.卫星在椭圆轨道上运动经过Q点时的速度大于第一宇宙速度
D.卫星分别在圆轨道A上绕行和在椭圆轨道上绕行时,经过P点时的向心加速度不同
答案 ABC a3T2=(2a-R)3T12,卫星在圆轨道A的环绕周期为T1=(2a-R)3a3T,故A正确;GmM(2a-R)2=m4π2T12(2a-R),则地球的质量为M=4π2a3GT2,故B正确;卫星要从近地卫星圆轨道变到椭圆轨道,则需要在Q点点火加速,从而做离心运动,所以卫星在椭圆轨道上运动经过Q点时的速度大于第一宇宙速度,故C正确;卫星经过P点时,受到的万有引力相同,所以向心加速度相同,故D错误。
17.(2022届潍坊月考典型模型)(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G,则( )
A.每颗星做圆周运动的线速度大小为GmR
B.每颗星做圆周运动的角速度为3GmR3
C.每颗星做圆周运动的周期为2πR33Gm
D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
答案 ABC 每颗星受到的合力为F=2Gm2R2 sin 60°=3Gm2R2,轨道半径为r=33R,由向心力公式F=ma=mv2r=mω2r=m4π2T2r,解得a=3GmR2,v=GmR,ω=3GmR3,T=2πR33Gm,显然加速度a与m有关,故A、B、C正确,D错误。
三、非选择题(共24分)
18.(2021河北衡水中学二调,15)(12分)宇航员到了某星球后做了如下实验:如图所示,在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球,圆锥顶角为2θ。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时,球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R,引力常量为G。求:
(1)线的拉力;
(2)该星球表面的重力加速度;
(3)该星球的密度。
答案 (1)m4π2T2L (2)4π2T2L cos θ (3)3πLcosθGRT2
解析 (1)小球在水平面内做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得
FT sin θ=m4π2T2L sin θ(1分)
解得FT=m4π2T2L(2分)
(2)小球竖直方向受力平衡,有
FT cos θ=mg星(1分)
解得g星=4π2T2L cos θ(2分)
(3)星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力,有
GMm'R2=m'g星(2分)
星球质量M=ρ·43πR3(2分)
解得星球密度ρ=3πLcosθGRT2(2分)
19.(2020广东名校联考,13典型模型)(12分)宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统,四星系统离其他恒星较远,通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上,均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,其运动周期为T1,如图(1)所示。另一种形式是有三颗星位于等边三角形的三个顶点上,第四颗星刚好位于三角形的中心不动,三颗星沿外接于等边三角形的半径为a的圆形轨道运行,其运动周期为T2,如图(2)所示。(结果用最简的根式来表示)试求:
(1)假设两种形式的四星系统中每颗星的质量均相等,则图中A星与B星所受的合力之比F1F2;
(2)两种形式下,星体运动的周期之比T1T2。
解析 (1)对于第一种形式:
由万有引力定律公式和力的合成可得:
F1=2×Gm2a2×cos 45°+Gm2(2a)2=(22+1)Gm22a2
对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为a,由几何关系得三角形的边长为3a,
由万有引力定律公式和力的合成可得:
F2=2×Gm2(3a)2×cos 30°+Gm2a2=(3+3)Gm23a2
则图中A星与B星所受的合力之比F1F2=3(22+1)2(3+3);
(2)对于第一种形式:轨道半径r1=22a
由万有引力定律和向心力公式得:F1=mr14π2T12
解得:T1=2πa2a(4+2)Gm
对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为a,即r2=a,
由所受合力等于向心力得F2=mr24π2T22
解得T2=2πa(3-3)a2Gm
故T1T2=21(4-2)(3+3)21。
专题五 万有引力与航天
应用创新题组
(时间:60分钟 满分:110分)
一、单项选择题(每小题4分,共32分)
1.(2021湖北孝感2月调研,5)如图所示是“嫦娥三号”环月变轨的示意图。在Ⅰ圆轨道运行的“嫦娥三号”通过变轨后绕Ⅱ圆轨道运行,则下列说法中正确的是( )
A.“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的线速度大于在Ⅱ轨道的线速度
B.“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的角速度大于在Ⅱ轨道的角速度
C.“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的运行周期大于在Ⅱ轨道的运行周期
D.“嫦娥三号”由Ⅰ轨道通过加速才能变轨到Ⅱ轨道
答案 C “嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动,万有引力提供圆周运动的向心力,GMmr2=mv2r=mrω2=mr(2πT)2,由此可知,线速度v=GMr,Ⅰ轨道上半径大,线速度小,选项A错误;角速度ω=GMr3,Ⅰ轨道上半径大,角速度小,选项B错误;周期T=4π2r3GM,Ⅰ轨道上半径大,周期大,选项C正确;“嫦娥三号”由Ⅰ轨道通过减速做向心运动才能变轨到Ⅱ轨道,选项D错误。故选C项。
解题关键 利用向心力公式解题,从GMmr2=mv2r=mrω2=mr(2πT)2知,除了周期随着半径的增大而增大外,加速度、线速度、角速度都是随着半径的增大而减小的。
2.(2022届临澧一中月考二科技工程)2020年5月12日,我国快舟一号甲运载火箭以“一箭双星”方式成功将“行云二号”卫星发射升空,卫星进入预定轨道。如图所示,设地球半径为R,地球表面的重力加速度为g0,卫星在半径为R的近地圆形轨道Ⅰ上运动,到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道的远地点B时,再次点火进入轨道半径为4R的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动,设卫星质量保持不变。则( )
A.卫星在轨道Ⅲ的运行速率大于g0R
B.卫星在轨道Ⅰ上稳定飞行经过A处的加速度等于卫星在轨道Ⅱ上稳定飞行经过A的加速度
C.卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的周期之比为8∶1
D.卫星在轨道Ⅰ和Ⅱ上的机械能相等
答案 B 卫星在轨道Ⅰ上绕地球表面飞行,重力提供向心力,有mg0=mv02R,解得v0=g0R,由越高越慢的规律可知,卫星在轨道Ⅲ的运行速率小于g0R,A错误;根据牛顿第二定律有GMmr2=ma,解得a=GMr2,可知在同一点,r相同,则加速度相同,故B正确;由越高越慢的规律可知,卫星在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期,故C错误;由开普勒第三定律可知R3T12=(4R)3T32,解得T1∶T3=1∶8,C错误;卫星要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ,必须在A点点火加速,机械能增大,所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能,故D错误。
易错警示 在A点加速后由a=v2r得出,由于v增大,故a增大,这个错误推导问题出在哪呢?这就要知道公式GMmr2与mv2r中r的区别,前者是卫星到地心的距离,加速前后不变,后者是卫星的轨道半径,加速后r为椭圆轨道在该点的曲率半径,加速后变大。
3.(2022届湖南英才大联考科技工程)发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆形轨道1,然后经点火使其沿椭圆轨道2运行,最后再次点火将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点,轨道2、3相切于P点,则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,以下说法正确的是( )
A.卫星在轨道2上的运行周期大于它在轨道3上的运行周期
B.卫星在轨道1上的角速度小于它在轨道3上的角速度
C.卫星在圆轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过P点时的速度
D.卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度
答案 C 由开普勒第三定律知T2
4.(2022届雅礼中学联考自然现象)引力波的发现证实了爱因斯坦100年前的预测,弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”。双星的运动是产生引力波的来源之一,假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成,这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得a星的周期为T,a、b两颗星中心间距离为L,两颗星的轨道半径之差为Δr,且轨道半径大小关系满足ra>rb,则( )
A.a星做圆周运动的线速度大小为π(L+Δr)T
B.a、 b两颗星的质量之比为L+ΔrL-Δr
C.b星做圆周运动的周期为L-ΔrL+ΔrT
D.如果双星的总质量一定,双星间距变大,则它们的转动周期将变小
答案 A 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,则周期相等,所以b星的周期为T,故C错误;由题可知ra+rb=L,ra-rb=Δr,解得ra=L+Δr2,rb=L-Δr2,则a星的线速度大小为va=2πraT=π(L+Δr)T,A正确;双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,向心力大小相等,则有maω2ra=mbω2rb,解得质量之比为mamb=L-ΔrL+Δr,B错误;根据GmambL2=maraω2=mbrbω2,解得G(ma+mb)=ω2L3=4π2L3T2,如果双星的总质量一定,双星间距变大,则它们的转动周期将变大,D错误。
5.(2022届广东七校联考,4科技工程)2020年11月28日20时58分,“嫦娥五号”探测器经过约112小时奔月飞行,在距月面约400公里处成功实施3 000牛发动机点火,约17分钟后,发动机正常关机。根据实时遥测数据监视判断,“嫦娥五号”探测器近月制动正常,如图所示,由M点顺利进入环月椭圆轨道Ⅱ,绕月三圈后进行第二次近月变轨,进入环月圆轨道Ⅰ,下列关于“嫦娥五号”的说法正确的是( )
A.在轨道Ⅰ上的速度小于月球的第一宇宙速度
B.在轨道Ⅱ的运行周期小于在轨道Ⅰ的运行周期
C.在轨道Ⅰ上F点的机械能大于在轨道Ⅱ上N点的机械能
D.在轨道Ⅱ上M点的加速度小于在轨道Ⅰ上F点的加速度
答案 A 轨道Ⅰ的半径大于月球半径,根据人造卫星的线速度表达式,有v=GMr,所以探测器的速度小于月球的第一宇宙速度,A正确;根据人造卫星的周期表达式,有T=2πr3GM,根据图中信息,可知在轨道Ⅱ的运行周期大于在轨道Ⅰ的运行周期,B错误;从轨道Ⅱ进入环月圆轨道Ⅰ时,需要发动机制动,使探测器减速,故其机械能减小,即在轨道Ⅰ上F点的机械能小于在轨道Ⅱ上N点的机械能,C错误;根据加速度公式,有a=Fm=GMr2,可知加速度与到月球的距离有关,rM=rF,故在轨道Ⅱ上M点的加速度等于在轨道Ⅰ上F点的加速度,D错误。
6.(2021珠海模拟,3典型模型)如图,虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道,其中轨道Ⅰ为近地环绕圆轨道,轨道Ⅱ为椭圆轨道,轨道Ⅲ为脱离轨道,a、b、c三点分别位于三条轨道上,b点为轨道Ⅱ的远地点,b、c点到地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍,则( )
A.卫星在轨道Ⅱ的运行周期与轨道Ⅰ的相同
B.卫星经过a点的速率为经过b点的2倍
C.卫星在a点的加速度大小为在b点的4倍
D.质量相同的卫星在b点的机械能等于在c点的机械能
答案 C 由题可知轨道Ⅰ的半径与轨道Ⅱ的半长轴之比为R1R2=23,根据开普勒第三定律R13T12=R23T22,解得T2T1=3232,A错误;根据GMmr2=mv2r,如果卫星在过b点的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动,卫星经过a点的速率为在圆轨道上经过b点的2倍,而轨道Ⅱ是椭圆,因此卫星在轨道Ⅱ上b点的速度不等于圆轨道的速度,选项B错误;根据公式a=GMr2可知,卫星在a点的加速度大小为在b点的4倍,选项C正确;卫星从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要点火加速,因此在同一点加速,动能增大,也就是机械能增大,而同一轨道机械能守恒,因此卫星在b点的机械能小于在c点的机械能,D错误。
7.(2021汕头金山中学期中,4典型模型)宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转,称之为双星系统。在浩瀚的银河系中,多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,如图所示。若AO>OB,则( )
A.星球A的质量一定大于B的质量
B.星球A的线速度一定小于B的线速度
C.双星间距离一定,双星的质量越大,其转动周期越大
D.双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大
答案 D 根据万有引力提供向心力m1ω2r1=m2ω2r2,因为r1>r2,所以有m1
8.(2020泰安一中期中,8科技工程)按照我国整个月球探测活动的计划,在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科学探测任务后,第二步是“落月”工程,已在2013年以前完成。假设月球半径为R,月球表面的重力加速度为g0,飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动,到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道的近月点B时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。下列判断正确的是( )
A.飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v=g0R4
B.飞船在A点处点火变轨时,动能增大
C.飞船在A点点火后一直到B点过程中速度一直在减小
D.飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间T=2πRg0
答案 D 飞船在轨道Ⅰ上,GMm(4R)2=mv24R,在月球表面,GMmR2=mg0,解得:v=g0R2,故A错误;要从圆轨道实施变轨成椭圆轨道,应给飞船减速,减小所需的向心力,动能减小,故B错误;飞船在A点点火后,在轨道Ⅱ上做椭圆运动,在近月点B点的速度大于在远月点A点的速度,故从A点运动到B点过程中速度一直在增大,故C错误;飞船在轨道Ⅲ绕月球做匀速圆周运动,mg0=m4π2T2R,解得:T=2πRg0,故D正确。
二、多项选择题(每小题6分,共54分)
9.(2022届湛江10月联考,9科技工程)(多选)我国首个火星探测器“天问一号”于2020年7月23日在海南文昌航天发射中心成功发射,于2021年5月15日着陆火星。“天问一号”环绕火星变轨示意图如图所示,在轨道Ⅰ上运行时“天问一号”离火星表面的距离等于火星的半径。则下列说法正确的是( )
A.“天问一号”在轨道Ⅲ和轨道Ⅱ上运行时,通过P点时的加速度相同
B.“天问一号”在轨道Ⅱ上运行时,从P点运行到Q点的过程中机械能守恒
C.“天问一号”在轨道Ⅲ和轨道Ⅱ上运行时,其与火星中心的连线在任意相等时间内扫过的面积相等
D.“天问一号”在轨道Ⅰ上运行的线速度大小等于火星第一宇宙速度的四分之一
答案 AB “天问一号”在轨道Ⅲ和轨道Ⅱ上运行时,通过P点时受到的万有引力相同,所以加速度相同,A正确;“天问一号”在轨道Ⅱ上运行时,从P点运行到Q点的过程中只有万有引力做功,机械能守恒,B正确;开普勒第二定律是指同一行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等,“天问一号”在不同轨道上运行时得不出该结论,C错误;由公式GMr2=v2r可得v=GMr=GM2R,而第一宇宙速度v0=GMR,所以v=22v0,选项D错误。
10.(2022届长郡中学高三月考一科技工程)(多选)2021年2月10日19时52分,“天问一号”探测器实施近火“捕获”制动,成功被火星引力“捕获”实现变轨,2月15日,“天问一号”探测器实现了完美的“侧手翻”,将轨道调整为经过火星两极上空的环火星椭圆形轨道。“天问一号”运行的轨迹图如图所示,则下列说法正确的是( )
A.“天问一号”的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B.“天问一号”要实现近火“捕获”需要在“捕获”点进行减速
C.“天问一号”在“侧手翻”前瞬间的加速度等于“侧手翻”后瞬间的加速度
D.“天问一号”在经过火星两极上空的椭圆形轨道上运行时近火点的速度比远火点的速度小
答案 BC “天问一号”要脱离地球,其发射速度要大于第二宇宙速度,A错误;“天问一号”要实现近火“捕获”需要在“捕获”点进行减速,使其不因速度太大而做离心运动,故B正确;“天问一号”仅受火星万有引力作用,在“侧手翻”变轨前后瞬间火星对“天问一号”的万有引力相同,由牛顿第二定律可知加速度相同,C正确;“天问一号”在经过火星两极上空的椭圆形轨道上运行时,在近火点势能小,动能大,则速度比远火点的速度大,D错误。
11.(2022届长沙一中月考一科技工程)(多选)假设“嫦娥三号”登月轨迹如图所示,图中M点为环绕地球运行的近地点,N点为环绕月球运行的近月点。a为环绕月球运行的圆轨道,b为环绕月球运行的椭圆轨道,下列说法正确的是( )
A.“嫦娥三号”在环绕地球轨道上的运行速度大于11.2 km/s
B.“嫦娥三号”在M点进入地月转移轨道时应减速
C.“嫦娥三号”在圆轨道a上运行时的机械能小于在椭圆轨道b上的任意一点运行时的机械能
D.设“嫦娥三号”在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1,在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2,则a1=a2
答案 CD “嫦娥三号”在环绕地球轨道上没有脱离地球束缚,所以运行速度小于11.2 km/s,A错误;“嫦娥三号”在M点进入地月转移轨道时做离心运动,应该加速,B错误;“嫦娥三号”从轨道a进入轨道b需在N点加速,所以机械能增大,即在轨道b上的机械能大于在轨道a上的机械能,C正确;“嫦娥三号在圆轨道a上经过N点时和在椭圆轨道b上经过N点时所受到月球的引力大小相等,所以加速度也相等,D正确。
12.(2021长郡中学、师大附中、长沙一中联合体联考,10科技工程)(多选)发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆轨道1,然后经点火,使其沿椭圆轨道2运行,最后再次点火,将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点,轨道2、3相切于P点,如图所示,则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,以下说法正确的是( )
A.要将卫星由圆轨道1送入圆轨道3,需要在圆轨道1的Q点和椭圆轨道2的远地点P分别点火加速一次
B.由于卫星由圆轨道1送入圆轨道3点火加速两次,则卫星在圆轨道3上正常运行速度大于卫星在圆轨道1上正常运行速度
C.卫星在椭圆轨道2上的近地点Q点的速度一定大于7.9 km/s,而在远地点P的速度一定小于7.9 km/s
D.卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度大于它在圆轨道3上经过P点时的加速度
答案 AC 要将卫星由圆轨道1送入圆轨道3,需要在圆轨道1的Q点和椭圆轨道2的远地点P分别点火加速做离心运动,A正确;万有引力提供向心力,由GMmr2=mv2r,解得v=GMr,卫星在轨道3上的轨道半径大于在轨道1上的轨道半径,卫星在轨道3上的速度小于在轨道1上的速度,B错误;卫星在近地圆轨道1上的速度为7.9 km/s,卫星由轨道1在Q点加速变轨到轨道2上,卫星在椭圆轨道2上的Q点的速度大于7.9 km/s,卫星在圆轨道3上的速度小于7.9 km/s,卫星在椭圆轨道2上的P点加速变轨到圆轨道3,则卫星在椭圆轨道2上的远地点P的速度一定小于7.9 km/s,C正确;由GMmr2=ma,解得a=GMr2,则卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度等于它在圆轨道3上经过P点时的加速度,D错误。
13.(2021长沙一中月考八,7科技工程)(多选)如图所示,曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动的卫星的轨道示意图,其半径为R,曲线Ⅱ是一颗绕地球做椭圆运动的卫星的轨道示意图,O点为地球球心,AB为椭圆的长轴,两轨道和地心都在同一平面内。已知在两轨道上运动的卫星的周期相等,引力常量为G。地球质量为M,下列说法正确的是( )
A.椭圆轨道的长轴长度为R
B.卫星在Ⅰ轨道的加速度大小为a0,卫星在Ⅱ轨道A、B两点加速度大小分别为aA、aB,则aB
D.若OA=0.5R,则卫星在B点的速率vB>2GM3R
答案 BC 椭圆轨道的半长轴长度为R,A错误;根据a=Fm=GMr2,rB>R>rA,得aB
A.在P点由轨道Ⅰ进入Ⅱ需要点火加速
B.在P点由轨道Ⅰ进入Ⅱ需要点火减速
C.在轨道Ⅲ上从P点至Q点万有引力做正功
D.在轨道Ⅲ上运行与在轨道Ⅱ上运行周期相等
答案 BC “嫦娥五号”在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火减速,才能被月球捕获,绕月球运动,A错误,B正确;在轨道Ⅲ上由P点运行到Q点的过程中,万有引力对其做正功,C正确;根据开普勒第三定律k=a3T2,由于aⅡ>aⅢ,因此TⅡ>TⅢ,D错误。
15.(2022届惠州二调,9科技工程)(多选)2020年11月,我国在海南文昌航天发射场,用长征五号遥五运载火箭成功将“嫦娥五号”探测器送入预定轨道。嫦娥五号在进入环月圆轨道前要进行两次“刹车”。如图所示,第一次“刹车”是在P点让其进入环月大椭圆轨道,第二次是在P点让其进入环月轨道。下列说法正确的是( )
A.探测器在不同轨道上经过P点时所受万有引力相同
B.探测器在环月大椭圆轨道运动时的线速度大小不变
C.探测器在环月轨道上运行周期比在环月大椭圆轨道上运行周期小
D.探测器在环月轨道上运动的机械能比在环月大椭圆轨道上运动的大
答案 AC 根据万有引力表达式F=GMmr2可知,探测器在不同轨道上经过P点时所受万有引力相同,A正确;探测器在环月大椭圆轨道运动时的线速度大小是变化的,近月运行时速度大,远月运行时速度小,B错误;因为探测器在环月轨道上运行的轨道半径比在环月大椭圆轨道上运行的轨道半长轴小,根据开普勒第三定律r3T2=k可知,探测器在环月轨道上运行周期比在环月大椭圆轨道上运行周期小,C正确;探测器从环月大椭圆轨道进入环月轨道,做近心运动,故需点火减速,即发动机做负功,机械能减小,故在环月轨道上运动的机械能比在环月大椭圆轨道上运动的小,D错误。
16.(2020烟台期中,13科学探索)(多选)如图所示,一颗卫星刚开始在半长轴为a的椭圆轨道运动,其绕行周期为T,近地点Q与近地卫星圆轨道(未画出)相切,后来卫星在经过远地点P时通过变轨进入圆轨道A,已知地球半径为R,引力常量为G,则根据以上信息可知( )
A.卫星在圆轨道A的环绕周期为(2a-R)3a3T
B.地球的质量为4π2a3GT2
C.卫星在椭圆轨道上运动经过Q点时的速度大于第一宇宙速度
D.卫星分别在圆轨道A上绕行和在椭圆轨道上绕行时,经过P点时的向心加速度不同
答案 ABC a3T2=(2a-R)3T12,卫星在圆轨道A的环绕周期为T1=(2a-R)3a3T,故A正确;GmM(2a-R)2=m4π2T12(2a-R),则地球的质量为M=4π2a3GT2,故B正确;卫星要从近地卫星圆轨道变到椭圆轨道,则需要在Q点点火加速,从而做离心运动,所以卫星在椭圆轨道上运动经过Q点时的速度大于第一宇宙速度,故C正确;卫星经过P点时,受到的万有引力相同,所以向心加速度相同,故D错误。
17.(2022届潍坊月考典型模型)(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G,则( )
A.每颗星做圆周运动的线速度大小为GmR
B.每颗星做圆周运动的角速度为3GmR3
C.每颗星做圆周运动的周期为2πR33Gm
D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
答案 ABC 每颗星受到的合力为F=2Gm2R2 sin 60°=3Gm2R2,轨道半径为r=33R,由向心力公式F=ma=mv2r=mω2r=m4π2T2r,解得a=3GmR2,v=GmR,ω=3GmR3,T=2πR33Gm,显然加速度a与m有关,故A、B、C正确,D错误。
三、非选择题(共24分)
18.(2021河北衡水中学二调,15)(12分)宇航员到了某星球后做了如下实验:如图所示,在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球,圆锥顶角为2θ。当圆锥和球一起以周期T匀速转动时,球恰好对锥面无压力。已知星球的半径为R,引力常量为G。求:
(1)线的拉力;
(2)该星球表面的重力加速度;
(3)该星球的密度。
答案 (1)m4π2T2L (2)4π2T2L cos θ (3)3πLcosθGRT2
解析 (1)小球在水平面内做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得
FT sin θ=m4π2T2L sin θ(1分)
解得FT=m4π2T2L(2分)
(2)小球竖直方向受力平衡,有
FT cos θ=mg星(1分)
解得g星=4π2T2L cos θ(2分)
(3)星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力,有
GMm'R2=m'g星(2分)
星球质量M=ρ·43πR3(2分)
解得星球密度ρ=3πLcosθGRT2(2分)
19.(2020广东名校联考,13典型模型)(12分)宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统,四星系统离其他恒星较远,通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上,均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,其运动周期为T1,如图(1)所示。另一种形式是有三颗星位于等边三角形的三个顶点上,第四颗星刚好位于三角形的中心不动,三颗星沿外接于等边三角形的半径为a的圆形轨道运行,其运动周期为T2,如图(2)所示。(结果用最简的根式来表示)试求:
(1)假设两种形式的四星系统中每颗星的质量均相等,则图中A星与B星所受的合力之比F1F2;
(2)两种形式下,星体运动的周期之比T1T2。
解析 (1)对于第一种形式:
由万有引力定律公式和力的合成可得:
F1=2×Gm2a2×cos 45°+Gm2(2a)2=(22+1)Gm22a2
对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为a,由几何关系得三角形的边长为3a,
由万有引力定律公式和力的合成可得:
F2=2×Gm2(3a)2×cos 30°+Gm2a2=(3+3)Gm23a2
则图中A星与B星所受的合力之比F1F2=3(22+1)2(3+3);
(2)对于第一种形式:轨道半径r1=22a
由万有引力定律和向心力公式得:F1=mr14π2T12
解得:T1=2πa2a(4+2)Gm
对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为a,即r2=a,
由所受合力等于向心力得F2=mr24π2T22
解得T2=2πa(3-3)a2Gm
故T1T2=21(4-2)(3+3)21。
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